Relativité restreinte: Moment approprié, Systèmes de coordonnées, et
Transformations de Lorentz

Ce supplément à l'article principal de Time explique certains des concepts clés de la théorie restreinte de la relativité (STR). Il montre comment les prédictions de STR diffèrent de la mécanique classique de la manière la plus fondamentale. Certaines connaissances mathématiques de base sont supposées.

Table des matières
Moment approprié
La relation STR entre l'espace, Temps, et bon moment
Systèmes de coordonnées
Les coordonnées comme langage mathématique pour le temps et l'espace
Coordonnées cartésiennes pour l'espace
Choix du référentiel inertiel
Spécification opérationnelle des systèmes de coordonnées pour l'espace et le temps classiques
Spécification opérationnelle des systèmes de coordonnées pour l'espace et le temps STR
Opérationnalisme
Transformations de coordonnées et transformations d'objets
Transformations valides
Augmentation de la vitesse en STR et en mécanique classique
Transformation galiléenne du système de coordonnées
Transformation de Lorentz du système de coordonnées
Dilatation du temps et de l'espace
La théorie complète de la relativité restreinte
Références et lectures complémentaires
1. Moment approprié

L'essence de la théorie restreinte de la relativité (STR) c'est qu'il relie trois grandeurs distinctes entre elles: espace, temps, et le bon moment. Le « temps » est également appelé temps coordonné ou temps réel, pour le distinguer du "temps propre". L'heure propre est aussi appelée heure de l'horloge, ou temps de traitement, et c'est une mesure de la quantité de processus physique qu'un système subit. Par exemple, l'heure propre d'une horloge mécanique ordinaire est enregistrée par le nombre de rotations des aiguilles de l'horloge. Alternativement, on pourrait prendre un gyroscope, ou une roue qui tourne librement, et mesurer le nombre de rotations dans une période donnée. On pourrait aussi prendre un procédé chimique avec un taux naturel, comme la combustion d'une bougie, et mesurer la proportion de bougie brûlée sur une période donnée.

Notez que ces processus sont mesurés par des "quantités absolues": le nombre de fois qu'une roue tourne sur son axe, ou la proportion de bougie qui a brûlé. Ceux-ci donnent des quantités physiques absolues et ne dépendent pas de l'attribution d'un système de coordonnées, comme le fait une représentation numérique de l'espace ou du temps réel. Les systèmes de coordonnées numériques que nous utilisons nécessitent d'abord un choix d'unités de mesure (mètres et secondes, par exemple). Encore plus important, la mesure de l'espace et du temps réel en STR est relative au choix d'un référentiel inertiel. Ce choix est en partie arbitraire.

Notre représentation numérique du temps propre nécessite également un choix d'unités, et nous adoptons les mêmes unités que nous utilisons pour le temps réel (secondes). Mais le choix d'un système de coordonnées, basé sur un référentiel inertiel, n'affecte pas la mesure du temps propre. Nous examinerons le concept de systèmes de coordonnées et d'unités de mesure sous peu.

Le temps propre peut être défini en mécanique classique par des processus cycliques qui ont des périodes naturelles - par exemple, les horloges à pendule sont basées sur le comptage du nombre d'oscillations d'un pendule. Plus généralement, tout processus naturel dans un système classique passe par une séquence d'états physiques à un certain taux absolu, et c'est le "taux de temps propre" pour le système.

En physique classique, deux types de systèmes identiques (avec des types identiques de construction interne, et états initiaux identiques) sont prédits avoir les mêmes taux de temps propre. C'est, ils parcourront leurs états physiques en parfaite corrélation les uns avec les autres.

Cela est vrai même si deux systèmes identiques sont en mouvement constant relatif l'un par rapport à l'autre. Par exemple, deux horloges classiques identiques fonctionneraient au même rythme, même si l'on est maintenu immobile dans un laboratoire, tandis que l'autre est placé dans un vaisseau spatial voyageant à grande vitesse.

Ce principe d'invariance est fondamental en physique classique, et cela signifie qu'en physique classique on peut définir: Temps coordonné = Temps propre pour tous les systèmes naturels. Pour cette raison, la distinction entre ces deux concepts de temps était à peine reconnue en physique classique (bien que Newton les ait distingués conceptuellement, considérant le « temps réel » comme un flux temporel absolu, et le « temps propre » comme une simple « mesure raisonnable » du temps réel; voir ces écoles).

Toutefois, la distinction n'a pris une signification réelle que dans la théorie restreinte de la relativité, qui contredit la physique classique en prédisant que le taux de temps propre d'un système varie avec sa vitesse, ou mouvement dans l'espace. La relation est très simple: plus un système voyage vite dans l'espace, plus ses processus internes sont lents. A la vitesse maximale possible, la vitesse de la lumière, c, les processus internes d'un système physique s'arrêteraient complètement. En effet, pour la lumière elle-même, le taux de temps propre est nul: il n’y a pas de « processus interne » se produisant dans la lumière. C’est comme si la lumière était « gelée » dans un état interne spécifique.

À ce stade, Il convient de mentionner que le concept de temps propre apparaît plus fortement en mécanique quantique qu’en mécanique classique., par la nature intrinsèquement ondulatoire des particules quantiques. En physique classique, Les particules ponctuelles sont des choses simples, et n’ont pas d'« état interne » qui représente le temps propre, mais en mécanique quantique, Les particules les plus fondamentales ont un temps propre intrinsèque, représentée par une fréquence interne. Ceci est directement lié à la nature ondulatoire des particules quantiques. Pour les systèmes radioactifs, Le taux de désintégration radioactive est une mesure du temps approprié. Notez que la quantité de désintégration d’une substance peut être mesurée dans un sens absolu. Pour la lumière, traité comme une particule de mécanique quantique (Le photon), le taux de temps propre est nul, Et c’est parce qu’il n’a pas de masse. Mais pour les particules de mécanique quantique de masse, Il y a toujours un taux de temps propre « intrinsèque » fini, représentée par la « phase » de l’onde quantique. Les particules classiques n’ont aucun corrélat de cette caractéristique, qui est responsable des effets d’interférence quantique et d’autres comportements non classiques « ondulatoires ».

2. La relation STR entre l'espace, Temps, et bon moment

STR prédit que le mouvement d’un système dans l’espace est directement compensé par une diminution des processus internes réels, ou des taux de temps appropriés. Ainsi, Une horloge fonctionnera plus rapidement lorsqu’elle est stationnaire. Si nous le déplaçons dans l’espace, son taux de processus internes diminuera, et il fonctionnera plus lentement qu’un type identique d’horloge stationnaire. La relation est précisément spécifiée par l’équation la plus profonde de STR, Habituellement appelée équation métrique (ou équation métrique linéaire). L’équation métrique est:

(1)

Cela s’applique à la trajectoire de tout système physique. Les quantités concernées sont les suivantes ::

D est l’opérateur de différence.

Dt est la quantité de temps propre écoulé entre deux points sur la trajectoire.

Dt est la quantité de temps réel écoulé entre deux points de la trajectoire.

Dr est la quantité de mouvement dans l’espace entre deux points de la trajectoire.

c est la vitesse de la lumière, et dépend des unités que nous choisissons pour l’espace et le temps.

La signification de cette équation est illustrée en considérant des trajectoires simples représentées dans un diagramme espace-temps..

Figure 1. Deux trajectoires spatio-temporelles simples.

Si nous partons d’un point initial sur la trajectoire d’un système physique, et suivez-le jusqu’à un point ultérieur, Nous constatons que le système a couvert une certaine quantité d’espace physique, Dr, sur une certaine quantité de temps réel, Dt, et a subi un certain nombre de processus internes ou de temps approprié, Dt. Tant que nous utilisons les mêmes unités (secondes) pour représenter le temps propre et le temps réel, ces grandeurs sont connectées comme décrit dans l’équation (1). Proper time intervals are shown in Figure 1 by blue dots along the trajectories. Si c'étaient des trajectoires d'horloges, par exemple, alors les points bleus représenteraient les secondes cochées par le mécanisme de l'horloge.

In Figure 1, we have chosen to set the speed of light as 1. Cela équivaut à utiliser nos unités normales pour le temps, c'est à dire. secondes, mais en choisissant les unités d'espace comme c mètres (instead of 1 meter), où c est la vitesse de la lumière en mètres par seconde. Ce système d'unités est souvent utilisé par les physiciens par commodité, et il semble faire tomber la quantité c des équations, since c = 1. Toutefois, il est important de noter que c est une constante dimensionnelle, and even if its numerical value is set equal to 1 by choosing appropriate units, it is still logically necessary in Equation 1 for the equation to balance dimensionally. Pour multiplier un intervalle de temps, Dt, par la quantité c convertit d’une quantité temporelle en une quantité spatiale. Équations de la physique, Tout comme les propositions ordinaires, ne peuvent identifier que des objets ou des quantités de même nature physique entre eux, et le rôle de c en tant que constante dimensionnelle reste crucial dans l’équation (1), pour que l’identité qu’il énonce ait un sens.

Trajectories in Figure 1

Trajectory 1 (vert) est pour une particule stationnaire, hence Dr = 0 (Il n’a pas de mouvement dans l’espace), et en mettant cette valeur dans Equation (1), Nous constatons que: Dt = Dt. Pour une particule stationnaire, la quantité de temps propre est égale à la quantité de temps de coordination.
Trajectory 2 (rouge) est pour une particule en mouvement, and Dr > 0. Nous avons choisi la vitesse dans cet exemple pour être: v = c/2, la moitié de la vitesse de la lumière. Mais: v = Dr/Dt (distance parcourue dans l’intervalle de temps). Donc: Dr = 1/2cDt. Mise en valeur de cette valeur dans Equation (1), Nous obtenons: c²Dt² = c²Dt²-(1/2cDt)², ou: Dt = Ö(¾)Dt » 0.87Dt. Hence the amount of proper time is only about 87% of coordinate time. Même si cette trajectoire est très rapide, le temps propre n'est encore qu'un peu ralenti.
Trajectory 3 (noir) correspond à une particule se déplaçant à la vitesse de la lumière, avec v = c, donnant: Dr = cDt. Mettre cela en équation (1), Nous obtenons: c²Dt² = c²Dt²-(CDt)² = 0. Ainsi, pour une particule semblable à la lumière, the amount of proper time is equal to 0.

Maintenant du point de vue classique, Équation (1) est une surprise - en effet, ça semble aberrant! Car comment un simple mouvement dans l'espace peut-il affecter directement et précisément le taux de processus physiques se produisant dans un système ?? Nous sommes habitués à l'idée inverse, ce mouvement dans l'espace, par lui-même, n'a pas d'effet intrinsèque sur les processus. Ceci est au cœur de l'invariance ou symétrie galiléenne classique. Mais STR enfreint cette règle.

On peut comparer cette situation avec la physique classique, où (pour trajectoires linéaires) on a deux équations indépendantes:

(2.a) Dt = Dt

(2.b) Dr = vDt pour certains (nombres réels)

Équation (2.a) signifie simplement que le taux de temps propre dans un système est invariant - et nous le mesurons dans les mêmes unités que le temps coordonné, t.
Équation (2.b) signifie simplement que chaque particule ou système a une vitesse ou une vitesse finie, v, à travers l’espace, avec v défini par: v = Dr/Dt.

Il n’y a pas de lien ici entre le temps propre et le mouvement spatial du système.

Le fait que (2) est remplacé par (1) dans STR est très particulier en effet. Cela signifie que le taux de processus interne dans un système comme une horloge (s’il s’agit d’un, chimique, ou horloge radioactive) est automatiquement connecté au mouvement de l’horloge dans l’espace. Si nous accélérons une horloge en mouvement dans l’espace, La vitesse du processus interne ralentit de manière précise pour compenser le mouvement dans l’espace.

Le grand mystère est qu’il n’y a pas de mécanisme apparent pour cet effet, appelée dilatation du temps. En physique classique, pour ralentir une horloge, Nous devons appliquer une force comme la friction à son mécanisme interne. Dans STR, Le processus physique d’un système est ralenti simplement en le déplaçant. Cela s’applique également à tous les processus physiques. Par exemple, Un isotope radioactif se désintègre plus lentement à grande vitesse. Et même les animaux, y compris les êtres humains, devraient vieillir plus lentement s’ils se déplacent à grande vitesse, donnant naissance au paradoxe des jumeaux.

En fait, la dilatation du temps était déjà reconnue par Lorentz et Poincaré, qui a développé la plupart des relations mathématiques essentielles de STR avant Einstein. Mais Einstein a formulé une théorie plus complète, et, avec d'importantes contributions de Minkowski, il a fourni une explication des effets. L'explication d'Einstein-Minkowski fait appel au nouveau concept de variété d'espace-temps, et interprète l'équation (1) comme une sorte de caractéristique «géométrique» de l'espace-temps. Ce point de vue a été largement adopté dans la physique du XXe siècle. Par contre, Lorentz a refusé de croire à l'explication "géométrique", et il pensait que le mouvement dans l'espace avait une sorte d'effet "mécanique" sur les particules, ce qui ralentit les processus. Alors que le point de vue de Lorentz est rejeté par la plupart des physiciens, certains auteurs ont persisté avec des idées similaires, et les questions impliquées dans l'explication de l'équation (1) continue de susciter un vif intérêt, aux philosophes du moins.

Mais avant de passer à l'explication, nous devons discuter des concepts de systèmes de coordonnées pour l'espace et le temps, que nous avons supposé jusqu'à présent sans explication.

3. Systèmes de coordonnées

En physique, nous supposons généralement que l'espace est une variété tridimensionnelle et que le temps est un continuum unidimensionnel.. Un système de coordonnées est une façon de représenter l'espace et le temps en utilisant des nombres pour représenter des points. Nous attribuons un ensemble de trois nombres, (X,et,z), caractériser des points dans l'espace, et un numéro, t, caractériser un instant. En combinant ces, nous avons des coordonnées générales d'espace-temps: (X,et,z,t). L'idée est que chaque événement physique dans l'univers a un "emplacement spatio-temporel", et un système de coordonnées fournit une description numérique du système de ces "emplacements" possibles.

Les systèmes de coordonnées classiques ont été utilisés par Descartes, Galilée, Newton, Leibniz, et d'autres physiciens classiques pour décrire l'espace. L'espace classique est supposé être une variété euclidienne tridimensionnelle. Les physiciens classiques ont ajouté des coordonnées temporelles, t, comme paramètre supplémentaire pour caractériser les événements. Les principes des systèmes de coordonnées semblaient très intuitifs et naturels jusqu'au début du 20ème siècle, mais les choses ont radicalement changé avec le STR. L’une des premières grandes réalisations d’Einstein a été de réexaminer le concept de système de coordonnées, et de proposer un nouveau système adapté aux opérations suspectes, qui diffère du système de physique classique. Ce faisant,, Einstein a reconnu que la notion de système de coordonnées dépend de la théorie. Le système classique dépend de l’adoption de certaines hypothèses physiques de la physique classique – par exemple, que les horloges ne modifient pas leur vitesse lorsqu’elles sont déplacées dans l’espace. Dans STR, certaines des lois qui sous-tendent ces hypothèses classiques changent, et cela change nos hypothèses mêmes sur la façon dont nous pouvons mesurer l'espace et le temps. Pour formuler STR avec succès, Einstein ne pouvait pas simplement proposer un nouvel ensemble de lois physiques dans le cadre classique existant des idées sur l'espace et le temps: il a dû reformuler simultanément la représentation de l'espace et du temps. Il l'a fait principalement en reformulant les règles d'attribution des systèmes de coordonnées pour l'espace et le temps. Il a donné un nouveau système de règles adaptées aux nouveaux principes physiques du STR, et a réexaminé la validité des anciennes règles de la physique classique au sein de ce nouveau système.

Une caractéristique clé sur laquelle Einstein s’est concentré est qu’un système de coordonnées implique un système de principes opérationnels., qui relient les caractéristiques de l’espace et du temps à des processus physiques ou à des « opérations » que nous pouvons utiliser pour mesurer ces caractéristiques. Par exemple, La théorie de l’espace classique suppose qu’il existe une distance intrinsèque (ou longueur) entre les points de l’espace. Nous pouvons considérer la distance elle-même comme une caractéristique sous-jacente de « l’espace vide ». Les lignes géométriques peuvent être définies comme des collections de points dans l’espace, et les segments de ligne ont des longueurs intrinsèques, avant que des objets physiques ne soient placés dans l’espace. Mais bien sûr, Nous mesurons seulement (ou percevoir) la structure sous-jacente de l’espace en utilisant des objets physiques ou des processus physiques pour effectuer des mesures. Typiquement, Nous utilisons des « règles rigides droites » pour mesurer les distances entre les points de l’espace; ou nous utilisons 'uniforme, horloges standard pour mesurer les intervalles de temps entre les moments. Les règles et les horloges sont des objets physiques ou des processus particuliers, et pour qu’ils puissent remplir leurs fonctions de mesure de manière adéquate, ils doivent avoir des propriétés physiques appropriées.

Mais ces propriétés physiques sont le sujet des théories de la physique elles-mêmes.. Physique classique, par exemple, suppose que les règles rigides ordinaires conservent la même longueur (ou la distance entre les points d’extrémité) lorsqu’ils sont déplacés dans l’espace. Il suppose également qu'il existe certains types de systèmes (fournir des "horloges idéales") qui produisent des processus physiques cycliques, et maintenir les mêmes intervalles temporels entre les cycles dans le temps, même si nous déplaçons ces systèmes dans l'espace.

Ces hypothèses sont intrinsèquement cohérentes avec les principes de mesure de la physique classique. Mais ils sont contredits dans STR, et Einstein a dû reformuler les principes opérationnels de mesure de l'espace et du temps, d'une manière qui est cohérente en interne avec les nouveaux principes physiques de STR.

Nous décrirons brièvement ces nouveaux principes de fonctionnement sous peu, mais il y a certaines caractéristiques des systèmes de coordonnées qu'il est important d'apprécier en premier.

À. Les coordonnées comme langage mathématique pour le temps et l'espace

L'attribution d'un système de coordonnées numériques pour le temps ou l'espace est considérée comme fournissant un langage mathématique (utiliser des nombres comme noms) pour représenter des choses physiques (temps et espace). Dans un sens, cette langue pourrait être "choisie arbitrairement": il n'y a pas de lois sur les noms qui peuvent être utilisés pour représenter les choses. Mais naturellement, il y a des caractéristiques que nous voulons qu'un système de coordonnées reflète. En particulier, nous voulons que l'attribution des nombres reflète directement les concepts de distance entre les points de l'espace, et la taille des intervalles entre les moments de temps.

Nous effectuons des opérations mathématiques sur des nombres, et nous pouvons soustraire deux nombres pour trouver la "distance numérique" entre eux. Car les nombres sont vraiment définis comme certaines structures, avec des fonctionnalités telles que la continuité, et nous voulons utiliser les structures des systèmes de nombres pour représenter les caractéristiques structurelles de l'espace et du temps.

Par exemple, nous supposons dans notre théorie physique fondamentale que deux intervalles de temps ont des grandeurs intrinsèques, qui peuvent être comparés les uns aux autres. La « distance temporelle intrinsèque » entre deux moments, t1 et t2, peut être le même que celui entre deux moments bien différents, t3 et t4. Nous voulons naturellement attribuer des nombres aux temps de sorte que la soustraction numérique ordinaire corresponde à la « distance temporelle intrinsèque » entre les événements.. Nous choisissons un système de coordonnées « uniforme » pour le temps pour y parvenir.

Figure 2. Un système de coordonnées pour le temps donne un langage mathématique pour une chose physique.
Les nombres sont utilisés comme noms pour des moments de temps.

4. Coordonnées cartésiennes pour l'espace

Le temps est simple parce qu'il est unidimensionnel. L'espace tridimensionnel est beaucoup plus complexe. Parce que l'espace est tridimensionnel, nous avons besoin de trois nombres réels distincts pour représenter un seul point. Les physiciens choisissent normalement un système de coordonnées cartésiennes pour représenter l'espace. Nous représentons les points dans ce système comme: r = (X,et,z), où x, et, et z sont des coordonnées numériques distinctes, en trois orthogonaux (perpendiculaire) directions.

La structure numérique avec des points de nombres réels est notée en mathématiques comme (X,et,z). L'espace tridimensionnel lui-même (une chose physique) est noté comme:. Un système de coordonnées cartésiennes est un type particulier de mappage entre les points de ces deux structures. Il fait en sorte que la distance spatiale intrinsèque entre deux points de E3 soit directement reflétée par la « distance numérique » entre leurs coordonnées numériques dans.

Les distances numériques sont déterminées par une fonction numérique pour la longueur. Une ligne de l’origine: (0,0,0), au point r = (X,et,z), qui s’appelle le vecteur r, a sa longueur donnée par la formule pythagoricienne:

|le| = √(x²+y²+z²).

Plus généralement, pour deux points quelconques, r1 = (x1, Y1, z1), et: r2 = (x2, Y2, z2), La fonction de distance est:

|R2 – R1| = √((x2 – x1)²+ (y2 – y1)²+ (z2 – z1)²)

La particularité de ce système est que les longueurs des lignes dans le x, et, ou les directions z seules sont données directement par les valeurs des coordonnées. Par exemple. si: r = (X,0,0), alors le vecteur de r est une ligne purement dans la direction x, et sa longueur est simplement: |le| =x. Si r1 = (x1,0,0), et: r2 = (x2,0,0), alors la distance entre eux est juste: |R2 – R1| = (x2 – x1 ). Aussi, un repère cartésien traite les trois directions, X, et, et z, de manière symétrique: les angles entre n'importe quelle paire de ces directions sont les mêmes, 900. Pour cette raison, un système cartésien peut être tourné, et la même forme de la fonction de distance générale est conservée dans le système tourné.

En fait, il existe des variétés spatiales qui n'ont pas de système de coordonnées cartésien possible - par exemple. la surface d'une sphère, considéré comme une variété bidimensionnelle, ne peut pas être représenté en utilisant des coordonnées cartésiennes. Ces espaces ont d'abord été étudiés en tant que systèmes géométriques au XIXe siècle, et sont appelées géométries non classiques ou non euclidiennes. Toutefois, l'espace classique est euclidien, et par définition:

L'espace euclidien peut être représenté par des systèmes de coordonnées cartésiennes.

On peut définir l'alternative, non cartésien, systèmes de coordonnées pour l'espace euclidien; par exemple, les systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques sont très utiles en physique, et ils utilisent des mélanges de distance linéaire ou radiale, et angles, comme les nombres pour spécifier les points de l'espace. Les formules numériques de distance dans ces systèmes de coordonnées semblent assez différentes de la formule cartésienne. Mais ils sont définis pour donner les mêmes résultats pour les distances entre points physiques. C'est la caractéristique la plus cruciale du concept de distance en physique classique:

Distance entre les points dans l'espace classique (ou entre deux événements qui se produisent au même moment) est un invariant physique. Il ne change pas avec le choix du système de coordonnées.

La forme de l'équation numérique pour la distance change avec le choix du système de coordonnées; mais cela est fait délibérément pour préserver le concept physique de distance.

5. Choix du référentiel inertiel

Un deuxième concept crucial est l'idée d'un cadre de référence. Un référentiel spécifie toutes les trajectoires considérées comme stationnaires, ou au repos dans l'espace. Ceci définit la propriété de rester au même endroit dans le temps. Mais la principale caractéristique de la mécanique classique et de la STR est qu'aucun cadre de référence unique n'est déterminé. Tout objet qui n'accélère pas peut être considéré comme stationnaire "dans son propre cadre d'inertie". Il définit un cadre de référence valide pour tout l'univers. C’est le cadre de référence naturel « du point de vue » de l’objet, ou « relatif à l’objet ». Mais il y a beaucoup de choix possibles parce que compte tenu d’un cadre de référence particulier, tout autre cadre, défini pour donner à tout une vitesse constante par rapport à la première image est également un choix valable.

La classe de possibles (physiquement valide) les cadres de référence sont déterminés objectivement, Parce que l’accélération se distingue absolument du mouvement constant. Tout objet qui n’accélère pas peut être considéré comme définissant un cadre de référence valide. Mais le choix spécifique d’un cadre de référence parmi l’éventail des possibilités est considéré comme arbitraire ou conventionnel.. Ce choix doit être fait avant qu’un système de coordonnées puisse être défini pour représenter les distances dans l’espace et le temps.. Même après avoir choisi un cadre de référence, Il existe encore d’innombrables choix de systèmes de coordonnées. Mais le cadre de référence règle la définition des distances entre les événements, qui doit être défini comme identique dans tout système de coordonnées relatif à un cadre de référence donné.

L’idée de la conventionnalité du cadre de référence est déjà en partie évidente dans le choix d’un système de coordonnées cartésiennes: car c’est une question arbitraire où nous choisissons l’origine, ou point: 0 = (0,0,0), pour un tel système. Il est également arbitraire de savoir quelles directions nous choisissons pour le x, et, et les axes z – tant que nous les rendons mutuellement perpendiculaires. Nous sommes libres de faire pivoter un ensemble donné d’axes, X, et, z, pour produire un nouvel ensemble, x', y', et z', et cela donne un autre système de coordonnées cartésiennes. Ainsi, les translations et les rotations des systèmes de coordonnées cartésiennes pour l’espace nous laissent encore avec des systèmes cartésiens.

Mais il y a une autre transformation, qui est absolument central à la physique classique, et implique à la fois le temps et l’espace. C’est la transformation de vitesse galiléenne, ou augmentation de la vitesse. Le point essentiel est que nous devons appliquer un système de coordonnées spatiales à travers le temps. En géométrie classique pure, Nous n’avons pas à prendre en compte le temps: Nous attribuons simplement un seul système de coordonnées, à un moment précis. Mais en physique, nous devons appliquer un système de coordonnées pour l’espace à différents moments de temps.. Comment savoir si le système de coordonnées que nous appliquons à un moment donné représente le même système de coordonnées que nous utilisons ultérieurement ??

Les principes de la physique classique signifient que nous ne pouvons pas mesurer « l’emplacement absolu dans l’espace » à travers le temps. La raison en est le principe classique fondamental selon lequel les lois de la nature ne font pas la distinction entre deux référentiels inertiels se déplaçant l'un par rapport à l'autre à une vitesse constante. C'est le principe galiléen classique de la "relativité du mouvement". À peu près indiqué, cela signifie qu'un mouvement uniforme dans l'espace n'a aucun effet sur les processus physiques. Et si le mouvement en lui-même n'affecte pas les processus, alors nous ne pouvons pas utiliser de processus pour détecter le mouvement.

Newton croyait que la conception classique de l’espace exige néanmoins qu’il y ait des emplacements spatiaux absolus à travers le temps., et que certains systèmes de coordonnées spéciaux ou objets physiques seront effectivement au « repos absolu » dans l’espace. Mais dans le contexte de la physique classique, Il est impossible de mesurer si un objet est au repos absolu, ou est en mouvement uniforme dans l’espace. Pour cette raison,, Leibniz a nié que la physique classique exige un concept de position absolue dans l’espace, et a fait valoir que seule la notion d'espace « relatif » ou « relationnel » est requise. Dans cette vue, seules les positions relatives des objets les uns par rapport aux autres sont considérées comme réelles. Pour Newton, l'impossibilité de mesurer l'espace absolu ne l'empêche pas d'être un concept viable, et même un concept logiquement nécessaire. Il n'y a pas encore d'accord général sur ce débat entre les conceptions « absolues » et « relatives » ou « relationnelles » de l'espace.. C’est l’un des grands débats historiques dans la philosophie de la physique classique et relativiste.. Toutefois, Il est généralement admis que la physique classique rend l’espace absolu indétectable. Cela signifie, Au moins, que, dans le contexte de la physique classique, il n’y a aucun moyen de donner une procédure opérationnelle pour déterminer la position absolue (ou repos absolu) Au fil du temps.

Cependant, l’accélération absolue est détectable. Les accélérations sont toujours accompagnées de forces. Cela signifie que nous pouvons certainement spécifier la classe de systèmes de coordonnées qui sont en mouvement uniforme, ou qui n’accélèrent pas. Ces systèmes spéciaux sont appelés systèmes inertiels, ou des référentiels inertiels, ou cadres galiléens. L’existence de référentiels inertiels est une hypothèse fondamentale de la physique classique. Il est également fondamental dans STR, et la notion de repère inertiel est très similaire dans les deux théories.

Les lois de la physique classique sont donc spécifiées pour les systèmes de coordonnées inertielles. Ils sont également valables dans n’importe quel référentiel inertiel. Il en va de même pour les lois de STR. Toutefois, Les lois de transformation d’un référentiel inertiel à un autre sont différentes pour les deux théories. Pour voir comment cela fonctionne, Nous considérons maintenant la spécification opérationnelle des systèmes de coordonnées.

6. Spécification opérationnelle des systèmes de coordonnées pour l'espace et le temps classiques

En physique classique, Nous pouvons définir un système de mesure « opérationnel », ce qui nous permet d’attribuer des coordonnées à des événements dans l’espace et le temps.

Époque classique. Nous imaginons mesurer le temps en fabriquant un certain nombre d’horloges uniformes, les synchroniser à un moment initial, vérifier qu'ils fonctionnent tous exactement au même rythme (taux de temps correct), puis déplacer les horloges vers différents points de l'espace, où nous les maintenons « stationnaires » dans un référentiel inertiel choisi. Nous mesurons ensuite les temps des événements qui se produisent aux différents endroits, tel qu'enregistré par les différentes horloges à ces endroits.

Bien sûr, nous ne pouvons pas supposer que notre système d'horloges est vraiment stationnaire. L'ensemble du système d'horloges placées dans un mouvement uniforme définirait également un référentiel inertiel valide. Mais les lois de la physique classique signifient que les horloges en mouvement d'inertie uniforme fonctionnent exactement aux mêmes vitesses, et ainsi les temps enregistrés pour des événements spécifiques s'avèrent être exactement les mêmes, sur les hypothèses de la théorie classique, pour un tel système d'horloges.

Espace classique. On imagine mesurer l'espace en construisant un jeu de toises rigides ou de règles de même longueur, que nous pouvons (imaginativement au moins) mis en place comme une grille à travers l'espace, dans un référentiel inertiel. Nous gardons toutes les règles immobiles les unes par rapport aux autres, et nous les utilisons pour mesurer les distances entre divers événements. Encore, la principale complication est que nous ne pouvons pas déterminer de cadre absolument stationnaire pour la grille de règles, et nous pouvons mettre en place un système alternatif de règles qui est en mouvement relatif. Cela se traduit par l'attribution de différentes "vitesses absolues" aux objets, tel que mesuré dans deux cadres différents. Toutefois, sur les hypothèses de la théorie classique, les distances relatives entre deux objets ou événements, pris à un moment donné, est mesuré pour être le même dans n'importe quel référentiel inertiel. Ceci est dû au fait, en physique classique, le mouvement uniforme en lui-même ne modifie pas la longueur des objets matériels, ou les forces entre les systèmes d'objets. (Les accélérations modifient les longueurs).

7. Spécification opérationnelle des systèmes de coordonnées pour l'espace et le temps STR

Dans STR, la situation est à bien des égards très similaire à la physique classique: il existe encore un concept particulier de référentiels inertiels, l'accélération est absolument détectable, et la vitesse uniforme est indétectable. D'après STR, les lois de la physique sont toujours invariantes par rapport au mouvement uniforme dans l'espace, très proche des lois classiques.

Nous spécifions également les définitions opérationnelles des systèmes de coordonnées inertiels dans STR d'une manière similaire à la physique classique. Toutefois, le système esquissé ci-dessus pour attribuer des coordonnées classiques échoue, parce qu'il est incompatible avec les principes physiques de STR. Einstein a été contraint de reconstruire le système de mesure classique pour obtenir un système qui est intrinsèquement cohérent avec STR.

Heure STR. Dans STR, nous pouvons encore fabriquer des horloges uniformes, qui fonctionnent aux mêmes vitesses lorsqu'ils sont maintenus immobiles l'un par rapport à l'autre. Mais maintenant il y a un problème pour les synchroniser à différents points de l'espace. Nous pouvons les démarrer synchronisés à un point commun particulier; mais les déplacer vers différents points de l'espace perturbe déjà leur synchronisation, selon l'équation (1).

Toutefois, tandis que la synchronisation des horloges distantes est un problème, ils fonctionnent néanmoins aux mêmes vitesses intrinsèques les uns que les autres lorsqu'ils sont maintenus dans le même référentiel inertiel. Et nous pouvons nous assurer que deux horloges sont dans un référentiel inertiel commun tant que nous pouvons nous assurer qu'elles maintiennent la même distance l'une par rapport à l'autre. Nous voyons comment procéder ensuite.

Étant donné que nous avons deux horloges maintenues à la même distance l'une de l'autre, Einstein a montré qu'il existe en effet une procédure opérationnelle simple pour établir la synchronisation. We send a light signal from Clock 1 to Clock 2, and reflect it back to Clock 1. We record the time it was sent on Clock 1 as t0, et l'heure à laquelle il a été reçu à nouveau comme une heure ultérieure, t2. We also record the time it was received at Clock 2 as t1’ on Clock 2. Or la symétrie de la situation exige que, in the inertial frame of Clock 1, we must assume that the light signal reached Clock 2 at a moment halfway between t0 and t1, c'est à dire. à l'époque: t1 = ½(t2 - t0). Ceci est dû au fait, par symétrie, le signal lumineux doit prendre le même temps pour se déplacer dans les deux sens entre les horloges, étant donné qu'ils sont maintenus à une distance constante tout au long du processus, et ils n'accélèrent pas. (Si le signal lumineux met plus de temps à voyager dans un sens que dans l'autre, alors la lumière devrait se déplacer à des vitesses différentes dans des directions différentes, ce qui contredit STR).

Donc, we must resynchronize Clock 2 to make: t1' = t1. We simply set the hands on Clock 2 forwards by: (t1 – t1'), c'est à dire. par: ½(t2 - t0) – t1'. (Donc, the coordinate time on Clock 2 at t1’ is changed to: t1’ + (½(t2 - t0) – t1') = ½(t2 - t0) = t1.)

Ceci est parfois appelé la "convention de synchronisation d'horloge", et certains philosophes se sont demandé s'il était justifié. Mais il n'y a pas de véritable contestation que cela définit avec succès le seul système permettant d'attribuer la simultanéité dans le temps, dans le référentiel choisi, qui est compatible avec STR.

Des questions plus profondes se posent sur la notion de simultanéité qu'elle semble impliquer. From the point of view of Clock 1, le moment enregistré à: t1 = ½(t2 - t0) must be judged as ‘simultaneous’ with the moment recorded at t1’ on Clock 2. Mais dans un référentiel inertiel différent, le système de coordonnées naturelles modifiera la simultanéité apparente de ces deux événements, de sorte que la simultanéité elle-même n'est pas "objective" dans STR, sauf par rapport à un choix de référentiel inertiel. Nous considérerons cela plus tard.

Espace STR. Dans STR, nous pouvons mesurer l'espace d'une manière très similaire à celle de la physique classique. On imagine construire un jeu de toises rigides ou de règles, which are checked to be the same length in the inertial frame of Clock 1, et nous étendons cela dans une grille à travers l'espace. Nous devons déplacer les dirigeants pour commencer, mais quand on a mis en place la grille, we keep them all stationary in the chosen inertial frame of Clock 1.

Nous utilisons ensuite cette grille de réglettes fixes pour mesurer les distances entre différents événements. L'hypothèse principale est que des types identiques de tiges de mesure (which are the same lengths when we originally compare them at rest with Clock 1), maintenir les mêmes longueurs après avoir été déplacé à différents endroits (and being made stationary again with regard to Clock 1). Cette fonctionnalité est requise par STR.

La complication principale, encore une fois, est que nous ne pouvons pas déterminer de cadre absolument stationnaire pour la grille de règles. Nous pouvons mettre en place un système alternatif de dirigeants, qui sont tous en mouvement relatif dans un référentiel inertiel différent. Comme en physique classique, cela se traduit par l'attribution de différentes "vitesses absolues" à la plupart des trajectoires dans les deux cadres différents. Mais dans ce cas, il y a une différence plus profonde: sur les hypothèses de STR, les longueurs des piges varient en fonction de leurs vitesses. C'est ce qu'on appelle la dilatation de l'espace, et c'est la contrepartie de la dilatation du temps.

Néanmoins, Einstein a montré que des définitions opérationnelles parfaitement sensées des mesures de coordonnées pour la longueur, ainsi que le temps, sont disponibles en STR. Mais la simultanéité et la longueur deviennent relatives à des référentiels inertiels spécifiés.

C'est ce problème conceptuel déroutant, qui implique la théorie de la dépendance de la mesure, qu'Einstein a d'abord réussi à démêler, comme prélude à montrer comment reconstruire radicalement la physique classique.

8. Opérationnalisme

Démêler ce problème nous oblige à préciser les « principes opérationnels » de la mesure, mais cela ne nous oblige pas à adopter une théorie opérationnelle du sens. Ce dernier est une forme de positivisme, et il soutient que la signification de «temps» ou «espace» en physique est entièrement déterminée en spécifiant les procédures de mesure du temps ou de l'espace. Cette théorie est généralement rejetée par les philosophes et les logiciens, et il a été rejeté par Einstein lui-même dans son travail de maturité. Selon l'opérationnalisme, STR change le sens des concepts d'espace et de temps de la conception classique. Toutefois, de nombreux philosophes diraient que « le temps » et « l'espace » ont pour nous une signification qui est essentiellement la même que pour Galilée et Newton, parce que nous identifions le même genre de choses que le temps et l'espace; mais la théorie de la relativité a modifié nos croyances scientifiques sur ces choses - tout comme la découverte que l'eau est H2O a modifié notre compréhension de la nature de l'eau, sans nécessairement altérer le sens du terme « eau ». Cette dispute sémantique perdure dans la philosophie des sciences. Après avoir clarifié ces idées de base sur les systèmes de coordonnées et les repères inertiels, revenons maintenant à la notion de transformations entre repères pour différents référentiels inertiels.

9. Transformations de coordonnées et transformations d'objets

La physique utilise deux concepts différents de transformations. Il est important de les distinguer soigneusement.

Coordonner les transformations: Prendre la description d'un processus donné (comme une trajectoire), décrit dans un système de coordonnées, et transformer à sa description dans un système de coordonnées alternatif.
Transformations d'objets: Prendre un processus donné, décrit dans un système de coordonnées donné, et le transformer en un processus différent, décrit dans le même système de coordonnées que le processus d'origine.

La différence est illustrée dans le diagramme suivant pour le type de transformation le plus simple, traduction de l'espace.

Figure 3. Objet, Coordonner, et transformations combinées.

The transformations in Figure 3 are simple space translations.
Figure 3 (B) montre une transformation d'objet. La trajectoire d'origine (UN) est déplacé dans l'espace vers la droite, by 4 units. Les nouvelles coordonnées sont liées aux coordonnées d'origine par: xnew particle ® xoriginal particle + 4.
Figure 3 (C) montre une transformation de coordonnées: the coordinate system is moved to the left by 4 units. Le nouveau système de coordonnées, x', est lié au système d'origine, X, par: x’original particle = xoriginal particle + 4. Le résultat "ressemble" à (B).
Figure 3 (D) montre une combinaison de la transformation d'objet (B) et une transformation de coordonnées, qui est l'inverse de celui de (C), Défini par: x’’original particle = xoriginal particle – 4. Le résultat de ceci ressemble à la trajectoire d'origine dans (UN), parce que la transformation des coordonnées semble "annuler" l'effet de la transformation de l'objet.
dix. Transformations valides

Il existe un lien intime entre ces deux types de transformations. Cette connexion fournit le principal appareil conceptuel de la physique moderne, à travers le concept de symétries physiques, ou principes d'invariance, et transformations valides.

Les caractéristiques les plus profondes des lois ou des théories de la physique se reflètent dans leurs propriétés de symétrie, qui sont aussi appelées invariances par transformations de symétrie. Les lois ou théories peuvent être comprises comme décrivant des classes de processus physiques. Les processus physiques conformes à une théorie sont des processus physiques valides de cette théorie. Bien sûr, pas tout (logiquement) les processus possibles que nous pouvons imaginer sont des processus physiques valides d'une théorie donnée. Sinon, la théorie engloberait tous les processus possibles, et ne nous dit rien sur ce qui est physiquement possible, contrairement à ce qui est logiquement concevable.

Les symétries d'une théorie sont décrites par des transformations qui préservent les processus valides de la théorie. Par exemple, la traduction du temps est une symétrie de presque toutes les théories. Cela signifie que si nous prenons un processus valide, et le transformer, intact, à une époque antérieure ou postérieure, nous avons toujours un processus valide. Cela équivaut à simplement définir «l'origine temporelle» du processus à un moment ultérieur ou antérieur.

D'autres symétries courantes sont:

Rotations dans l'espace (si nous prenons un processus valide, et faites-le pivoter dans une autre direction de l'espace, nous nous retrouvons avec un autre processus valide).
Traductions dans l'espace (si nous prenons un processus valide, et déplacez-le vers une autre position dans l'espace, nous nous retrouvons avec un autre processus valide).
Transformations de vitesse (si nous prenons un processus valide, et lui donner une augmentation de vitesse uniforme dans une certaine direction de l'espace, nous nous retrouvons avec un autre processus valide).

Ces symétries sont valables aussi bien en physique classique qu'en STR. En physique classique, elles sont appelées symétries galiléennes ou transformations. Dans STR, elles sont appelées transformations de Lorentz. Toutefois, bien que les symétries soient très similaires dans les deux théories, les transformations de Lorentz dans STR impliquent des caractéristiques qui ne sont pas évidentes dans la théorie classique. En fait, cette différence n'apparaît que pour les augmentations de vitesse. Les translations et les rotations sont identiques dans les deux théories. Ceci est essentiellement dû au fait que les augmentations de vitesse dans STR impliquent des transformations de la connexion entre le temps propre et l'espace et le temps ordinaires., qui n'apparaît pas dans la théorie classique.

Le concept de transformations de coordonnées valides découle directement de celui de transformations d'objets valides. Le fait est que lorsque nous effectuons une transformation d'objet, nous commençons par une description d'un processus dans un système de coordonnées, et se retrouver avec une autre description, d’un processus différent, données dans le même système de coordonnées. Maintenant, au lieu de transformer les processus impliqués, Nous pouvons faire l’inverse, et effectuer une transformation du système de coordonnées, afin que nous nous retrouvions avec une nouvelle description coordonnée du processus d’origine, qui ressemble exactement à la description du processus transformé dans le système de coordonnées d’origine.

Cela donne une autre façon de considérer le processus, et son image transformée: au lieu de les prendre comme deux processus différents, Nous pouvons les prendre comme deux descriptions de coordonnées différentes du même processus.

Ceci est lié à l’idée que certains aspects du système de coordonnées sont arbitraires ou conventionnels.. Par exemple, Le choix d’une origine particulière pour le temps ou l’espace est considéré comme conventionnel: Nous pouvons déplacer les origines dans notre description de coordonnées, et nous avons toujours un système valide. Ceci n’est possible que parce que les transformations d’objet correspondantes (Traductions temporelles et spatiales) sont des transformations physiques valides.

Les physiciens ont tendance à considérer les transformations de coordonnées et les transformations d'objets valides de manière interchangeable et quelque peu ambiguë, et la distinction entre les deux est souvent floue en physique appliquée. Bien que cela ne pose pas de problèmes pratiques, il est important lors de l'apprentissage des concepts de la théorie de distinguer clairement les deux types de transformations.

11. Augmentation de la vitesse en STR et en mécanique classique

La STR et la mécanique classique ont exactement les mêmes symétries sous les translations du temps et de l'espace, et rotations de l'espace. Ils ont également tous deux des symétries sous des boosts de vitesse: Les deux théories soutiennent que, si nous prenons un processus physique valide, et lui donner une vitesse supplémentaire uniforme dans une certaine direction, Nous terminons avec un autre processus physique valide. Mais la transformation des coordonnées de l’espace et du temps, et de temps opportun, sont différentes pour les deux théories sous un boost de vitesse. En physique classique, c’est ce qu’on appelle une transformation galiléenne, tandis que pour STR, on l’appelle une transformation de Lorentz.

Pour voir comment la différence apparaît, Nous pouvons prendre une trajectoire stationnaire, et considérons ce qui se passe lorsque nous appliquons une augmentation de vitesse dans l'une ou l'autre théorie.

Figure 4. Les boosts de vélocité classiques et STR donnent des résultats différents.

Dans les deux schémas, la ligne verte est la trajectoire d'origine d'une particule stationnaire, et ça a exactement la même apparence en STR et en mécanique classique. Événements au bon moment (marqué en bleu) sont équidistants des intervalles de temps coordonnés dans les deux cas.

Si on transforme la trajectoire classique en donnant à la particule une vitesse (dans cet exemple, v = c/2) vers la droite, le résultat (ligne rouge) est très simple: Les événements temporels appropriés restent également espacés avec des intervalles de temps coordonnés. La même séquence d’événements de temps propre prend la même quantité de temps de coordonnées à compléter. La particule classique se déplace sur une distance: Dx = v.Dt à droite, où Dt est la durée coordonnée du processus d’origine.

Mais quand on transforme la particule STR, Une chose étrange se produit: les événements temporels appropriés deviennent plus largement espacés que les intervalles de temps coordonnés, et la même séquence d'événements en temps propre prend plus de temps coordonné pour se terminer. La particule STR se déplace sur une distance: Dx' = v.Dt' vers la droite, où: Dt’ > Dt, et donc: Dx’ > Dx.

Les transformations des coordonnées du (moment approprié) les points des processus d'origine sont indiqués dans le tableau suivant.

Tableau 1. Exemple de transformation de vitesse.

Nous pouvons élaborer la formule générale des transformations STR de t 'et x' dans cet exemple en utilisant l'équation (1). Cela nécessite de trouver une formule pour la transformation des coordonnées spatio-temporelles:

(t, 0) ® (t', x')

Nous obtenons cela en appliquant l’équation (1) dans l' (t',x') système de coordonnées, donnant:

(1’)

Il est crucial que cette équation conserve la même forme sous l’équation de Lorentz. Dans ce cas particulier, Nous avons les faits supplémentaires qui:

(J’ai) Dt = Dt, et:(Ii) Dx' = vDt'

Nous remplaçons (J’ai) et (Ii) dans (1’) pour obtenir:

Cela réorganise pour donner:

et:

Nous pouvons voir que: Dx'/Dt' = v. C’est un cas particulier de transformation de Lorentz pour ce type de trajectoire le plus simple.. Notez que si nous considérons cela comme une transformation de coordonnées qui génère l'apparence de cette transformation d'objet, nous devons déplacer le nouveau système de coordonnées dans la direction opposée au mouvement de l'objet. C'est à dire. si nous définissons un nouveau système de coordonnées, (x',t'), se déplaçant à –v (c'est à dire. À gauche) par rapport à l'origine (X,t) système, puis la trajectoire d'origine (qui apparaissait stationnaire dans (X,t)) semblera se déplacer avec une vitesse +v (À gauche) dans (x',t'). En général, les transformations d'objet correspondent aux transformations de coordonnées inverses.

12. Transformations de Lorentz pour Velocity Boost V dans la direction x

Les transformations précédentes ne concernent que les points de la ligne spéciale où: x = 0. Plus généralement, Nous voulons élaborer les formules de transformation des points n’importe où dans le système de coordonnées:

(t, X) ® (t', x')

Les formules classiques sont des transformations galiléennes, et ils sont très simples.

Galiléen Velocity Boost:

(t, X) ® (t, X+VT)t'= t

x' = x+vt

Les formules STR sont des transformations de Lorentz plus générales. La transformation galiléenne est simple car les coordonnées temporelles sont inchangées, Et alors: t = t'. Cela signifie que la simultanéité dans le temps en physique classique est absolue: cela ne dépend pas du choix du système de coordonnées. On a aussi que la distance entre deux points à un instant donné est invariante, parce que si: x2 -x1 = Dx, alors: x'2 -x'1 = (x2+VT) – (x1-vt) = Dx. La distance ordinaire dans l'espace est la quantité invariante cruciale en physique classique.

Mais dans STR, nous avons une interdépendance complexe des coordonnées temporelles et spatiales. Ceci est vu parce que les formules de transformation pour t 'et x' sont des fonctions de x et t. C'est à dire. il existe des fonctions f et g telles que:

t' = f(X,t) et: x' = g(X,t)

Ces fonctions représentent les transformations de Lorentz. Pour donner aux objets stationnaires une vitesse V dans la direction x, these general functions are found to be Lorentz Transformation, et le facteur est appelé γ, Écrivons ces équations plus simplement comme suit ::

Transformations de Lorentz: t'= γ(t+Vx/c2) et: x' = γ(x+Vt)

Nous pouvons également considérer la transformation de coordonnées correspondante, ce qui générerait l’apparition de cette transformation d’objet dans un nouveau système de coordonnées. C'est essentiellement la même chose que la transformation d'objet - sauf qu'elle doit aller dans la direction opposée. Pour la transformation d'objet, qui augmente la vitesse des particules stationnaires de la vitesse V dans la direction x, correspond au déplacement du système de coordonnées dans la direction opposée. C'est à dire. si nous définissons un nouveau système de coordonnées, et appelle-le (x',t'), et mettez-le en mouvement avec une vitesse -V (c'est à dire. V dans la direction x négative), par rapport au (X,t) système de coordonnées, alors les trajectoires stationnaires d'origine dans (X,t)-coordinates will appear to have speed V in the new (x',t') coordonnées.

Parce que la transformation de Lorentz des processus nous laisse avec des processus STR valides, la transformation de Lorentz d’un système de coordonnées STR nous laisse avec un système de coordonnées valide. En particulier, la forme de l’équation (1) est préservé par la transformation de Lorentz, afin que nous obtenions:. Ceci peut être vérifié en substituant les formules pour t’et x' dans cette équation, et simplifier; l’équation résultante s’avère identique à l’équation (1).

13. Transformation galiléenne du système de coordonnées

Une façon utile de visualiser l’effet d’une transformation est de faire un diagramme espace-temps ordinaire, avec les axes de l’espace et du temps dessinés perpendiculaires l’un à l’autre comme d’habitude, puis de dessiner le nouvel ensemble de coordonnées sur ce diagramme. Dans ces diagrammes, Les axes d’espace représentent des points qui sont mesurés pour avoir les mêmes coordonnées temporelles, et de même, Les axes temporels représentent des points qui sont mesurés pour avoir les mêmes coordonnées spatiales. Quand nous faisons un boost de vitesse, Ces lignes de simultanéité et de même position sont modifiées.

Ceci est montré en premier pour un boost de vitesse galiléen, où en fait les lignes de simultanéité restent les mêmes, mais les lignes représentant la position sont tournées:

Figure 5. Galiléen Velocity Boost.

In Figure 5, le (vert) Les lignes horizontales sont des lignes de simultanéité absolue. Ils ont les mêmes coordonnées en t et t'.
Le (bleu) Les lignes verticales sont des lignes avec les mêmes coordonnées X.
Le (gris) Les lignes obliques sont des lignes avec les mêmes coordonnées x'.
L’espacement des coordonnées x est le même que celui des coordonnées x, ce qui signifie que les distances relatives entre les points ne sont pas affectées.
La flèche noire pleine représente une trajectoire stationnaire dans (X,t).
Une transformation d’objet de +V le déplace sur la flèche verte, avec vélocité: v = c/2 dans le (X,t)-system.
Une transformation de coordonnées de +V, à un système (x',t') se déplaçant à +V en ce qui concerne (X,t), fait apparaître cette flèche verte immobile dans le (x',t') système.
Cette transformation de coordonnées donne l’impression que la flèche noire se déplace à –V dans (x',t') coordonnées.
14. Transformation de Lorentz du système de coordonnées

Dans un boost de vitesse de Lorentz, Les axes temporel et spatio-spatio sont tous deux tournés, et l’espacement est également modifié.

Figure 6. Rotation des axes de coordonnées spatiales et temporelles par un boost de vitesse de Lorentz. Certains événements de temps propre sont marqués en bleu.

Pour obtenir le (x',t')-coordinates of a point defined in (X,t)-coordinates, nous commençons à ce point, et: (J’ai) se déplacer parallèlement aux lignes vertes, pour trouver l'intersection avec (rouge) Taxis, qui est marqué par les coordonnées x'; et: (Ii) se déplacer parallèlement aux lignes rouges, pour trouver l'intersection avec (vert) axe x', qui est marqué par les coordonnées t'. Les effets de cette transformation sur une tige solide ou une règle s'étendant de x=0 à x=1, et stationnaire dans (X,t), est montré plus en détail ci-dessous.

Figure 7. Boost de vitesse de Lorentz. Magnified view of Figure 6 shows time and space dilation. Le rectangle gris représente une unité de la trajectoire spatio-temporelle d'une tige (Rod 1) stationnaire dans (X,t). Les lignes vert foncé représentent un Lorentz (objet) transformation de cette trajectoire, qui est une deuxième tige (Rod 2) se déplaçant à V dans (X,t) coordonnées. Il s'agit d'une unité de la trajectoire spatio-temporelle d'une tige stationnaire dans (x',t').

15. Dilatation du temps et de l'espace

Figure 7 shows how both time and space dilation effects work. Pour voir cela clairement, il faut considérer les volumes d'espace-temps qu'un objet comme une tige trace.

Le (gris) rectangle PQRS représente un volume espace-temps, pour une tige fixe ou une règle dans le cadre d’origine. Il mesure 1 mètre de long en coordonnées originales (Dx = 1), and is shown over 1 unit of proper time, qui correspond à une unité de temps de coordonnées (Dt = 1).
Le rectangle PQ’R’S' (bords verts) représente un second volume spatio-temporel, pour une tige qui semble bouger dans le cadre d’origine. C’est ainsi que le volume spatio-temporel de la première tige se transforme sous une transformation de Lorentz.
Nous pouvons interpréter la transformation comme suit :: (J’ai) une augmentation de la vitesse de Lorentz de la tige par la vitesse + V (transformation d'objet), ou également: (Ii) une transformation de Lorentz vers un nouveau système de coordonnées, (x',t'), se déplaçant à –V par rapport à (X,t). Noter que:
La longueur de la tige mobile mesurée en x est maintenant plus courte que la tige fixe: Dx = 1/γ. C'est la dilatation de l'espace.
Le temps coordonné entre les événements de temps propre sur la tige mobile mesuré en t est maintenant plus long que pour la tige stationnaire (Dt = γ). C'est la dilatation du temps.

La nécessité de fixer le nouveau système de coordonnées de cette manière peut être résolue en considérant la tige mobile du point de vue de son propre système inertiel.

Vu dans son propre système de coordonnées inertielles, le rectangle vert PQ’R’S' apparaît comme la limite espace-temps d’une tige stationnaire. Dans ce cadre:
PS' semble stationnaire: C’est une ligne où: x’ = 0.
PQ' apparaît comme une ligne de simultanéité, c'est à dire. C’est une ligne où: t'=0.
R’S' est aussi une ligne de simultanéité dans t'.
Les points sur R’S' doivent avoir la coordonnée temporelle: t'=1, puisque c’est à l’instant t’qu’une unité de temps propre s’est écoulée, et pour l’objet stationnaire, Dt' = Dt.
La longueur de PQ' doit être d’une unité sur x', puisque la tige mobile apparaît de la même longueur dans son propre cadre inertiel que la tige fixe d’origine.

La dilatation du temps et de l’espace est souvent appelée « effets de perspective » dans les discussions sur la STR. On dit que les objets et les processus « semblent » plus courts ou plus longs lorsqu’ils sont vus dans un référentiel inertiel plutôt que dans un autre.. Il est courant de considérer cet effet comme une caractéristique purement « conventionnelle »., qui ne fait que refléter un choix conventionnel de cadre de référence. Mais c’est plutôt trompeur, Parce que la dilatation du temps et de l’espace sont des effets physiques bien réels, et ils conduisent à des types de prédictions physiques complètement différents de ceux de la physique classique.

Toutefois, les propriétés symétriques de la transformation de Lorentz rendent impossible l’utilisation de ces caractéristiques pour dire si un cadre est « vraiment en mouvement » et un autre est « vraiment stationnaire ». Par exemple, si les objets deviennent plus courts lorsqu’ils sont mis en mouvement, Alors pourquoi ne mesurons-nous pas simplement la longueur des objets, et utilisez-le pour déterminer s’ils sont « vraiment stationnaires »? The details in Figure 7 reveal why this does not work: L’effet de dilatation de l’espace est inversé lorsque nous changeons les cadres de référence. C'est:

Measured in Frame 1, c'est à dire. dans (X,t)-coordinates, l’objet stationnaire (Rod 1) apparaît plus long que l’objet en mouvement (Rod 2). Mais:
Measured in Frame 2, Utilisant (x',t')-coordinates, L’objet en mouvement (Rod 2) semble stationnaire, alors que l’objet initialement stationnaire (Rod 1) Se déplace. Mais maintenant, l’effet de dilatation de l’espace semble inversé, and Rod 2 appears longer than Rod 1!

The reason this is not a real paradox or inconsistency can be seen from the point of view of Frame 2, because now Rod 1 at the moment of time t’ = 0 stretches from the point P to Q’’, plutôt que de P à Q, as in Frame 1. La ligne de simultanéité change dans le nouveau cadre, afin que nous mesurions la distance entre une paire différente d’événements spatio-temporels. Et PQ'' est maintenant jugé plus court que PQ'', which is the length of Rod 2 in Frame 2.

Il n’y a pas de réponse, au sein de STR, Quant à savoir quelle tige « devient vraiment plus courte ». Similarly there is no answer as to which rod ‘really has faster proper time’ – when we switch to Frame 2, we find that Rod 2 has a faster rate of proper time with regard to coordinate time, reversing the time dilation effect apparent in Frame 1. En ce sens, nous pourrions considérer ces effets comme une question de « perspective » – bien qu’il soit plus exact de dire que dans STR, dans son interprétation habituelle, Il n’y a tout simplement pas de faits sur la longueur absolue, ou temps absolu, ou simultanéité absolue, Pas du tout.

Toutefois, Cela ne signifie pas que la dilatation du temps et de l’espace ne sont pas des effets réels. Ils sont affichés dans d’autres situations où il n’y a pas d’ambiguïté. Un exemple est le paradoxe des jumeaux, où le temps approprié ralentit de manière absolue pour un jumeau en mouvement. Et il y a des effets physiques tout aussi réels résultant de la dilatation de l’espace. C’est juste que ces effets ne peuvent pas être utilisés pour déterminer un cadre de repos absolu.

16. La théorie complète de la relativité restreinte

Jusqu’à présent, nous n’avons examiné que la partie la plus élémentaire de STR: les transformations STR valides pour l’espace, temps, et le bon moment, et la façon dont ces trois quantités sont reliées entre elles. C'est la partie la plus fondamentale de la théorie. Il représente la cinématique relativiste. Il a déjà des implications très puissantes. Mais la théorie entièrement développée est beaucoup plus étendue: il résulte de l'idée d'Einstein que les transformations de Lorentz représentent une invariance universelle, applicable à toute la physique. Einstein formulated this in 1905: « Les lois de la physique sont invariantes sous les transformations de Lorentz (lors du passage d'une centrale inertielle à une autre centrale inertielle choisie arbitrairement)”. En adoptant ce principe général, il a exploré les ramifications des concepts de masse, énergie, élan, et forcer.

Le résultat le plus célèbre est l'équation d'Einstein pour l'énergie: E = mc². Cela implique l'extension de la transformation de Lorentz à la masse. Einstein a découvert que lorsque nous transformons de Lorentz une particule stationnaire avec une masse au repos originale m0, pour le mettre en mouvement avec une vitesse V, nous ne pouvons pas le considérer comme conservant la même masse totale. Plutôt, sa masse devient plus grande: m = γm0, avec γ défini comme ci-dessus. C'est une autre contradiction profonde avec la physique classique.

Einstein a montré que cela nous oblige à reformuler notre concept d'énergie. En physique classique, l'énergie cinétique est donnée par: E = ½ mv². Dans STR, il existe une définition plus générale de l'énergie, comme: E = mc². Une particule stationnaire a alors une "énergie de masse au repos" de base de m0c². Quand il est mis en mouvement, son énergie est augmentée uniquement par l'augmentation de la masse, et c'est l'énergie cinétique. On trouve donc dans STR que:

Énergie cinétique = mc²-m0c² = (c-1)m0c²

Pour les faibles vitesses, avec: v << c, it is easily shown that: (γ-1)c² is very close to ½v², so this corresponds to the classical result in the classical limit of low energies. But for high energies, the behavior of particles is very different. The discovery that there is an underlying energy of m0c² simply from rest-mass is what made nuclear reactors and nuclear bombs possible: they convert tiny amounts of rest mass into vast amounts of thermal energy. The main application Einstein explored first was the theory of electromagnetism, and his most famous paper, in which he defined STR in 1905, is called “Electrodynamics of Moving Bodies”. In fact, Lorentz, Poincaré and others already knew that they needed to apply the Lorentz transformation to Maxwell’s theory of classical electromagnetism, and had succeeded a few years earlier in formulating a theory which is extremely similar to Einstein’s in its predictions. Some important experimental verification of this was also available before Einstein’s work (most famously, the Michelson-Morley experiment). But his theory went much further. He radically reformulated the concepts that we use to analyse force, energy, momentum, and so forth. In this sense, his new theory was primarily a philosophical and conceptual achievement, rather than a new experimental discovery of the kind traditionally regarded as the epitome of empirical science. He also attributed his universal ‘principle of relativity’ to the very nature of space and time itself. With important contributions by Minkowski, this gave rise to the modern view that physics is based on an inseparable combination of space and time, called space-time. Minkowski treated this as a kind of ‘geometric’ entity, based on regarding our Equation (1) as a ‘metric equation’ describing the geometric nature of space-time. This view is called the ‘geometric explanation’ of relativity theory, and this approach led Einstein even deeper into modern physics, when he applied this new conception to the theory of gravity, and discovered a generalised theory of space-time. The nature of this ‘geometric explanation’ of the connection between space, time, and proper time is one of the most fascinating topics in the philosophy of physics. But it involves the General Theory of Relativity, which goes beyond STR. 17. References and Further Reading The literature on relativity and its philosophical implications is enormous – and still growing rapidly. The following short selection illustrates some of the range of material available. Original publication dates are in brackets. Bondi, Hermann. 1962. Relativity and Common Sense. Heinemann Educational Books. A clear exposition of basic relativity theory for beginners, with a minimum of equations. Contains useful discussions of the Twins Paradox and other topics. Einstein, Albert. 1956 (1921). The Meaning of Relativity. (The Stafford Little Lectures of Princeton University.) Princeton University Press. Einstein’s account of the principles of his famous theory. Simple in parts, but mainly a fairly technical summary, requiring a good knowledge of physics. Epstein, Lewis Carroll. 1983. Relativity Visualized. Insight Press. San Francisco. A clear, simple, and rather unique introduction to relativity theory for beginners. Epstein illustrates the functional relationships between space, time, and proper time in a clear and direct way, using novel geometric presentations. Grunbaum, Adolf. 1963. Philosophical Problems of Space and Time. Knopf, New York. A collection of original studies by one of the seminal philosophers of relativity theory, this covers an impressive range of issues, and remains an important starting place for many recent philosophical studies. Lorentz, H. A., A. Einstein, H. Minkowski and H. Weyl. 1923. The Principle of Relativity. A Collection of Original Memoirs on the Special and General Theory of Relativity. Trans. W. Perrett and G.B. Jeffery. Methuen. London. These are the major figures in the early development of relativity theory, apart from Poincare, who simultaneously with Lorentz formulated the ‘pre-relativistic’ version of electromagnetic theory, which contains most of the mathematical basis of STR, shortly before Einstein’s paper of 1905. While Einstein deeply admired Lorentz – despite their permanent disagreements about STR – he paid no attention to Poincare. Newton, Isaac. 1686. Mathematical Principles of Natural Philosophy. Every serious student should read Newton’s “Definitions” and “Scholium”, where he introduces his concepts of time and space. Planck, Max. 1998 (1909). Eight Lectures on Theoretical Physics. Planck elegantly summarizes the revolutionary discoveries that characterized the first decade of 20th Century physics. Lecture 8 is one of the earliest accounts of relativity theory. This classic work shows Planck’s penetrating vision of many fundamental themes that soon came to dominate physics. Reichenbach, Hans. 1958 (1928). The Philosophy of Space and Time. Dover, New York. An influential early study of the concepts of space and time, and the relativistic revolution. Although Reichenbach’s approach is underpinned by his positivistic program, which is rejected today by philosophers, the central issues are of continuing interest. Russell, Bertrand. 1977 (1925). ABC of Relativity. Unwin Paperbacks, London. A early popular exposition of the meaning of relativity theory by one of the most influential 20th century philosophers, this presents key philosophical issues with Russell’s characteristic simplicity. Schlipp, P.A. (Ed.) 1949. Albert Einstein: Philosopher-Scientist. The Library of Living Philosophers. A classic collection of papers on Einstein and relativity theory. Spivak, M. 1979. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Publish or Perish. Berkeley. An advanced mathematical introduction to the modern approach to differentiable manifolds, which developed in the 1960’s. Philosophical interest lies in the detailed semantics for coordinate systems, and the generalizations of concepts of geometry, such as the tangent vector. Tipler, Paul A. 1982. Physics. Worth Publishers Ltd. An extended introductory textbook for undergraduates, Chapter 35, “Relativity Theory”, is a typical modern introduction to relativity theory. Torretti, Roberto. 1983/1996. Relativity and Geometry. Dover, New York. An excellent source for the specialist philosopher, summarizing history and concepts of both the Special and General Theories, with extended bibliography. Combines excellent technical summaries with detailed historical surveys. Wangsness, Roald K. 1979. Electromagnetic Fields. John Wiley & Sons Ltd. This is a typical advanced modern undergraduate textbook on electromagnetism. The final chapter explains how the structure of electrodynamics is derived from the principles of STR. Back to the main “Time” article. Author Information Andrew Holster Email: [email protected] New Zealand