Calcul Epsilon

Les calculs Epsilon sont des formes étendues du calcul des prédicats qui incorporent des termes epsilon.. Les termes Epsilon sont des termes individuels de la forme « εxFx », étant défini pour tous les prédicats du langage. Le terme epsilon « εxFx » désigne un F choisi, s'il y a des F, et a une référence arbitraire sinon. Les calculs d'Epsilon ont été développés à l'origine pour étudier certaines formes d'arithmétique., et la théorie des ensembles; aussi pour prouver quelques méta-théorèmes importants sur le calcul des prédicats. Les développements formels ultérieurs ont inclus une variété de calculs d'epsilon intensionnels., d'utilité dans l'étude de la nécessité, et des notions intensionnelles plus générales, comme la croyance. Un terme epsilon tel que « εxFx » était à l'origine lu comme « le premier F », et dans des contextes arithmétiques comme « le moindre F ». Plus généralement, il peut être lu comme la description démonstrative « que F », lorsqu'il surgit soit déictiquement, c'est, dans un contexte pragmatique où un certain F est pointé du doigt, ou dans des situations de croisements linguistiques, comme avec, par exemple, « Il y a un homme aux cheveux roux dans la pièce. Cet homme aux cheveux roux est de race blanche.. L'application des termes epsilon au langage naturel partage certaines caractéristiques avec l'utilisation des termes iota dans la théorie des descriptions donnée par Bertrand Russell., mais diffère dans la formalisation des aspects d'une théorie de référence légèrement différente, donné pour la première fois par Keith Donnellan. Plus récemment, les termes epsilon ont été utilisés par un certain nombre d'auteurs pour formaliser l'anaphore à phrases croisées, ce qui se produirait si « cet homme aux cheveux roux » dans le cas linguistique ci-dessus était remplacé par un pronom tel que « il ». Il y a alors aussi une application similaire dans les cas intentionnels, comme 'Il y a un homme aux cheveux roux dans la pièce. Celia croyait qu’il était une femme.

Table des matières
Introduction
Descriptions et identité
Conditions Epsilon rigides
La problématique du calcul Epsilon
La sémantique formelle des termes Epsilon
Un peu de métathéorie
Références et lectures complémentaires
1. Introduction

Les termes Epsilon ont été introduits par le mathématicien allemand David Hilbert, à Hilbert 1923, 1925, fournir des définitions explicites des quantificateurs existentiels et universels, et résoudre certains problèmes de mathématiques infinitifiques. Mais il ne s’agit pas seulement des résultats formels associés, et des structures qui présentent un intérêt. Dans le livre majeur de Hilbert Fondements des mathématiques, qu'il a écrit avec son collaborateur Paul Bernays, les termes epsilon ont été présentés comme formalisant certaines constructions en langage naturel, comme des descriptions précises. Et ils ont en fait une gamme considérablement plus large de telles applications, par exemple dans la symbolisation de certaines anaphores à phrases croisées. Hilbert et Bernays ont également utilisé leur calcul d'epsilon pour prouver deux méta-théorèmes importants sur le calcul des prédicats. Un théorème conduit par la suite, par exemple, au développement de tableaux sémantiques: c'est ce qu'on appelle le premier théorème d'Epsilon, et son contenu et sa preuve seront donnés plus tard, dans la section 6 ci-dessous. Un deuxième théorème démontré par Hilbert et Bernays, que nous examinerons également alors, établit que les calculs d'epsilon sont des extensions conservatrices du calcul des prédicats, c'est, que pas plus de théorèmes exprimables uniquement dans le langage quantificationnel du calcul des prédicats ne peuvent être prouvés dans les calculs epsilon que dans le calcul des prédicats lui-même. Mais même si les calculs d'Epsilon ont ces autres fonctions formelles importantes, nous ne nous soucierons pas seulement de les explorer, car nous discuterons également d'abord des structures du langage naturel sur lesquelles les calculs epsilon ont une influence considérable..

La prise de conscience croissante de la signification et de la signification plus larges des calculs d’Epsilon ne s’est faite que par étapes.. Hilbert et Bernays ont introduit des termes epsilon à plusieurs fins métamathématiques, comme ci-dessus, mais la présentation étendue d'un calcul d'epsilon, comme une logique formelle d’intérêt à part entière, in fact only first appeared in Bourbaki’s Éléments de Mathématique (bien que voir aussi Ackermann 1937-8). Calcul epsilon de Bourbaki avec identité (Bourbaki, 1954, Livre 1) est axiomatique, avec Modus Ponens comme seule règle d'inférence ou de dérivation primitive. Ainsi, en effet, Nous obtenons:

(X∨X) → X,
X → (X ∨ Oui),
(X ∨ Oui) → (Oui ∨),
(X ∨ Oui) → ((Z∨X) → (Z ∨ Oui)),
Mon → FεxFx,
x = y → (Effets ↔ Fy),
(X)(Effets ↔ Gx) → εxFx = εxGx.

Cela ajoute à la base du calcul propositionnel un schéma d'axiome epsilon, puis la loi de Leibniz, et un deuxième schéma d'axiome epsilon, qui est une autre loi de l'identité. Bourbaki, mais, a utilisé la lettre grecque tau plutôt que epsilon pour former ce que l'on appelle maintenant « termes epsilon »; néanmoins, il a défini les quantificateurs en fonction de son symbole tau à la manière de Hilbert et Bernays, à savoir:

(∃x)Effets ↔ FεxFx,
(X)Effets ↔ Fεx¬Fx;

et notez que, dans son système l'autre loi habituelle de l'identité, 'x = x', est dérivable.

Le principal objectif que Bourbaki a trouvé pour son système logique était sa théorie des ensembles., bien que grâce à ça, de manière moderne, il est ainsi devenu le fondement du reste des mathématiques. La théorie des ensembles de Bourbaki discrimine parmi les prédicats ceux qui déterminent les ensembles: donc certains, mais seulement quelques-uns, les prédicats déterminent les ensembles, c'est à dire. sont des « collectivisantes ». Tous les principaux axiomes de la théorie des ensembles classique sont incorporés dans sa théorie, mais il n'a pas d'axiome du choix comme axiome distinct, puisque ses fonctions sont reprises par son symbole tau. Le même point est valable dans la version epsilon de Bernays de sa théorie des ensembles. (Bernays 1958, Chapitre VIII).

Calcul Epsilon, pendant cette période, ont été développés sans aucune sémantique, mais une interprétation sémantique a été produite par Gunter Asser en 1957, puis publié dans un livre d'A.C.. Piste de loisirs, en 1969. Même alors, les lectures de termes epsilon dans le langage ordinaire étaient encore rares. Une lecture en langage naturel des termes epsilon, cependant, était présent dans l’œuvre de Hilbert et Bernays. En fait, le dernier chapitre du livre 1 des Grundlagen est une présentation d'une théorie des descriptions définies., et les termes epsilon sont étroitement liés à cela. Dans la théorie plus connue des descriptions définies de Bertrand Russell (Russell 1905) il y a trois clauses: avec

Le roi de France est chauve

Nous obtenons, sur la théorie de Russell, d'abord

il y a un roi de France,

deuxième

il n'y a qu'un seul roi de France,

et troisième

quiconque est roi de France est chauve.

Russell utilise la lettre grecque iota pour formaliser la description définitive, écrire le tout

BιxKx,

mais il reconnaît que le terme iota n'est pas un symbole individuel approprié. Il l’appelle un « symbole incomplet », depuis, à cause des trois parties, toute la proposition est considérée comme ayant l'analyse quantificationnelle,

(∃x)(Kx & (et)(Ky → y = x) & (et)(Ky → Par)),

ce qui équivaut à

(∃x)(Kx & (et)(Ky → y = x) & Bx).

Et ça veut dire qu’il n’a pas la forme ‘Bx’. Russell croyait que, en plus de ses termes iota, il y avait une autre classe de termes individuels, qu’il appelait « noms logiquement propres ». Ceux-ci rentreraient simplement à la place « x » dans « Bx ». Il croyait que « ceci » et « cela » étaient dans cette classe, mais n'en a donné aucune caractérisation symbolique.

Hilbert et Bernays, par contre, produit ce qu’on appelle une « théorie présuppositionnelle » de descriptions définies. Les deux premières clauses de la définition de Russell n’ont pas été considérées comme faisant partie de la signification de « Le roi de France est chauve ».: ce n'étaient que des conditions dans lesquelles ils considéraient qu'il était permis d'introduire un terme individuel complet pour « le roi de France »., ce qui satisfait alors

Kx & (et)(Ky → y = x).

Hilbert et Bernays ont continué à utiliser la lettre grecque iota dans leur terme individuel, bien qu’il ait une grammaire assez différente du terme iota de Russell, depuis, quand le terme de Hilbert et Bernays peut être introduit, il est prouvablement équivalent au terme epsilon correspondant (Genou 1963, p102). En fait, beaucoup ont suggéré plus tard que les termes epsilon ne sont pas seulement des symboles complets., mais peut être considéré comme jouant le même rôle que les « noms logiquement propres » évoqués par Russell.

C'est au début du livre 2 des Grundlagen que l'on trouve la définition des termes epsilon. Là, Hilbert et Bernays construisent d'abord une théorie des descriptions indéfinies d'une manière similaire à leur théorie des descriptions définies.. Ils permettent, maintenant, un terme êta à introduire tant que seule la première des conditions de Russell est remplie. C'est-à-dire, donné

(∃x)Effets,

on peut introduire le terme 'ηxFx', et dis

FηxFx.

Mais la condition d’introduction du terme eta peut être établie logiquement, pour certains prédicats, depuis

(∃x)((∃y)Fy → Fx),

est un théorème de calcul des prédicats (Copie de 1973, p110). C'est le terme êta que ce théorème nous permet d'introduire qui est autrement appelé terme epsilon, et sa base logique permet de construire des théories entièrement formelles, puisque ces termes individuels sont invariablement définis. Ainsi nous pouvons invariablement introduire ‘ηx((∃y)Fy → Fx)', et cela s'écrit communément « εxFx », dont on peut donc dire

(∃y)Mon → FεxFx.

Puisque c'est ce F qui existe si quelque chose est F, Hilbert a lu le terme epsilon dans ce cas « le premier F ». Par exemple, en arithmétique, « le premier » peut être considéré comme l'opérateur du plus petit nombre. Toutefois, tandis que s'il y a des F, alors le premier F est clairement l'un des élus., s’il n’y a pas de F, alors « le premier F » doit être un abus de langage. Et cette forme de discours n’a été pleinement comprise que dans les théories de la référence apparues bien plus tard., quand la référence et la dénotation furent plus clairement séparées de la description et de l'attribution. Donnellan (Donnellan 1966) a utilisé l'exemple « l'homme avec du martini dans son verre », et a souligné que, dans certaines utilisations, cela peut faire référence à quelqu'un qui n'a pas de martini dans son verre. Dans la terminologie rendue populaire par Donnellan, 'le premier F', dans le deuxième cas ci-dessus fonctionne de la même manière: cela ne peut pas être attributif, et ainsi, alors que ça fait référence à quelque chose, il doit faire référence arbitrairement, d'un point de vue sémantique.

Avec la référence ainsi séparée de l'attribution, il devient possible de symboliser la référence croisée anaphorique entre, par exemple, « Il y a un et un seul roi de France » et « Il est chauve ». Pour, indépendamment du fait que le premier soit vrai ou non, le « il » dans ce dernier est un pronom pour le terme epsilon dans le premier – par une simple extension de la définition epsilon du quantificateur existentiel. Ainsi, la paire de remarques peut être symbolisée

(∃x)(Kx & (et)(Ky → y = x)) & Bex(Kx & (et)(Ky → y = x)).

De plus, de telles références croisées peuvent se produire en relation avec des constructions intensionnelles d'un type que Russell a également considéré, tel que

George IV se demandait si l'auteur de Waverley était Scott.

Ainsi on peut dire « Il y a un auteur de Waverley, et George IV se demanda s'il était Scott.. Mais l’analyse epsilon de ces cas met les calculs epsilon intensionnels en contradiction avec les vues russelliennes de telles constructions., comme nous le verrons plus tard. L'approche russellienne, en n'ayant pas de symboles complets pour les individus, a tendance à confondre les cas dans lesquels des affirmations sont faites sur des individus et les cas dans lesquels des affirmations sont faites sur l'identification de propriétés. Comme nous le verrons, les termes epsilon nous permettent de faire la distinction entre, par exemple,

s = εx(et)(Oh ↔ y = x),

(c'est à dire. « Scott est l'auteur de Waverley »), et

(et)(Oh ↔ y = s),

(c'est, "Il y a un et un seul auteur de Waverley et c'est Scott"), et ainsi il permet de situer plus exactement l’objet de la pensée de George IV.

2. Descriptions et identité

Quand on commence à s'interroger sur la signification en langage naturel des termes epsilon, il est intéressant que Leisenring mentionne simplement la « supériorité formelle » du calcul epsilon (Circuit de loisirs 1969, p63, voir aussi Routley 1969, Hazen1987). Leisenring a considéré le calcul d'Epsilon comme une meilleure logique que le calcul des prédicats, mais simplement à cause du deuxième théorème d'Epsilon. Sa principale vertu, vers Leisenring, c'était qu'il pouvait prouver tout ce qui semblait devoir être prouvé, mais d'une manière plus élégante. Les termes Epsilon étaient tout simplement plus précis pour calculer quels étaient les théorèmes valides du calcul des prédicats.

Se souvenir de la discussion de Hilbert et Bernays sur les descriptions définies et indéfinies, il est clair qu'il y a plus dans le calcul d'Epsilon que cela. Et il y a, En fait, deux théorèmes spécifiques prouvables dans le calcul epsilon, mais pas le calcul des prédicats, ce qui commencera à indiquer le champ d’application plus général du calcul epsilon. Ils concernent des particuliers, puisque le calcul d'Epsilon se distingue par le fait qu'il fournit une, et des moyens systématiques de référence à eux.

La nécessité de disposer de symboles complets pour les individus est devenue évidente quelques années après que Russell ait promu des symboles incomplets pour eux.. Le premier livre majeur à permettre cela fut Rosser's Logic for Mathematicians., en 1953, même s'il y avait des précurseurs. Car la difficulté classique de fournir des termes complets aux individus concerne ce qu’il faut faire des termes « non dénotants »., et Quine, par exemple, suivre Frege, leur donnait souvent un pouvoir arbitraire, bien que référent spécifique (Marciszewski 1981, p113). Cette idée est également présente à Kalish et Montague (Kalish et Montague 1964, pp242-243), qui a donné les deux règles:

(∃x)(et)(Fy ↔ y = x) ├ FιxFx,
¬(∃x)(et)(Fy ↔ y = x) ├ιxFx = ιx¬(x = x),

où « ιxFx » est ce qui autrement pourrait s’écrire « εx(et)(Fy ↔ y = x)'. Kalish et Montague croyaient, cependant, que la deuxième règle « n’a pas d’équivalent intuitif », simplement parce que le langage ordinaire évite les descriptions définies et impropres. » (Kalish et Montague 1964, p244). Et, à ce moment-là, ce que Donnellan devait publier dans Donnellan 1966, à propos de descriptions définies incorrectes, n'était certainement pas très connu. En fait, le discours ordinaire n’évite pas les descriptions définies et inappropriées., bien que leurs référents ne soient pas aussi fixes que l'exige la deuxième règle ci-dessus. En effet, le fait même que les descriptions soient impropres signifie que leurs référents ne sont pas déterminés sémantiquement.: au lieu de cela, ils ne sont qu'un outil pratique, choix pragmatique.

Stalnaker et Thomason ont reconnu la nécessité d'être plus libéraux lorsqu'ils ont défini leurs termes référentiels., qui devait également faire référence, dans les contextes qui les concernaient, dans plus d'un monde possible (Thomason et Stalnaker 1968, p363):

Contrairement à l’analyse russellienne, les descriptions définies sont traitées comme de véritables termes singuliers; mais en général, il ne s'agira pas de termes de fond [désignateurs rigides]. Une expression comme ιxPx se voit attribuer un référent qui peut varier d'un monde à l'autre.. Si dans un monde donné il existe un individu unique qui possède la propriété correspondant à P, cet individu est le référent de ιxPx; sinon, ιxPx fait référence à un individu arbitrairement choisi qui n'existe pas dans ce monde.

Stalnaker et Thomason ont estimé que « un terme de substance ressemble beaucoup à ce que Russell appelle un nom logiquement propre », mais ils ont dit qu'une constante individuelle pouvait ou non être un terme de substance, selon qu'il s'agissait plutôt de « Socrate » ou de « Miss Amérique » (Thomason et Stalnaker 1968, p362). Une enquête plus complète sur l’identité et les descriptions, dans des contextes modaux et intentionnels généraux, a été fourni à Routley, Meyer et Goddard 1974, et Routley 1977, voir aussi Hughes et Cresswell 1968, Chapitre 11. Et avec ces auteurs, nous obtenons le rendu explicite de descriptions définies en termes epsilon., comme dans Goddard et Routley 1973, p558, Routley 1980, p277, c.f.. Hughes et Cresswell 1968, p203.

Certains théorèmes spécifiques du calcul epsilon, comme cela a été dit auparavant, soutenir ce type d'identification. Un théorème démontre directement la relation entre l’attribut attributif de Russell, et certaines des idées référentielles de Donnellan. Pour

(∃x)(Effets & (et)(Fy → y = x) & Gx)

est logiquement équivalent à

(∃x)(Effets & (et)(Fy → y = x)) & Géorgie,

où a = εx(Effets & (et)(Fy → y = x)). Cela se produit parce que ce dernier est équivalent à

Fa & (et)(Mon → y = une) & Géorgie,

ce qui implique le premier. Mais le premier est

Facebook & (et)(Mon → y = b) & Go,

avec b = εx(Effets & (et)(Fy → y = x) & Gx), et cela implique

(∃x)(Effets & (et)(Fy → y = x)),

et

Fa & (et)(Mon → y = une).

Mais ça veut dire que, de la clause d'unicité,

une = b,

et ainsi

Géorgie,

ce qui signifie que le premier implique le second, et donc le premier est équivalent au second.

L'ancien, bien sûr, donne la théorie des descriptions de Russell, dans le cas de « Le F est G »; il affirme explicitement les deux premières clauses, à voir avec l'existence et l'unicité d'un F. Une théorie présupposée, comme on l'a vu chez Hilbert et Bernays, n'affirmerait pas explicitement ces deux clauses: à ce titre, ils constituent une condition préalable avant que le terme « le F » puisse être introduit. Mais aucune de ces théories ne s’adapte à des descriptions définies et inappropriées.. Depuis Donnellan, il est plus courant d’admettre que l’on peut toujours utiliser « le F »: si la description est impropre alors le référent de ce terme se trouve simplement dans l’usage pratique du terme.

Un détail du récit historique de Donnellan, cependant, doit être traité avec quelques précautions, à ce point. Donnellan était lui-même préoccupé par des descriptions précises qui étaient inappropriées dans le sens où elles ne décrivaient pas de manière unique ce que le locuteur considérait comme son référent.. Ainsi, la description pourrait toujours être « appropriée » dans le sens ci-dessus – s’il y avait encore quelque chose à quoi elle s’appliquait de manière unique., en raison de son contenu sémantique. Ainsi, Donnellan a permis à « l'homme avec du martini dans son verre » d'identifier quelqu'un sans martini dans son verre, qu'il y ait ou non un seul homme avec du martini dans son verre.. Mais si l’on parle de « l’homme avec du martini dans son verre », on peut à juste titre considérer qu’il s’agit de qui cela décrit., s'il décrit effectivement quelqu'un - comme Devitt et Bertolet l'ont souligné dans leur critique de Donnellan (Devitt 1974, Bertolt 1980). C'est à cet aspect de notre langue que correspond le récit d'Epsilon., car un compte epsilon permet à des descriptions définies de faire référence sans attribution de leur caractère sémantique, mais seulement si rien n'a de manière unique ce caractère sémantique. Ce n'est donc pas la totalité de la première déclaration ci-dessus , mais seulement la troisième partie de la deuxième affirmation qui fait la remarque « Le F est G ».

La difficulté du récit de Russell devient plus évidente si nous lisons les deux déclarations équivalentes utilisant des pronoms relatifs et personnels.. Ils deviennent alors

Il y a un et un seul F, qui est G,
Il y a un et un seul F; c'est G.

Mais en utilisant uniquement la logique dérivée de Frege, Russell pourrait formaliser le « lequel », mais je n'ai pas pu séparer la dernière clause, 'c'est G'. Dans cette clause, « c'est » une anaphore pour « le (seul et unique) F’, et cela a toujours cette signification linguistique s'il n'y a rien de tel, puisque c'est juste une question de grammaire. Mais la clause d'unicité est nécessaire pour que les deux déclarations soient équivalentes : sans unicité, il n'y a pas d'équivalence., comme nous le verrons – donc « qui » n’est pas lui-même équivalent à « cela ». Russel, cependant, parce qu'il ne pouvait pas séparer le "ça", a dû prendre l'intégralité de la première expression comme l'analyse de « Le F est G » — il n'a pas pu formuler le « nom logiquement propre » nécessaire.

Mais comment quelque chose peut-il être le seul et unique F « si une telle chose n’existe pas »? C’est là qu’un autre théorème important prouvable dans le calcul d’Epsilon est éclairant., à savoir:

(Fa & (et)(Mon → y = une)) → une = εx(Effets & (et)(Fy → y = x)).

L'important est qu'il y ait une différence entre le côté gauche et le côté droit., c'est à dire. entre quelque chose étant seul F, et cette chose étant le seul et unique F. Car l’implication gauche-droite ne peut être inversée. On passe de la gauche à la droite quand on voit que la gauche dans son ensemble implique

(∃x)(Effets & (et)(Fy → y = x)),

et donc aussi son équivalent epsilon

Fεx(Effets & (et)(Fy → y = x)) & (z)(Fz → z = εx(Effets & (et)(Fy → y = x))).

Étant donné le Fa, alors à partir de la deuxième clause, nous obtenons ici le côté droit de notre implication originale. Mais si on remplace ‘εx(Effets & (et)(Fy → y = x))" pour " a " dans cette implication, alors à droite nous avons quelque chose qui est nécessairement vrai. Mais le côté gauche est alors le même que

(∃x)(Effets & (et)(Fy → y = x)),

et c'est en général contingent. Par conséquent, l’implication ne peut généralement pas être inversée. Avoir la propriété d'être seul F est ici contingent, mais posséder l'identité du seul et unique F est nécessaire.

La distinction n’est pas faite dans la logique de Russell, puisque la possession du bien concerné est la seule chose qui peut y être formellement exprimée. Dans la théorie des descriptions de Russell, la possession par un a de la propriété d’être seul roi de France s’exprime comme une quasi identité

a = ιxKx,

et cela a pour conséquence que ces identités sont contingentes. En effet, dans les théories homologues des objets dans d'autres mondes possibles, l'idée est omniprésente qu'une entité peut être définie en termes de ses propriétés contingentes dans un monde donné.. Hughes et Cresswell, cependant, différencié les identités contingentes et les identités nécessaires de la manière suivante (Hughes et Cresswell 1968, p191):

Il est désormais contingent que l'homme qui est en fait l'homme qui habite à côté soit l'homme qui habite à côté., car il aurait pu vivre ailleurs; qui habite à côté est une propriété qui appartient contingentement, pas nécessairement, à l'homme à qui il appartient. Et de même, il est conditionnel que l'homme qui est en fait le maire soit le maire; car quelqu'un d'autre aurait pu être élu à la place. Mais si on comprend [L'homme qui habite à côté est le maire] signifier que l'objet qui (comme une question de fait contingent) possède la propriété d'être l'homme qui habite à côté est identique à l'objet qui (comme une question de fait contingent) possède la propriété d'être maire, alors nous le comprenons pour affirmer qu'un certain objet (diversement décrit) est identique à lui-même, et nous n'avons aucun scrupule à considérer cela comme une vérité nécessaire. Cela nous donnerait un moyen de construire des déclarations d'identité qui font [(x = oui) → L(x = oui)] parfaitement acceptable: car chaque fois que x = y est vrai, nous pouvons le considérer comme exprimant la vérité nécessaire selon laquelle un certain objet est identique à lui-même..

Il y a plus de conséquences à cette affaire, cependant, que Hughes et Cresswell ont retiré. Pour l’instant, nous disposons de termes de référence appropriés permettant aux individus d’entrer dans des expressions telles que « x = y »., nous voyons d'abord mieux d'où vient la contingence des propriétés de tels individus — simplement la facilité linguistique d'utiliser des descriptions définies inappropriées.. Mais nous voyons aussi, parce que les identités entre ces termes sont nécessaires, que les termes de référence appropriés doivent être rigides, c'est à dire. avoir la même référence dans tous les mondes possibles.

Ce n’est pas ainsi que Stalnaker et Thomason voyaient les choses. Stalnaker et Thomason, on s'en souviendra, a dit qu'il y avait deux types de constantes individuelles: ceux comme « Socrate » qui peuvent remplacer des variables individuelles, et d'autres comme « Miss America » qui ne peuvent pas. Le dernier, par conséquent, ils ont pris pour être non rigides. Mais c’est strictement « Miss America de l’année t » qu’il s’agit dans le deuxième cas., et ce n'est pas une expression constante, même si de telles fonctions peuvent remplacer des variables individuelles. C'était Routley, Meyer et Goddard qui ont considéré très sérieusement la possibilité que tous les termes proprement individuels soient rigides.. Au moins, ils ont élaboré bon nombre des implications de cette position, même si Routley n'en était pas entièrement satisfait.

Routley a décrit plusieurs sémantiques intensionnelles rigides (Routley 1977, pp185-186). L'un d'eux, par exemple, je viens de prendre le premier axiome epsilon à tenir dans n'importe quelle interprétation, et a fait de la valeur d'un terme epsilon lui-même. Sur une telle base, Routley, Meyer et Goddard ont dérivé ce que l’on pourrait appeler la « formule de Routley »., c'est à dire.

L(∃x)Effet → (∃x)LFX.

En fait, sur leur compréhension, cette formule est valable pour tout opérateur et tout prédicat, mais ils avaient principalement à l'esprit le cas de nécessité illustré ici, avec « Fx » pris comme « x nombres de planètes », faisant de « εxFx » « le nombre de planètes ». La formule est dérivée tout simplement, de la manière suivante: depuis

L(∃x)Effets,

nous pouvons obtenir

LFεxFx,

par la définition epsilon du quantificateur existentiel, et ainsi

(∃x)LFX,

par généralisation existentielle sur le terme rigide (Routley, Meyer et Goddard 1974, p308, voir aussi Hughes et Cresswell 1968, pp197, 204). Routley, cependant, était toujours enclin à penser qu'une sémantique rigide était philosophiquement répréhensible (Routley 1977, p186):

Une sémantique rigide a tendance à encombrer la sémantique des systèmes enrichis avec des conditions de modélisation ad hoc. Plus important, sémantique rigide, qu'elle soit substitutionnelle ou objective, sont philosophiquement répréhensibles. Pour une chose, ils rendent Vulcain et Héphaïstos indiscernables partout, bien qu'il y ait des affirmations intentionnelles qui s'appliquent à l'un mais pas à l'autre.. L'échappatoire standard à ce genre de problème, celui de prendre des noms propres comme « Vulcain » comme des descriptions déguisées qui nous ont déjà semblé insuffisantes… Sémantique flexible, qui évitent de manière satisfaisante ces objections, imposer une interprétation plus objective, depuis, même si [le domaine] est interprété comme le domaine des termes, [la valeur d'un terme dans un monde] doit être autorisé, dans certains cas au moins, varier d'un monde à l'autre.

Par conséquent, tandis que Routley, Meyer et Goddard étaient toujours prêts à défendre la formule, et dis, par exemple, qu'il y avait un nombre qui numérote nécessairement les planètes, à savoir le nombre de planètes (np), ils pensaient que c'était en fait la même chose que 9, de sorte qu'on ne peut toujours pas affirmer correctement que comme L(np numérote les planètes), donc L(9 chiffres les planètes). « Car l’identité extensionnelle ne garantit pas l’intersubstitutivité dans les cadres intensionnels » (Routley, Meyer et Goddard 1974, p309). Ils ont tenu, en d'autres termes, le nombre de planètes n'était que contingentement de 9..

Cela signifie qu’ils ont nié ‘(x = oui) → L(x = oui)', mais, comme nous le verrons plus en détail plus tard, il existe des moyens de conserver ce principe, c'est à dire. maintenir la nécessité invariable de l’identité.

3. Conditions Epsilon rigides

Il existe d'autres travaux qui nous ont aidé à comprendre comment la référence dans des contextes modaux et intentionnels généraux doit être rigide.. Mais cela implique des idées différentes en termes de sémantique, et commence, même, en dehors de notre principal domaine d'intérêt, à savoir la logique des prédicats, dans la sémantique de la logique propositionnelle.

Quand on pense « sémantique », on pense peut-être à la valorisation des formules.. Depuis les années 1920, une méta-étude de ce type s’est certainement ajoutée à l’intérêt logique antérieur pour la théorie de la preuve.. La théorie traditionnelle de la preuve est généralement associée aux procédures axiomatiques, mais, d'un point de vue moderne, sa distinction est qu'il s'agit de « langages objets ». La théorie de la vérité de Tarski repose essentiellement sur la distinction entre langages objets et métalangages., et donc la sémantique semble généralement être nécessairement une méta-discipline. En fait, Tarski pensait qu'une telle élévation de notre intérêt nous était imposée par la menace de paradoxes sémantiques comme The Liar.. S'il y avait, par contre, « clôture sémantique », c'est à dire. si la vérité et d'autres notions sémantiques étaient définissables au niveau de l'objet, alors il y aurait des contradictions à gogo (c.f.. Prêtre 1984). De cette façon, la vérité peut sembler être nécessairement un prédicat de (au niveau de l'objet) phrases.

Mais il existe une autre façon d’envisager la question, explicitement non tarskienne., et que d'autres ont suivi (voir Avant 1971, Ch 7, Sayward 1987). Cela implique de considérer « il est vrai que » comme n’étant pas un prédicat., mais un opérateur au niveau de l'objet, avec les tableaux de vérité dans les tables de vérité, par exemple, n'étant qu'une autre forme de procédure de preuve. Les opérateurs incluent en effet « il est prouvable que », et ceci est distinct du prédicat de prouvabilité de Gödel, comme Gödel lui-même l'a souligné (Gödel 1969). Les opérateurs sont des expressions intensionnelles, comme dans les expressions souvent discutées « il faut que » et « on croit que », et essayer de voir des formes de discours indirects comme des prédicats métalinguistiques était très courant au milieu du siècle dernier.. C'était omniprésent, par exemple, dans les nombreuses discussions de Quine sur la modalité et l’intensionalité. Quelqu'un ne croirait-il pas que l'étoile du matin est dans le ciel ?, mais l'Étoile du Soir n'est pas, si, respectivement, ils ont accepté la phrase « l’étoile du matin est dans le ciel », et en désaccord avec « l’étoile du soir est dans le ciel »? Quiconque dit « oui » suit toujours la tradition quinéenne, mais après les travaux de Montague et Thomason sur les opérateurs (par exemple. Montague 1963, Thomason 1977, 1980) de nombreux logiciens sont plus persuadés que le discours indirect n'est pas citationnel. Le doute est permis, c'est-à-dire, si nous devons voir l'esprit en termes de mots directs que le sujet utiliserait.

L’alternative consiste à considérer les mots « l’étoile du matin est dans le ciel » dans une locution indirecte telle que « Quine croit que l’étoile du matin est dans le ciel » comme des mots simplement utilisés par le journaliste., qui ne reflète pas nécessairement directement ce que dit réellement le sujet. C’est en effet au cœur du discours rapporté : mettre quelque chose dans les propres mots du journaliste plutôt que de simplement les répéter à partir d’une autre source.. Ainsi un journaliste peut dire

Celia croyait que l'homme dans la pièce était une femme.,

mais cela ne veut clairement pas dire que Celia utiliserait « l’homme dans la pièce » pour désigner à qui elle pensait. Ainsi, les termes référentiels dans la proposition subordonnée ne sont certainement que dans la bouche du rapporteur., et par conséquent ne font référence qu'avec certitude à ce que le journaliste entend par là. Il n'y a qu'un pas entre cette pensée et le fait de voir

Il y avait un homme dans la pièce, mais Celia croyait que c'était une femme,

comme impliquant une locution intensionnelle transparente, avec le même objet, comme on pourrait dire, « à l’intérieur » de la croyance comme « à l’extérieur » dans la pièce. C'est donc ici que des termes epsilon constants et rigides sont nécessaires, pour symboliser l'anaphore à phrases croisées «il», un péché:

(∃x)(MX & réception) & BcWεx(MX & réception).

Pour bien comprendre le sujet, cependant, nous devons passer du méta- au langage objet que nous avons vu au niveau propositionnel ci-dessus avec la vérité. Routley, Meyer et Goddard ont réalisé qu'une sémantique rigide exigeait de traiter des expressions telles que « BcWx » comme de simples prédicats., et il faut maintenant voir ce que cela implique. Ils ont dérivé, comme nous l'avons vu auparavant, « La formule de Routley »

L(∃x)Effet → (∃x)LFX,

mais nous pouvons maintenant commencer à expliquer comment cela doit être compris, si nous nous en tenons à la nécessité des identités, c'est à dire. si on utilise '=' pour que

x = y → L(x = oui).

Encore une fois, une illustration claire de la validité de la formule de Routley est fournie par le nombre de planètes., mais maintenant nous pouvons respecter le fait que certaines choses peuvent manquer d'un certain nombre, et aussi le fait que le référentiel, et les sens attributifs des termes peuvent être distingués. Ainsi si on écrit «(nx)Px' pour 'il y a n P', alors εn(le)Py sera le nombre de P, et c'est ce qui les numérote (c'est à dire. ([et(le)Py]X)Px) s'ils ont un numéro (c'est à dire. si (∃n)(nx)Px) — par la définition epsilon du quantificateur existentiel. Alors, avec 'Fx' comme bon (nécessaire) identité 'x = εn(le)La formule de Py' Routley est valable car le nombre en question existe éternellement, rendre les deux côtés de la formule vrais. Mais si « Fn » est simplement l’attribut «(le)Py' alors ce n'est pas nécessaire, puisque c'est contingent même, en premier lieu, qu'il y a un certain nombre de P, au lieu d'un simple P, rendre faux les deux côtés de la formule.

Hughes et Cresswell s'opposent au principe en disant (Hughes et Cresswell 1968, p144):

…laisser [Effets] soit « x est le nombre de planètes ». Alors l'antécédent est vrai, car il doit y avoir un nombre qui est le nombre des planètes (même s'il n'y avait pas de planètes du tout, il y en aurait quand même un tel nombre, à savoir 0): mais le conséquent est faux, car puisque le nombre de planètes est une question contingente, il n'y a pas de nombre qui doit être le nombre des planètes.

Mais cela oublie les quantités continues, lorsqu'il n'y a pas d'éléments distincts avant la nomination d'une unité. Le nombre associé à certains matériaux planétaires, par exemple, numérote uniquement des unités arbitraires de ce matériau, et pas le matériel lui-même. L’antécédent de la formule de Routley n’est donc pas nécessairement vrai..

Quine a également utilisé le nombre de planètes dans son argument central contre la quantification dans des contextes modaux.. Il a dit (Quine 1960, pp195-197):

Si, pour les besoins de l’argumentation, nous acceptons le terme « analytique » comme prévisible des phrases (donc comme pouvant être attaché de manière prédicative à des citations ou à d'autres termes singuliers désignant des phrases), alors « nécessairement » équivaut à « est analytique » plus une paire de guillemets antécédents. Par exemple, la phrase:

(1) Necessarily 9 > 4

s'explique ainsi:

(2) ‘9 > 4’ is analytic…

Alors suppose (1) expliqué comme dans (2). Pourquoi, on peut demander, faut-il conserver la forme opératoire dès (1), et donc la logique modale, au lieu de simplement laisser les choses comme dans (2)? Un avantage apparent est la possibilité de quantifier en positions modales; car nous savons que nous ne pouvons pas quantifier dans une citation, et (2) utilise des citations…

Mais est-il plus légitime de quantifier en positions modales qu'en cotation ?? Pour considérer (1) même sans égard à (2); sûrement, sur toute interprétation plausible, (1) c'est vrai et c'est faux:

(3) Necessarily the number of major planets > 4.

Puisque 9 = le nombre de planètes majeures, nous pouvons conclure que la position de « 9 » dans (1) n'est pas purement référentiel et donc que l'opérateur de nécessité est opaque.

Mais ici Quine ne dissocie pas le référentiel « le nombre des planètes majeures est supérieur à 4 »., c'est à dire. 'et(le)Py > 4’, de l’attribut « Il y a plus de 4 planètes majeures », c'est à dire. '(∃n)((le)Py & n > 4)'. Si 9 = εn(le)Py, alors il s'ensuit que εn(le)Py > 4, mais ça ne s'ensuit pas (∃n)((le)Py & n > 4). Substitution d'identiques dans (1), donc, donne-t-il (3), même s'il n'est pas nécessaire qu'il y ait plus de 4 planètes majeures.

Nous pouvons maintenant entrer dans quelques détails sur la façon dont on obtient le « x » sous une forme telle que « LFx » pour qu’il soit ouvert à la quantification.. Pour, ce qu'on trouve dans la sémantique modale traditionnelle (voir Hughes et Cresswell 1968, passim) sont des formules dans le style métalinguistique, comme

V(Effets, J’ai) = 1,

qui disent que la valorisation donnée à « Fx » est de 1, dans le monde je. Il devrait y avoir des guillemets autour du « Fx » dans une telle formule, pour le rendre métalinguistique, mais par convention ils sont généralement omis. Effectuer le changement vers le point de vue non métalinguistique, il faut simplement lire cette formule telle qu'elle est littéralement, de sorte que le « Fx » soit au discours indirect plutôt qu'au discours direct, et le tout devient la forme opérateur « ce serait vrai dans le monde i que Fx ». De cette façon, le terme « x » entre dans le langage du journaliste, et la distinction méta/objet n'est pas pertinente. Toute variable à l'intérieur de la proposition subordonnée peut désormais être quantifiée sur, tout comme une variable à l'extérieur, ce qui veut dire qu'il y a "quantification", et en effet, toutes les opérations logiques de prédicat normales s'appliquent, puisque tous les termes individuels sont rigides.

Un exemple illustrant cette rigidité concerne la carte supérieure réelle d'un paquet., et les cartes qui auraient pu être la meilleure carte dans d'autres circonstances (voir Slater 1988a). Si la véritable carte du dessus est l'As de pique, et on suppose que la carte du dessus est la Reine de Cœur, alors clairement, ce qui devrait être vrai pour que ces circonstances soient obtenues, ce serait que l'As de Pique soit la Dame de Cœur.. L'As de Pique n'est pas en fait la Dame de Cœur, mais cela ne veut pas dire qu'ils ne peuvent pas être identiques dans d'autres mondes (c.f.. Hughes et Cresswell, 1968, p190). Certainement, s'il y avait plusieurs cartes, les gens pensaient qu'elles étaient au dessus, ces cartes dans les diverses circonstances supposées ne fourniraient pas une constante c telle que Fc soit vraie dans tous les mondes. Mais c’est parce que ces cartes sont des fonctions de mondes imaginés – la carte qu’on croit être la meilleure (εxBaFx) ce n'est pas nécessairement la carte que B considère comme la meilleure (εxBbFx), etc.. Il n’en reste pas moins qu’il existe une constante, c, tel que Fc est vrai dans tous les mondes. De plus, que c n’est pas un « objet intentionnel », car l'As de Pique donné est un objet d'extension simple et solide, la vraie carte du dessus (εxFx).

Routley, Meyer et Goddard n'ont pas accepté ce dernier point, vouloir une sémantique rigide en termes d’« objets intentionnels » (Goddard et Routley, 1973, p561, Routley, Meyer et Goddard, 1974, p309, voir aussi Hughes et Cresswell 1968, p197). Stalnaker et Thomason ont admis que certains termes référentiels pouvaient être fonctionnels, lors de la distinction entre « Socrate » et « Miss Amérique » – bien que la fonctionnalité de « Miss Amérique de l’année t » soit significativement différente de celle de « la carte du dessus selon votre croyance ». Car si la Miss America de cette année était la Miss America de l’année dernière, ce n'est pourtant qu'une chose qui est identique à elle-même, contrairement aux deux cartes. Aussi, rien ne peut obliger la Miss America de cette année à être la Miss America différente de l’année dernière, de la manière dont la contrefactualité de la situation avec les cartes à jouer force deux choses non identiques dans le monde réel à être la même chose dans l'autre monde possible.. Les autres mondes possibles sont donc sensiblement différents des autres époques, et ainsi, discutablement, d’autres mondes possibles ne doivent pas être vus du point de vue réaliste approprié à d’autres époques – ou à d’autres espaces.

4. La problématique du calcul Epsilon

On pourrait dire que le réalisme a retardé la compréhension logique de bon nombre de ces choses.. Si vous regardez de façon « réaliste » des remarques pittoresques comme celles faites auparavant, à savoir « le même objet est « à l’intérieur » de la croyance comme « à l’extérieur » dans la pièce », il est alors facile que des opinions inappropriées sur l'esprit commencent à interférer, et faire croire que le même objet ne peut pas être à ces deux endroits à la fois. Mais si l'esprit était quelque chose comme un autre espace ou un autre temps, alors la contrefactualité ne pourrait obtenir aucun achat approprié – personne ne pourrait avoir « tort », puisqu'ils ne parleraient que d'éléments de leur « monde », pas d'objectif, monde commun. Mais vraiment, tout ce qui se passe quand on dit, par exemple,

Il y avait un homme dans la pièce, mais Celia croyait que c'était une femme,

est-ce que le même terme – ou un terme et son substitut pronominal – apparaît à deux endroits linguistiques dans certains discours, avec la même référence. Il n'y a donc aucune différence grammaticale entre la référence croisée dans un tel cas intensionnel et la référence croisée dans un cas non intensionnel., tel que

Il y avait un homme dans la pièce. Il avait faim.

c'est à dire.

(∃x)MX & HεxMx.

Ce qui a été difficile a simplement été d'obtenir une symbolisation de la référence croisée dans ce type de cas plus élémentaire.. Mais cela implique simplement d'étendre la définition epsilon des déclarations existentielles, en utilisant une réitération du terme epsilon substitué, comme on peut le voir.

Il est désormais largement reconnu que le calcul d'Epsilon nous permet d'y parvenir. (Purdy, 1994, Egli et von Heusinger 1995, Meyer Viol 1995, Chapitre 6), le point de départ théorique étant le théorème de la théorie russellienne des descriptions définies prouvée auparavant, qui divise ce qui autrement serait une seule phrase en un morceau de discours séquentiel, permettant de mettre les clauses d'existence et d'unicité dans une phrase tandis que la remarque caractérisante est dans une autre. La relation commence à compter quand, En fait, il n'y a pas de moyen évident de formuler une combinaison de remarques anaphoriques dans le calcul des prédicats, un péché, par exemple,

Il y a un roi de France. Il est chauve,

où il n'y a pas de clause d'unicité. Cette difficulté est devenue un problème majeur lorsque les logiciens ont commencé à considérer la référence anaphorique dans les années 1960..

Chaque, par exemple, en 1962, croyait même qu'il ne pouvait pas y avoir de syllogisme du genre suivant (Tout 1962, p126):

Un homme vient de boire une pinte d'acide sulfurique.
Personne qui boit une pinte d’acide sulfurique ne vit toute la journée.
Ainsi, il ne vivra pas la journée.

Il a dit, on ne pouvait que tirer la conclusion:

Un homme qui vient de boire une pinte d’acide sulfurique ne survivra pas à la journée.

Certes, on ne peut que déduire

(∃x)(MX & Dx & ¬Lx)

depuis

(∃x)(MX & Dx),

et

(X)(Dx → ¬Lx),

dans la logique des prédicats. Mais on peut encore en déduire

¬Lεx(MX & Dx),

dans le calcul d'Epsilon.

Geach a également été trompé plus tard lorsqu'il a présenté son célèbre cas (numéroté 3 dans chaque 1967):

Hob pense qu'une sorcière a ravagé la jument de Bob, et Nob se demande si elle (la même sorcière) tué la truie de Cob,

ce qui est, en termes epsilon

Ème(∃x)(Wx & BxB) & SurKεx(Wx & BxB)c.

Car Geach a vu que cela ne pouvait pas être (4)

(∃x)(Wx & ThBxb & SurKxc),

ou (5)

(∃x)(Ème(Wx & BxB)& SurKxc).

Mais aussi une lecture de la deuxième clause comme (c.f.. 18)

Nob se demande si la sorcière qui a ravagé la jument de Bob a tué la truie de Cob.,

dans lequel « la sorcière qui a ravagé la jument de Bob a tué la truie de Cob » est analysée à la manière russellienne, c'est à dire. comme (20)

une seule sorcière a ravagé la jument de Bob et elle a tué la truie de Cob,

Geach réalisé ne capte pas la référence croisée spécifique - entre autres à cause de la condition d'unicité qui est alors introduite.

Cette difficulté avec la clause d'unicité dans les analyses russelliennes a été largement commentée., bien qu'un théoricien récent, Néale, a dit que la théorie de Russell n’a besoin que d’être légèrement modifiée: L’idée principale de Neale est la suivante :, en général, les descriptions précises doivent simplement être localisées dans le contexte. Sa résolution des cas troublants de Geach implique donc de suggérer qu’« elle », dans ce qui précède, pourrait simplement être « la sorcière dont nous avons entendu parler » (Néale 1990, p221). Neale aurait pu dire ici « cette sorcière qui a ravagé la jument de Bob », montrant qu'une explication hilbertienne des descriptions démonstratives aurait un effet parallèle.

Une grande partie des travaux novateurs sur ces questions, cependant, a été réalisé par quelqu'un encore une fois très influencé par Russell: Évans. Mais Evans a considérablement rompu avec Russell à cause du caractère unique (Evans 1977, pp516-517):

On ne veut pas s'engager, par cette façon de raconter l'histoire, à l'existence d'un jour où un seul homme et un seul garçon marchaient le long d'une route. C'est en gardant cette possibilité à l'esprit que j'ai énoncé l'exigence d'utiliser de manière appropriée un pronom de type E pour avoir répondu, ou être prêt à répondre sur demande, la question "Il? OMS?" ou " Il? Lequel?» Afin de réaliser cette libéralisation, nous devrions permettre que la référence du pronom de type E soit fixée non seulement par le matériel prédicatif explicitement dans la proposition antécédente., mais aussi par le matériel que l'orateur fournit sur demande. Cet arrêt a pour effet de rendre quelque peu indéterminées les conditions de véracité de tels propos.; une proposition déterminée n'aura été formulée que lorsque la demande aura été formulée et le matériel fourni.

C’est Evans qui nous a donné le titre de « pronom de type E » pour le « il » dans des expressions telles que

Un philosophe de Cambridge fumait la pipe, et il a bu beaucoup de whisky,

c'est à dire., en termes epsilon,

(∃x)(Cx & Px) & Dεx(Cx & Px).

Il a également insisté (Evans 1977, p516) que ce qui était unique avec de tels pronoms était que cette conjonction d'énoncés n'était pas équivalente à

Un philosophe de Cambridge, qui fumait la pipe, j'ai bu beaucoup de whisky,

c'est à dire.

(∃x)(Cx & Px & Dx).

Il est clair que le compte Epsilon est tout à fait conforme à cela., car cela illustre le point évoqué précédemment à propos des cas sans clause d'unicité. Seule la deuxième expression, qui contient un pronom relatif, est formalisable dans le calcul des prédicats. Pour formaliser la première expression, qui contient un pronom personnel, il faut au moins quelque chose avec les capacités expressives du calcul epsilon.

5. La sémantique formelle des termes Epsilon

La sémantique des termes epsilon est aujourd'hui plus générale, mais les premières interprétations des termes epsilon se limitaient aux cas arithmétiques, et a spécifiquement pris epsilon comme étant l'opérateur du plus petit nombre. Hilbert et Bernays ont développé l'arithmétique en utilisant le calcul epsilon, en utilisant le schéma d'axiome epsilon supplémentaire (Hilbert et Bernays 1970, Livre 2, p85f, c.f.. Circuit de loisirs 1969, p92) :

(εxAx = st) → ¬À,

où « s » est censé être la fonction successeur, et 't' est n'importe quel chiffre. Cela contraint l'interprétation du symbole epsilon, mais l'interprétation du moindre nombre n'est pas strictement forcée, puisque l'axiome garantit seulement qu'aucun nombre ayant la propriété A ne précède immédiatement εxAx.

Le nouvel axiome, cependant, est suffisant pour prouver l’induction mathématique, sous la forme:

(A0 & (X)(Hache → Asx)) → (X)Hache.

Pour supposer l'inverse, à savoir

A0 & (X)(Hache → Asx) & ¬(X)Hache,

et considérons ce qui se passe lorsque le terme « εx¬Ax » est remplacé dans

t = 0 ∨ t = sn,

qui découle des autres axiomes de la théorie des nombres que Hilbert et Bernays utilisent. Si nous avions

εx¬Ax = 0,

alors, puisqu'on sait que A0, alors on aurait Aεx¬Ax. Mais depuis, par la définition du quantificateur universel,

Aεx¬Ax ↔ (X)Hache,

nous savons, parce que ¬(X)La hache est également donnée, que ¬Aεx¬Ax, ce qui veut dire qu'on ne peut pas avoir εx¬Ax = 0. Nous devons donc avoir l'autre alternative, c'est à dire.

εx¬Ax = sn,

pour certains n. Mais du nouvel axiome

(εx¬Ax = sn) → Un,

nous devons donc avoir un, même si nous devons également avoir

Une → Asn,

parce que (X)(Hache → Asx). Tout cela nécessite à nouveau Aεx¬Ax, ce qui est impossible. Par conséquent, l'axiome epsilon supplémentaire est suffisant pour établir le principe d'induction donné.

Le lien plus général entre les termes epsilon et les fonctions de choix a été établi pour la première fois par Asser, bien que la sémantique d'Asser pour un calcul epsilon élémentaire sans le deuxième axiome epsilon fait que les termes epsilon désignent des fonctions de choix plutôt complexes. Wilfrid MeyerViole, appeler un calcul d'epsilon sans le deuxième axiome un calcul d'epsilon « intentionnel », fait en sorte que les termes epsilon dans un tel calcul nomment plutôt les fonctions de Skolem. Les fonctions Skolem sont également appelées fonctions Herbrand, bien qu'ils surviennent d'une manière différente, à savoir dans le théorème de Skolem. Le théorème de Skolem stipule que, si une formule sous forme normale de prénexe est prouvable dans le calcul des prédicats, alors une certaine formule correspondante, avec les quantificateurs existentiels supprimés, est prouvable dans un calcul de prédicats enrichi de symboles de fonction. Les fonctions symbolisées sont appelées fonctions Skolem, bien que, dans un autre contexte, ce seraient des fonctions Herbrand.

Le théorème de Skolem est un théorème métalogique, sur la relation entre deux calculs logiques, mais une version non métalogique est en fait prouvable dans le calcul epsilon d’où découle le véritable théorème de Skolem., depuis, par exemple, nous pouvons obtenir, par la définition d'Epsilon, maintenant du quantificateur existentiel

(X)(∃y)Fxy ↔ (X)FxεyFxy.

Par conséquent, si le côté gauche d'une telle équivalence est prouvable dans un calcul epsilon, le côté droit y est prouvable. Mais le côté gauche est prouvable dans un calcul d'epsilon s'il est prouvable dans le calcul des prédicats, par le deuxième théorème d'Epsilon; et si le côté droit est prouvable dans un calcul epsilon, il est prouvable dans un calcul de prédicats enrichi de certains symboles de fonction — termes epsilon, comme 'εyFxy'. Ainsi, par généralisation, on obtient le résultat original de Skolem.

Quand on ajoute à un calcul epsilon intensionnel le deuxième axiome epsilon

(X)(Effets ↔ Gx) →εxFx = εxGx,

l'interprétation des termes epsilon est généralement extensionnelle, c'est à dire. en termes d'ensembles, puisque deux prédicats « F » et « G » satisfaisant l’antécédent de ce deuxième axiome détermineront le même ensemble – s’ils déterminent des ensembles, c'est. Car cela nécessite que les prédicats soient collectivisantes, selon les termes de Bourbaki, comme avec les déclarations d'appartenance explicites à un ensemble, comme 'x ∈ y'. Dans un tel cas, le terme epsilon ‘εx(x ∈ y)’ désigne une fonction de choix, c'est à dire. une fonction qui en sélectionne un dans un ensemble donné (c.f.. Circuit de loisirs 1969, p19, Meyer Viol 1995, p42). Dans le cas où il n’y a aucun membre de l’ensemble, la sélection est arbitraire, bien que pour tous les ensembles vides, c'est invariablement le même. Ainsi le deuxième axiome valide, par exemple, La règle de Kalish et Montague pour cette affaire, qu'ils mettent sous la forme

εxFx = εx¬(x = x).

Kalish et Montague prouvent en fait une version du deuxième axiome epsilon dans leur système (Kalish et Montague 1964, voir T407, p256). Le deuxième axiome est également valable dans le système d’Hermès (Hermès 1965), bien qu'on y trouve en plus un troisième axiome epsilon,

εx¬(x = x) = εx(x = x),

pour lequel il ne semble y avoir aucune véritable justification.

Mais le deuxième axiome Epsilon lui-même est curieux. Une chose discutable à ce sujet est que Leisenring et Meyer Viol ne déclarent pas que les prédicats en question doivent déterminer des ensembles avant que la sémantique de leur fonction de choix puisse s'appliquer.. Que les prédicats soient collectivisantes est simplement présumé dans leurs théories., puisque 'εxBx' est invariablement modélisé au moyen d'un choix parmi l'ensemble présumé d'éléments qui dans le modèle sont B. Il existe certainement une clause spéciale traitant de l'ensemble vide; mais il n'y a aucune considération du cas où certaines choses sont B bien que ces choses ne soient pas discrètes, comme avec les choses qui sont rouges, par exemple. Si le prédicat en question n'est pas un nom comptable, alors aucun ensemble de choses n'est impliqué., car avec des termes de masse, et des quantités continues, il n'y a pas d'éléments donnés à compter (c.f.. Carie 1985, pp262-263 en particulier). Bien entendu des numéros peuvent toujours leur être associés, mais seulement étant donné une unité arbitraire. Avec les vaches dans un champ, par exemple, on peut associer un nombre déterminé, mais avec le boeuf là-bas, nous ne pouvons pas, à moins que l'on considère, dire, le nombre de livres.

Le point, comme nous l'avons vu auparavant, a une formalisation en termes epsilon. Ainsi si on écrit «(nx)Fx', pour 'il y a n F', alors εn(le)Fy sera le nombre de F, et c'est ce qui les numérote s'ils ont un numéro. Mais dans le cas inverse, le caractère arbitraire du terme epsilon mentionné précédemment entre en jeu.. Car si ¬(∃n)(nx)Effets, alors ¬([et(le)Fy]X)Effets, et ainsi, bien qu'il existe un nombre arbitraire, ça ne numérote pas les F. Dans ce cas, autrement dit, nous n'avons pas un certain nombre de F, juste un peu de F.

En fait, même quand il y a un ensemble de choses, le deuxième axiome d'Epsilon, comme indiqué ci-dessus, ne s'applique pas en général, puisqu'il existe des différences intentionnelles entre les propriétés à considérer, un péché, par exemple « Il y a un homme aux cheveux roux, et un caucasien dans la pièce, et ils sont différents'. Ici, s'il n'y avait que des Caucasiens aux cheveux roux dans la pièce, alors avec le deuxième axiome ci-dessus, nous n'avons pas pu trouver de substitutions epsilon pour différencier les deux individus impliqués. Cela peut nous rappeler qu'il est nécessaire de co-extensionnalité, et pas seulement la co-extensionnalité contingente qui est le critère normal de l'identité des propriétés (c.f.. Hughes et Cresswell 1968, pp209-210). Cela nous amène donc à voir l’opportunité d’un deuxième axiome modalisé, qui utilise juste une version intensionnelle de l'antécédent du deuxième axiome epsilon précédent, dans lequel « L » signifie « il faut que », à savoir:

L(X)(Effets ↔ Gx) →εxFx = εxGx.

Car avec cet axiome, seules les co-extensionnalités nécessaires produiront des identités entre les termes epsilon associés.. Nous ne pouvons obtenir, par exemple,

εxPx = εx(Px∨Px),

et

εxFx = εyFy,

et toutes les autres identités dérivables de la même manière.

Toutefois, le deuxième axiome epsilon original est alors prouvable, dans le cas particulier où les prédicats expriment une appartenance à un ensemble. Car si forcément

(X)(x ∈ y ↔ x ∈ z) ↔ y = z,

alors que nécessairement

y = z ↔ L(y = z),

(voir Hughes et Cresswell, 1968, p190) alors

L(X)(x ∈ y ↔ x ∈ z) ↔ (X)(x ∈ y ↔ x ∈ z),

et ainsi, à partir du deuxième axiome modalisé, nous pouvons obtenir

(X)(x ∈ y ↔ x ∈ z) →εx(x ∈ y) = εx(x ∈ z).

Note, cependant, que si l'on n'a que contingentement

(X)(Effets ↔ x ∈ z),

alors on ne peut pas obtenir, sur cette base,

εxFx = εx(x ∈ z).

Mais c'est quelque chose de souhaitable, aussi. Car nous avons vu qu'il est contingent que le nombre des planètes compte effectivement les planètes, car il n'est pas nécessaire que ([et(le)Py]X)Px. Cela fait '(9x)Contingent Px, même si l'identité '9 = εn(nx)Px’ reste nécessaire. Mais il est également contingent qu'il existe un ensemble de planètes, p, ce qu'il y a, depuis quelque temps, dire,

(X)(x ∈p ↔ Px),

où

et(nx)(x ∈p) = et(nx)Px = 9,

il est encore possible que, dans un autre monde possible,

(X)(x ∈ p’ ↔ Px),

avec p' l'ensemble des planètes là, et

¬(et(nx)(x ∈ p’) = 9).

Nous ne pourrions pas avoir cette autre éventualité, cependant, si le deuxième axiome epsilon original était universellement valable.

C’est sur cette base plus complète que nous pouvons continuer à considérer ‘x = y → L(x = oui)', c'est à dire. la nécessité invariable de l’identité — on se contente de distinguer «(9x)Px' à partir de '9 = εx(nx)Px', et de ‘9 = εx(nx)(x ∈p)', comme ci-dessus.

L'ajout du deuxième axiome epsilon original à un calcul epsilon intensionnel n'est donc acceptable que si tous les prédicats concernent l'appartenance à un ensemble.. Ce n'est pas une hypothèse rare, en effet, il est omniprésent dans la sémantique habituellement donnée pour la logique des prédicats, par exemple. Mais si, par contre, nous voulons tenir compte du fait que tous les prédicats ne sont pas collectivisantes, alors nous devrions prendre uniquement le premier axiome epsilon avec simplement une version modalisée du deuxième axiome epsilon. L'interprétation des termes epsilon se fait alors toujours en termes de fonctions Skolem, bien que si nous traitons de l'appartenance à des ensembles, ces fonctions Skolem sont naturellement des fonctions de choix.

6. Un peu de métathéorie

Pour finir, nous examinerons brièvement, comme promis, à une méta-théorie.

Les calculs d'Epsilon décrits pour la première fois n'étaient pas très pratiques à utiliser, et les preuves de Hilbert et Bernays des premier et deuxième théorèmes d'Epsilon étaient très complexes. C'était parce que la présentation était axiomatique, cependant, et avec le développement d'autres moyens de présenter les mêmes logiques, nous obtenons des résultats métalogiques plus facilement disponibles.. J'indiquerai quelques-unes des premières difficultés avant de montrer comment ces théorèmes peuvent être prouvés., aujourd'hui, beaucoup plus simplement.

Le problème de la démonstration du deuxième théorème d'Epsilon, sur une base axiomatique, est-ce que c'est complexe, et les termes epsilon non constants peuvent entrer dans une preuve dans le calcul epsilon au moyen de substitutions dans les axiomes. Ce qu'il faut prouver, c'est qu'une preuve par calcul epsilon d'un théorème sans epsilon (c'est à dire. celui qui peut être exprimé uniquement dans le langage du calcul des prédicats) peut être remplacé par une preuve de calcul de prédicat. Une analyse des termes epsilon complexes est donc nécessaire, pour montrer qu'ils peuvent être éliminés dans les cas pertinents, ne laissant que des termes epsilon constants, qui sont suffisamment similaires aux symboles individuels dans la logique de prédicat standard. Hilbert et Bernays (Hilbert et Bernays 1970, Livre 2, p23f) disons qu'un terme epsilon 'εxFx' est subordonné à un autre 'εyGy' si et seulement si 'G' contient 'εxFx', et une occurrence libre de la variable « y » se trouve dans « εxFx ». Par exemple « εxRxy » est un complexe, et terme epsilon non constant, qui est subordonné à 'εySyεxRyx'. Hilbert et Bernays définissent ensuite le rang d'un terme epsilon comme étant 1 s'il n'y a aucun terme epsilon qui lui est subordonné., et sinon être supérieur au rang maximal des termes epsilon qui lui sont subordonnés. Utiliser les mêmes idées générales, Leisenring prouve deux théorèmes (Circuit de loisirs 1969, p72f). Il prouve d’abord un théorème de réduction de rang, ce qui montre que les preuves epsilon de formules sans epsilon dans lesquelles le deuxième axiome epsilon n'est pas utilisé, mais dans lequel chaque terme est de rang inférieur ou égal à r, peut être remplacé par des preuves epsilon dans lesquelles chaque terme est de rang inférieur ou égal à r – 1. Puis il prouve l'éliminabilité du deuxième axiome epsilon dans les preuves de formules sans epsilon. Ensemble, ces deux théorèmes montrent que s'il existe une preuve epsilon d'une formule sans epsilon, alors il existe une telle preuve n'utilisant pas le deuxième axiome epsilon, et dans lequel tous les termes epsilon n'ont que le rang 1. Même si de tels termes epsilon peuvent toujours contenir des variables libres, si on remplace ceux qui le font par un symbole fixe 'a' (en commençant par ceux de longueur maximale) cela réduit la preuve à une dans ce qu’on appelle le système « étoile epsilon », dans lequel il n'y a que des termes epsilon constants (Circuit de loisirs 1969, p66f). Leisenring montre que les preuves dans le système stellaire epsilon peuvent être transformées en preuves dans le calcul des prédicats, en remplaçant les termes epsilon par des symboles individuels.

Mais, comme cela a été dit auparavant, il existe maintenant une preuve beaucoup plus courte du deuxième théorème d'Epsilon. En fait il y en a plusieurs, mais je vais juste en indiquer un, qui survient simplement en modifiant les arbres de vérité du calcul des prédicats, comme on le trouve dans, par exemple, Jeffrey (voir Jeffrey 1967). Jeffrey utilise les règles standard de l'arbre de vérité propositionnel, ainsi que les règles d'échange de quantificateurs, qui ne sont pas affectés, et qui ne sont pas pertinents au présent objectif. Il a aussi, cependant, une règle d'élimination des quantificateurs existentiels,

(∃x)Fx ├ Fa,

dans lequel 'a' doit être nouveau, et une règle d'élimination universelle des quantificateurs

(X)Fx ├ Facebook,

dans lequel « b » doit être ancien — à moins qu'aucun autre terme individuel ne soit disponible. En réduisant les formules fermées de la forme 'P & ¬C' jusqu'à l'absurdité Jeffrey peut alors prouver 'P → C', et valider 'P ├ C' dans son calcul. Mais clairement, lors de l'ajout de termes epsilon à la langue, la première de ces règles doit être modifiée en

(∃x)Fx ├ FεxFx,

tandis que la deuxième règle peut également être remplacée par la paire

(X)Fx ├ Fεx¬Fx,
Fεx¬Fx ├ Fa,

(où 'a' est vieux) produire une procédure de preuve appropriée. Steen lit « εx¬Fx » comme « la chose la moins semblable à F » (Steen1972, p162), ce qui explique pourquoi Fεx¬Fx entraîne Fa, puisque si la chose la moins semblable à F est en fait F, alors le contre-exemple le plus plausible à la généralisation n’est en fait pas le cas, rendre la généralisation sans exception. Mais il existe une raison plus importante pour laquelle il est préférable de diviser la règle d’élimination universelle des quantificateurs en deux parties..

Car les règles de Jeffrey ne lui permettent qu’une « correction ascendante limitée ». (Jeffrey 1967, p167), puisque Jeffrey doit dire, par rapport à sa règle d'élimination du quantificateur universel, que la portée de la quantification soit limitée simplement à l'univers du discours du chemin d'en bas. Ceci est dû au fait, si une phrase initiale est fausse dans une évaluation, l'une de ses conclusions doit également l'être. Mais la première règle epsilon qui remplace la règle de Jeffrey garantit, plutôt, qu’il y a une « exactitude totale vers le haut ». Car s'il est faux que tout soit F alors, sans aucune interprétation particulière du quantificateur, l'une des conséquences données de l'énoncé universel est fausse, à savoir l'immédiat — puisque Fεx¬Fx est en fait équivalent à (X)Effets. Une amélioration similaire se produit également avec la règle d'élimination du quantificateur existentiel. Car Jeffrey ne peut obtenir qu’une « exactitude limitée vers le bas », avec sa règle d'élimination des quantificateurs existentiels (Jeffrey 1967, p165), puisque ce n'est pas une implication. En fait, afin de montrer que si une phrase initiale est vraie dans une évaluation, l'une de ses conclusions l'est également, dans ce cas, Jeffrey doit étendre sa notion de « vérité » pour qu'elle soit vraie soit dans l'évaluation donnée, ou une variante nominale de celui-ci.

La règle epsilon qui remplace celle de Jeffrey surmonte cette difficulté en n'employant pas de noms, uniquement des descriptions démonstratives, et en étant, par conséquent, totalement correct à la baisse. Car s’il existe un F alors ce F est F, quel que soit le nom utilisé pour y faire référence. La terminologie du calcul epsilon précède ainsi toute dénomination: il s'empare des plus primitifs, manière démonstrative que nous avons de faire référence aux objets, en utilisant des expressions comme « ce F ». Ainsi, en expliquant la règle du calcul des prédicats, nous aurions très bien pu dire

supposons qu'il y ait un F, Bien, appelle ça F 'a', alors Fa,

mais cela nécessite que nous comprenions « ce F » avant d’utiliser « a ».

Alors, comment le deuxième théorème d'Epsilon suit-il? Ce théorème, comme avant, déclare qu'une preuve de calcul epsilon d'un théorème sans epsilon peut être remplacée par une preuve de calcul de prédicat de la même formule. Mais la transformation requise dans le contexte actuel est désormais évidente: changez simplement par de nouveaux noms tous les termes epsilon introduits dans les règles d'élimination du quantificateur de calcul epsilon. Cela couvre à la fois les nouveaux noms de la première règle de Jeffrey, mais aussi le cas étrange où il n’y a pas d’anciens noms dans la deuxième règle de Jeffrey. Les preuves de calcul epsilon utilisent invariablement des termes epsilon constants, et sont donc effectivement dans le système stellaire epsilon du Leisenring.

Termes Epsilon qui ne sont pas constants, cependant, entrer de manière cruciale dans la preuve du premier théorème d'Epsilon. Le premier théorème d'Epsilon stipule que si C est une formule de calcul de prédicat prouvable, sous forme normale prénexe, c'est à dire. avec tous les quantificateurs à l'avant, alors une disjonction finie des instances de la matrice de C est prouvable dans le calcul d'Epsilon. Le fait crucial est que le calcul d'Epsilon nous donne accès aux fonctions de Herbrand, qui surviennent lorsque les quantificateurs universels sont éliminés des formules en utilisant leur définition epsilon. Ainsi

(∃y)(X)¬Fyx,

par exemple, est équivalent à

(∃y)¬Fyεx¬¬Fyx,

et ainsi

(∃y)¬FyεxFyx,

et le terme epsilon résultant « εxFyx » est une fonction de Herbrand.

Utiliser de telles réductions, tous les quantificateurs universels peuvent évidemment être supprimés des formules sous forme normale de prénexe, et le fait supplémentaire que, d'une certaine manière spécifique, les quantificateurs existentiels restants sont des disjonctions rend toutes les formules de calcul de prédicats équivalentes à des disjonctions. Rappelons qu'une formule est prouvable si sa négation est réductible à l'absurdité, ce qui veut dire que son arbre de vérité doit se fermer. Mais, par le Lemme de König, s'il n'y a pas de chemin ouvert à travers un arbre de vérité, alors il existe un stade fini auquel il n'y a pas de chemin ouvert, donc, dans le cas ci-dessus, par exemple, si aucune évaluation ne rend vraie la négation de la dernière formule, alors l'arbre des instances de cette déclaration négative doit se fermer sur une longueur finie. Mais la déclaration négative est la formule universelle

(et)FyεxFyx,

par les règles d'échange de quantificateurs, donc une conjonction finie d'instances de la matrice de cette formule universelle, à savoir Fyx, il faut réduire à l'absurdité. Car les règles d'élimination des quantificateurs universels ne produisent des conséquences qu'avec la forme de cette matrice. Par les lois de Morgan, cela rend nécessaire une disjonction finie des instances de ¬Fyx. Par généralisation on obtient ainsi le premier théorème d'Epsilon.

Le calcul d'Epsilon, cependant, peut nous amener plus loin que le premier théorème d'Epsilon. En effet, il faut faire attention à l'impression que ce théorème peut donner selon laquelle les énoncés existentiels sont simplement équivalents à des disjonctions. Si c'était le cas, alors les déclarations existentielles seraient différentes des déclarations individuelles, ne pas dire qu'une chose spécifiée possède une certaine propriété, mais simplement que l'une des choses d'un certain groupe possède une certaine propriété. Le groupe en question est normalement appelé le « domaine » de la quantification., et ça, il semble, doit être précisé lors de l’établissement de la sémantique des quantificateurs. Mais l’étude du calcul d’Epsilon montre que de tels « domaines » ne sont pas nécessaires., ou bien pour une telle sémantique. C'est parce que l'exemple ci-dessus, par exemple, est également équivalent à

¬FaεzFaz,

où a = εy¬FεxFyx. Ainsi, la disjonction précédente des instances de ¬Fyx n'est en fait vraie que parce que cette disjonction spécifique est vraie. Le premier théorème d'Epsilon, il faut s'en souvenir, ne prouve pas qu'un énoncé existentiel équivaut à une certaine disjonction; cela montre simplement qu'un énoncé existentiel est prouvable si et seulement si une certaine disjonction est prouvable. Et ce qui est également prouvable, dans un tel cas, est une déclaration concernant simplement un objet. En effet, l'énoncé existentiel lui est prouvablement équivalent.. C'est ce fait qui conforte la définition epsilon des quantificateurs; et c'est ce qui permet une référence anaphorique au même objet au moyen du même terme epsilon. Une déclaration existentielle n’est donc qu’une autre déclaration sur un individu – simplement une déclaration sans nom..

Le point inverse vaut pour le quantificateur universel: un énoncé universel n'est pas la conjonction de ses instances, même si cela les implique. Une généralisation est simplement équivalente à l’une de ses instances – à celle qui implique l’exception putative principale., comme nous l'avons vu. Ne pas être en mesure de spécifier cette exception putative première laisse Jeffrey dire que si une généralisation est fausse alors une de ses instances est fausse sans aucun moyen de garantir que cette instance a été tirée comme une conclusion en dessous d'elle dans l'arbre de vérité, sauf en limitant l'interprétation. de la généralisation juste à l'univers du discours du chemin. Il semble donc nécessaire, dans le calcul des prédicats, qu'il y ait un « modèle » pour les quantificateurs qui les restreint à un certain « domaine », ce qui veut dire qu'ils ne couvrent pas forcément tout. Mais dans le calcul epsilon, les quantificateurs font, invariablement, portée sur tout, et il n'est donc pas nécessaire de préciser leur plage.

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Barry Hartley Slater
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