Dieu merci, Frege (1848-1925)

Gottlob Frege était un logicien allemand, mathématicien et philosophe qui a joué un rôle crucial dans l'émergence de la logique moderne et de la philosophie analytique. Les travaux logiques de Frege étaient révolutionnaires, et sont souvent considérées comme représentant la rupture fondamentale entre les approches contemporaines et les approches plus anciennes., Tradition aristotélicienne. Il a inventé la logique quantification moderne, et a créé le premier système entièrement axiomatique pour la logique, qui était complet dans son traitement de la logique propositionnelle et du premier ordre, et représentait également le premier traitement de la logique d'ordre supérieur. En philosophie des mathématiques, il était l'un des plus ardents partisans du logicisme, la thèse selon laquelle les vérités mathématiques sont des vérités logiques, et a présenté des critiques influentes de points de vue rivaux tels que le psychologisme et le formalisme. Sa théorie du sens, notamment sa distinction entre sens et référence des expressions linguistiques, était révolutionnaire en sémantique et en philosophie du langage. Il a eu une influence profonde et directe sur des penseurs tels que Russell, Carnap et Wittgenstein. Frege est souvent appelé le fondateur de la logique moderne, et il est même parfois présenté comme le fondateur de la philosophie analytique.

Table des matières
Vie et Oeuvres
Contributions à la logique
Contributions à la philosophie des mathématiques
La théorie du sens et de la référence
Références et lectures complémentaires
Les propres œuvres de Frege
Travaux secondaires importants
1. Vie et Oeuvres

Frege est née le 8 novembre, 1848 dans la ville côtière de Wismar, dans le nord de l'Allemagne. Son prénom complet était Friedrich Ludwig Gottlob Frege.. On sait peu de choses sur sa jeunesse. Son père, Karl Alexandre Frege, et sa mère, Auguste (Bialloblotzski) Frége, tous deux travaillaient dans une école privée pour filles fondée en partie par Karl. Tous deux ont également été directeurs de l'école à divers moments.: Karl a occupé ce poste jusqu'à sa mort en 1866, quand Auguste prend la relève jusqu'à sa mort en 1878. L'écrivain allemand Arnold Frege, né à Wismar en 1852, c'était peut-être le frère cadet de Frege, mais cela n'a pas été confirmé. Frege a probablement vécu à Wismar jusqu'en 1869; dans les années 1864-1869, il est connu pour avoir étudié au gymnase de Wismar.

Au printemps 1869, Frege a commencé ses études à l'Université d'Iéna. Là, il a étudié la chimie, philosophie et mathématiques, et a dû solidement impressionner Ernst Abbe en mathématiques, qui devinrent plus tard les bienfaiteurs de Frege. Après quatre semestres, Frege transféré à l'Université de Göttingen, où il a étudié les mathématiques et la physique, ainsi que la philosophie de la religion sous Hermann Lotze. (On pense parfois que Lotze a eu un impact profond sur les vues philosophiques de Frege.) Fin 1873, Frege a terminé sa thèse de doctorat, sous la direction d'Ernst Schering, intitulé À propos d'une représentation géométrique des structures imaginaires sur le plan ("Sur une représentation géométrique de figures imaginaires dans un plan"), et a obtenu son doctorat.

En 1874, avec la recommandation d'Ernst Abbe, Frege a reçu une chaire de conférences à l'Université d'Iéna, où il est resté le reste de sa vie intellectuelle. Son poste n'était pas rémunéré pendant ses cinq premières années, et il était soutenu par sa mère. Thèse d'habilitation de Frege, méthodes de facturation autorisées, qui reposent sur une expansion de la notion de taille ("Méthodes de calcul basées sur une amplification du concept de grandeur,”), a été inclus avec le matériel soumis pour obtenir le poste. Cela implique la théorie des fonctions mathématiques complexes, et contient les germes des avancées de Frege en logique et en philosophie des mathématiques.

Frege avait une lourde charge d'enseignement pendant ses premières années à Iéna. Toutefois, il avait encore le temps de travailler sur son premier grand ouvrage en logique, qui fut publié en 1879 sous le titre Begriffsschrift, un langage de formules de pensée pure calqué sur l'arithmétique (« Concept-Script: Un langage de formule pour la pensée pure calqué sur celui de l’arithmétique »). La bride, Frege a présenté pour la première fois son invention d'une nouvelle méthode pour la construction d'un langage logique. Dès la publication de la Begriffsschrift, il a été promu professeur ausserordentlicher, son premier poste salarié. Toutefois, le livre n’a pas été bien évalué par les contemporains de Frege, qui a apparemment trouvé sa notation logique bidimensionnelle difficile à comprendre, et n'a pas vu ses avantages par rapport aux approches précédentes, comme celui de Boole.

Quelque temps après la publication du Begriffsschrift, Frege était marié à Margaret Lieseburg (1856-1905). Ils ont eu au moins deux enfants, qui est malheureusement mort jeune. Des années plus tard, ils ont adopté un fils, Alfred. Toutefois, on sait peu de choses sur la vie de famille de Frege.

Frege avait pour objectif d'utiliser le langage logique de la Begriffsschrift pour mener à bien son programme logiciste consistant à tenter de montrer que toutes les vérités fondamentales de l'arithmétique pouvaient être dérivées d'axiomes purement logiques.. Toutefois, sur les conseils de Carl Stumpf, et compte tenu du mauvais accueil de la Begriffsschrift, Frege a décidé d'écrire un ouvrage dans lequel il décrirait ses vues logicistes de manière informelle dans un langage ordinaire., et argumenter contre les points de vue rivaux. Le résultat fut son Les bases de l'arithmétique ("Les fondements de l'arithmétique"), publié en 1884. Toutefois, cette œuvre semble avoir été pratiquement ignorée par la plupart des contemporains de Frege.

Peu de temps après, Frege a commencé à travailler sur sa tentative de dériver les lois fondamentales de l'arithmétique dans son langage logique.. Toutefois, son travail a été interrompu par des changements dans ses opinions. À la fin des années 1880 et au début des années 1890, Frege développa de nouvelles théories intéressantes sur la nature du langage., fonctions et concepts, et logique philosophique, y compris une nouvelle théorie du sens basée sur la distinction entre sens et référence. Ces points de vue ont été publiés dans des articles influents tels que « Fonction et concept ». (« Fonction et concept », 1891), « Sur le sens et le sens » (« Du sens et de la référence », 1892) et « À propos du concept et de l'objet » (« Sur le concept et l'objet », 1892). Cette maturation des vues sémantiques et philosophiques de Frege a conduit à des changements dans son langage logique., le forçant à abandonner une ébauche presque achevée de ses travaux sur la logique et les fondements des mathématiques. Toutefois, en 1893, Frege a enfin terminé un volume révisé, employant un système logique légèrement révisé. C'était son opus magnum, Lois fondamentales de l'arithmétique (« Lois fondamentales de l'arithmétique »), tome I. Dans le premier tome, Frege a présenté son nouveau langage logique, et a commencé à l'utiliser pour définir les nombres naturels et leurs propriétés. Son objectif était d'en faire le premier d'un ouvrage en trois volumes; dans les deuxième et troisième, il passerait à la définition des nombres réels, et la démonstration de leurs propriétés.

Encore, cependant, L’œuvre de Frege a été mal accueillie par ses contemporains. Néanmoins, il fut de nouveau promu en 1894, maintenant au poste de professeur ordinaire honoraire. Il est probable que Frege se soit vu offrir un poste de professeur ordinaire, mais l'a refusé pour éviter d'assumer des tâches administratives supplémentaires. Son nouveau poste n'était pas rémunéré, mais il a pu subvenir à ses besoins et à ceux de sa famille grâce à une allocation de la Carl Zeiss Stiftung, une fondation qui a donné de l'argent à l'Université de Jena, et avec lequel Ernst Abbe était intimement impliqué.

En raison de l'accueil défavorable de ses œuvres antérieures, Frege a été contraint de faire publier à ses frais le volume II des Grundgesetze.. Ce n'est qu'en 1902 que Frege fut en mesure de prendre de telles dispositions.. Toutefois, alors que le volume était déjà en cours de publication, Frege a reçu une lettre de Bertrand Russell, l'informant qu'il était possible de prouver une contradiction dans le système logique du premier volume des Grundgesetze, qui comprenait un calcul naïf pour les cours. Pour plus d'informations, voir l’article sur « Le paradoxe de Russell ». Frege était, dans ses propres mots, "abasourdi". Il a été contraint de préparer rapidement une annexe en réponse. Pour les deux prochaines années, il a continué à faire un travail important. Une série d'articles intitulée « Sur les bases de la géométrie,” (« Sur les fondements de la géométrie ») a été publié entre 1903 et 1906, représentant le point de vue de Frege dans un débat avec David Hilbert sur la nature de la géométrie et la construction et la compréhension appropriées des systèmes axiomatiques en mathématiques.

Toutefois, vers 1906, probablement dû à une combinaison de problèmes de santé, la perte précoce de sa femme en 1905, frustration face à son incapacité à trouver une solution adéquate au paradoxe de Russell, et déception face à la mauvaise réception persistante de son travail, Frege semble avoir perdu son élan intellectuel. Il a produit très peu d'œuvres entre 1906 et sa retraite en 1918.. Toutefois, il a continué à influencer les autres pendant cette période. Russell avait inclus une annexe sur Frege dans ses Principes mathématiques de 1903.. C'est à partir de là que Frege est devenu un peu plus connu., notamment à un étudiant autrichien étudiant l'ingénierie à Manchester, Angleterre, nommé Ludwig Wittgenstein. Wittgenstein a étudié de près les travaux de Frege et Russell, et en 1911, il leur a écrit à tous les deux au sujet de sa propre solution au paradoxe de Russell. Frege l'a invité à Iéna pour discuter de son point de vue. Wittgenstein l'a fait fin 1911. Les deux se sont engagés dans un débat philosophique, et tandis que Wittgenstein rapportait que Frege « essuyait le sol » avec lui, Frege fut suffisamment impressionné par Wittgenstein pour lui suggérer d'aller à Cambridge pour étudier avec Russell – une suggestion qui eut une profonde importance pour l'histoire de la philosophie.. De plus, Rudolf Carnap fut l'un des étudiants de Frege de 1910 à 1913., et Frege a sans aucun doute eu une influence significative sur l’intérêt de Carnap pour la logique et la sémantique, ainsi que sur son développement intellectuel et ses succès ultérieurs..

Après sa retraite en 1918, Frege a déménagé à Bad Kleinen, près de Wismar, et a réussi à publier un certain nombre d'articles importants, "La pensée" ("La pensée", 1918), « La négation » ("Négation", 1918), et « structure des pensées » (« Pensées composées », 1923). Toutefois, ce n'étaient pas des œuvres entièrement nouvelles, mais des ébauches ultérieures d'œuvres qu'il avait initiées dans les années 1890. En 1924, un an avant sa mort, Frege revient enfin à la tentative de comprendre les fondements de l'arithmétique. Toutefois, à ce moment, il avait complètement abandonné son logicisme, concluant que les paradoxes de la théorie des classes ou des ensembles rendaient impossible. Il a plutôt tenté de développer une nouvelle théorie de la nature de l'arithmétique basée sur les pures intuitions kantiennes de l'espace.. Toutefois, il n'a pas pu écrire grand-chose ni publier quoi que ce soit sur sa nouvelle théorie. Frege est décédé le 26 juillet, 1925 à l'âge de 76 ans.

Au moment de sa mort, Les propres œuvres de Frege étaient encore peu connues. Il n’a pas vécu assez longtemps pour voir l’impact profond qu’il aurait sur l’émergence de la philosophie analytique., ni de voir sa logique – due à la primauté de Russell – remplacer pratiquement entièrement les formes de logique antérieures.. Toutefois, en léguant son œuvre inédite à son fils adoptif, Alfred, il a écrit prophétiquement, "Je crois qu'il y a des choses ici qui seront un jour beaucoup plus appréciées qu'elles ne le sont aujourd'hui.. Prenez garde à ce que rien ne se perde. Alfred a ensuite remis les papiers de Frege à Heinrich Scholz de l'Université de Münster pour qu'ils les gardent en lieu sûr.. Malheureusement, cependant, ils ont été détruits lors d'un bombardement allié le 25 mars, 1945. Bien que Scholz ait fait des copies de certaines des pièces les plus importantes, une bonne partie des œuvres inédites de Frege ont été perdues.

Même s'il était un féroce, parfois même satirique, polémiste, Frege lui-même était un silencieux, homme réservé. Il était de droite dans ses opinions politiques, et comme beaucoup de conservateurs de sa génération en Allemagne, il est connu pour être méfiant envers les étrangers et plutôt antisémite. Lui-même luthérien, Frege semble avoir voulu voir tous les Juifs expulsés d'Allemagne, ou du moins privé de certains droits politiques. Cette caractéristique désagréable de la personnalité de Frege a gravement déçu certains des descendants intellectuels de Frege..

2. Contributions à la logique

Mathématicien de formation, L’intérêt de Frege pour la logique est né de son intérêt pour les fondements de l’arithmétique.. Au début de sa carrière, Frege est devenu convaincu que les vérités de l'arithmétique sont logiques, vérités analytiques, d'accord avec Leibniz, et en désaccord avec Kant, qui pensait que la connaissance arithmétique était fondée sur la « pure intuition », ainsi que des penseurs plus empiristes tels que J. S. Moulin, qui pensait que l'arithmétique reposait sur l'observation. Autrement dit, Frege souscrit au logicisme. Son logicisme était modeste en un sens, mais très ambitieux dans d'autres. Le logicisme de Frege se limitait à l’arithmétique; contrairement à d'autres logiciens historiques importants, comme Russell, Frege ne pensait pas que la géométrie était une branche de la logique. Toutefois, Le logicisme de Frege était très ambitieux à un autre égard, car il croyait que l'on pouvait prouver toutes les vérités de l'arithmétique par déduction à partir d'un nombre limité d'axiomes logiques. En effet, Frege lui-même a entrepris de démontrer toutes les lois fondamentales de l'arithmétique au sein de son propre système logique..

Frege était d'accord avec Leibniz sur le fait que le langage naturel n'était pas adapté à une telle tâche.. Ainsi, Frege a cherché à créer un langage qui combinerait les tâches de ce que Leibniz appelait un « calcul ratiocinator » et une « lingua caractérisica »., c'est, un langage logiquement clair dans lequel les relations logiques et les inférences possibles seraient claires et sans ambiguïté. Le propre terme de Frege pour une telle langue, « Begriffsschrift » a probablement été emprunté à un article sur les idées de Leibniz rédigé par Adolf Trendelenburg.. Bien qu'il y ait eu des tentatives pour façonner au moins l'essentiel d'un tel langage, faites par Boole et d'autres travaillant dans la tradition leibnizienne., Frege a trouvé son travail inadapté pour plusieurs raisons. La logique de Boole utilisait certains des mêmes signes utilisés en mathématiques, sauf avec des significations logiques différentes. Frege trouvait cela inacceptable pour un langage destiné à démontrer des vérités mathématiques., parce que les signes seraient ambigus. La logique de Boole, bien qu'innovant à certains égards, était faible chez les autres. Elle a été divisée en une « logique primaire » et une « logique secondaire »., bifurquant ses éléments propositionnels et catégoriques, et ne pouvait pas traiter de manière adéquate de multiples généralités. Il a analysé les propositions en termes de concepts de sujet et de prédicat, que Frege a trouvé imprécis et désuet.

Frege considérait les formules mathématiques comme le paradigme d'une, écriture sans ambiguïté. Le langage logique de Frege s’inspire du langage international de l’arithmétique., et il a remplacé le style sujet/prédicat de l'analyse logique par les notions de fonction et d'argument.. En mathématiques, une équation telle que « f(X) = x2 + 1″ indique que f est une fonction qui prend x comme argument et donne comme valeur le résultat de la multiplication de x par lui-même et de l'ajout d'un. Afin de rendre son langage logique adapté à des fins autres que l'arithmétique, Frege a élargi la notion de fonction pour autoriser des arguments et des valeurs autres que des nombres. Il a défini un concept (Expression) comme une fonction qui a une valeur de vérité, l'un des objets abstraits est le Vrai ou le Faux, comme valeur pour n'importe quel objet comme argument. Voir ci-dessous pour en savoir plus sur la compréhension des concepts par Frege, fonctions et objets. Le concept d'être humain est compris comme une fonction qui a le Vrai comme valeur pour tout argument qui est humain., et le Faux comme valeur pour autre chose. Supposons que « H( )" représente ce concept, et « a » est une constante pour Aristote, et « b » est une constante pour la ville de Boston. Puis « H(À)" représente le Vrai, tandis que "H(b)" signifie le Faux. Dans la terminologie de Frege, un objet pour lequel un concept a la valeur Vrai est dit « relever » du concept.

Les valeurs de ces concepts pourraient ensuite être utilisées comme arguments pour d'autres fonctions.. Dans ses propres systèmes logiques, Frege a introduit des signes représentant les fonctions de négation et conditionnelles. Sa propre notation logique était bidimensionnelle. Toutefois, remplaçons plutôt la propre notation de Frege par une notation plus contemporaine. Pour Frege, la fonction conditionnelle, « → » s'entend comme une fonction dont la valeur est le Faux si son premier argument est le Vrai et que le deuxième argument est autre chose que le Vrai, et c'est le Vrai sinon. Donc, " H(b) → H(À)" représente le Vrai, tandis que "H(À) → H(b)" signifie le Faux. Le signe de négation « ~ » représente une fonction dont la valeur est True pour chaque argument sauf True., pour lequel sa valeur est le Faux. Les signes de conjonction et de disjonction pourraient alors être définis à partir des signes de négation et du conditionnel.. Frege a également introduit un signe d'identité, représentant une fonction dont la valeur est True si les deux arguments sont le même objet, et le Faux autrement, et un signe, qu'il a appelé « l'horizontale,» à savoir « - », cela représente une fonction qui a la valeur True pour le True comme argument, et a la valeur False comme valeur pour tout autre argument.

Les variables et les quantificateurs sont utilisés pour exprimer des généralités. Frege considère les quantificateurs comme des « concepts de deuxième niveau ». La distinction entre les niveaux de fonctions implique le type d'arguments que prennent les fonctions.. Selon Frege, contrairement aux objets, toutes les fonctions sont « insaturées » dans la mesure où elles nécessitent des arguments pour produire des valeurs. Mais différents types de fonctions nécessitent différents types d'arguments. Fonctions qui prennent des objets comme argument, tels que ceux mentionnés par «( ) + ( )» ou « H( )”, sont appelées fonctions de premier niveau. Les fonctions qui prennent des fonctions de premier niveau comme argument sont appelées fonctions de deuxième niveau.. Le quantificateur, «∀x(…X…)”, est compris comme désignant une fonction qui prend une fonction de premier niveau comme argument, et donne la valeur True comme valeur si la fonction argument a la valeur True comme valeur pour toutes les valeurs de x, et a la valeur False sinon. Ainsi, « ∀xH(X)" signifie le Faux, puisque le concept H( ) n'a pas la valeur True pour tous les arguments. Toutefois, «∀x[H(X) → H(X)]" signifie Vrai, puisque le concept complexe H( ) → H( ) a la valeur True comme valeur pour tous les arguments. Le quantificateur existentiel, maintenant écrit « ∃x(…X…)» est défini comme « ~∀x~(…X…)”.

Ceux qui sont familiers avec la logique moderne des prédicats reconnaîtront les parallèles entre celle-ci et la logique de Frege.. Frege est souvent crédité d'avoir fondé la logique des prédicats. Toutefois, La logique de Frege est à certains égards différente de la logique moderne des prédicats.. Comme nous l'avons vu, un signe tel que « H »( )" est le signe d'une fonction au sens le plus strict, tout comme les connecteurs conditionnels et de négation. Le conditionnel de Frege n’est pas, comme le connecteur moderne, quelque chose qui entoure les déclarations pour former une déclaration. Plutôt, il encadre les termes pour les valeurs de vérité pour former un terme pour une valeur de vérité. Le « H » de Frege(b) → H(À)" est simplement un nom pour le Vrai, en soi, cela n'affirme rien. Donc, Frege introduit un signe qu'il appelle le « coup de jugement », ⊢, utilisé pour affirmer que ce qui suit représente le Vrai. Ainsi, tandis que "H(b) → H(À)" est simplement un terme pour une valeur de vérité, « ⊢H(b) → H(À)» affirme que cette valeur de vérité est la Vraie, ou dans ce cas, que si Boston est humain, alors Aristote est humain. De plus, Le système logique de Frege était du second ordre. En plus des quantificateurs s'étendant sur les objets, il contenait également des quantificateurs couvrant les fonctions de premier niveau. Ainsi, « ⊢∀x∃F[F(X)]" affirme que chaque objet relève d'au moins un concept.

La logique de Frege a pris la forme d’un système axiomatique. En fait, Frege a été le premier à adopter une approche entièrement axiomatique de la logique., et le premier suggère même que les règles d'inférence devraient être explicitement formulées et distinguées des axiomes.. Il a commencé avec un nombre limité d'axiomes fixes, introduit des règles d'inférence explicites, et visait à dériver toutes les autres vérités logiques (y compris, pour lui, les vérités de l'arithmétique) d'eux. Le premier système logique de Frege, celui du document conceptuel de 1879, avait neuf axiomes (dont un n'était pas indépendant), une règle d'inférence explicite, et a également utilisé implicitement une deuxième et une troisième règle d'inférence. Il représentait la première axiomatisation de la logique, et était complet dans son traitement à la fois de la logique propositionnelle et de la logique quantifiée du premier ordre. Contrairement au système ultérieur de Frege, le système de la Begriffsschrift était pleinement cohérent. (Depuis, il s’est avéré impossible de concevoir un système de logique d’ordre supérieur avec un nombre fini d’axiomes qui soit à la fois complet et cohérent.)

Afin de faciliter la déduction, dans le système logique des Grundgesetze de 1893, Frege a utilisé moins d'axiomes et plus de règles d'inférence: sept et douze, respectivement, cette fois, ne laissant rien d'implicite. Les Grundgesetze ont également développé le système de la Begriffsschrift en ajoutant des axiomes régissant ce que Frege appelait les « plages de valeurs ». (Tendances de valeur) de fonctions, compris comme des objets correspondant aux mappages argument-valeur complets générés par les fonctions. Dans le cas des concepts, leurs plages de valeurs ont été identifiées avec leurs extensions. Même si Frege qualifie parfois les extensions de concepts de « classes », il n'a pas conçu de classes telles que des agrégats ou des collections. Ils étaient simplement compris comme des objets correspondant aux mappages arguments-valeurs complets générés par des concepts considérés comme des fonctions.. Frege a ensuite introduit deux axiomes traitant de ces plages de valeurs. La plus tristement célèbre était sa Loi fondamentale V, qui affirme que la valeur de vérité de la plage de valeurs de la fonction F étant identique à la plage de valeurs de la fonction G est la même que la valeur de vérité de F et G ayant la même valeur pour chaque argument. Si l’on conçoit les plages de valeurs comme des mappages argument-valeur, alors cela semble certainement être une hypothèse plausible. Toutefois, à partir de cela, il est possible de prouver un théorème fort d'appartenance à une classe: que pour n'importe quel objet x, cet objet est dans l'extension du concept F si et seulement si la valeur de F pour x comme argument est le Vrai. Étant donné que les plages de valeurs elles-mêmes sont considérées comme des objets, si le concept en question est celui d'être une extension d'un concept non inclus en lui-même, on peut conclure que l'extension de ce concept est en soi juste au cas où elle ne serait pas. Donc, le système logique des Grundgesetze était incohérent en raison du paradoxe de Russell. Voir l'entrée sur le paradoxe de Russell pour plus de détails. Toutefois, le cœur du système des Grundgesetze, c'est, le système moins les axiomes régissant les plages de valeurs, est cohérent et, comme le système de la Begriffsschrift, est complet dans son traitement de la logique propositionnelle et de la logique des prédicats du premier ordre.

Compte tenu de la mesure dans laquelle il est considéré comme acquis aujourd'hui, il peut être difficile d'apprécier pleinement l'approche véritablement innovante et radicale que Frege a adoptée en matière de logique. Frege fut le premier à tenter de transcrire les anciens énoncés de la logique catégorielle dans un langage employant des variables., quantificateurs et fonctions de vérité. Frege a été le premier à comprendre qu’une affirmation telle que « tous les étudiants travaillent dur » signifiait à peu près la même chose que, "pour toutes les valeurs de x, si x est étudiant, alors x travaille dur ». Cela a permis de saisir le lien logique entre des affirmations telles que « soit tous les étudiants travaillent dur, soit tous les étudiants sont intelligents » et « tous les étudiants sont soit travailleurs soit intelligents ». (par exemple, que le premier implique le second). Dans les systèmes logiques antérieurs tels que celui de Boole, dans lequel les éléments propositionnels et quantificationnels ont été bifurqués, la connexion a été complètement perdue. De plus, Le système logique de Frege a été le premier à pouvoir capturer des énoncés de généralité multiple, comme « tout le monde aime une ville » en utilisant plusieurs quantificateurs dans la même formule logique. Cela aussi était impossible dans tous les systèmes logiques antérieurs. En effet, Les « premières » de Frege en logique sont presque trop nombreuses pour être énumérées. Nous avons vu ici qu'il a inventé la théorie moderne de la quantification, a présenté la première axiomatisation complète de la logique propositionnelle et des « prédicats » du premier ordre (ce dernier qu'il a carrément inventé), a tenté la première formulation de logique d'ordre supérieur, a présenté la première analyse cohérente et complète des variables et des fonctions, a montré pour la première fois qu'il était possible de réduire toutes les fonctions de vérité à la négation et au conditionnel., et a fait la première distinction claire entre les axiomes et les règles d'inférence dans un système formel. Comme nous le verrons, il a également fait des progrès dans la logique des mathématiques. Il n’est pas étonnant qu’il soit souvent présenté comme le fondateur de la logique moderne..

Sur la « philosophie de la logique » de Frege, la logique est rendue vraie par un domaine d'entités logiques. Fonctions logiques, plages de valeurs, et la vérité valorise le Vrai et le Faux, sont considérés comme des entités objectivement réelles, existant en dehors des mondes matériel et mental. (Comme nous le verrons ci-dessous, Frege s'est également engagé envers d'autres entités logiques telles que les sens et les pensées.) Les axiomes logiques sont vrais car ils expriment de vraies pensées sur ces entités. Ainsi, Frege a nié l'opinion populaire selon laquelle la logique est sans contenu et sans engagement métaphysique.. Frege était également un critique sévère du psychologisme en logique: l'opinion selon laquelle les vérités logiques sont des vérités sur la psychologie. Alors que Frege pensait que la logique pouvait prescrire des lois sur la façon dont les gens devraient penser, la logique n'est pas la science de la façon dont les gens pensent. Les vérités logiques resteraient vraies même si personne ne les croyait ni ne les utilisait dans son raisonnement. Si les humains étaient génétiquement conçus pour utiliser régulièrement la « règle d’inférence » consistant à affirmer les conséquences, etc., cela ne le rendrait pas logiquement valide. Qu'est-ce qui est vrai ou faux, valide ou invalide, ne dépend de la psychologie ou des croyances de personne. Penser autrement, c’est confondre quelque chose qui est vrai avec quelque chose qui est considéré comme vrai..

3. Contributions à la philosophie des mathématiques

Frege était un ardent défenseur du logicisme, l'opinion selon laquelle les vérités de l'arithmétique sont des vérités logiques. Ses contributions les plus importantes à la philosophie des mathématiques ont peut-être été ses arguments en faveur de ce point de vue.. Il a également présenté d'importantes critiques à l'encontre des opinions rivales.. Nous avons vu que Frege était un critique sévère du psychologisme en logique.. Il pensait de la même manière au sujet du psychologisme en mathématiques. Les chiffres ne peuvent être assimilés aux images mentales de qui que ce soit, ni des vérités mathématiques avec des vérités psychologiques. Les vérités mathématiques sont objectives, pas subjectif. Frege a également critiqué le point de vue de Mill selon lequel les vérités arithmétiques sont des vérités empiriques., basé sur l'observation. Frege a souligné que ce ne sont pas seulement les choses observables qui peuvent être comptées., et que les vérités mathématiques semblent s'appliquer également à ces choses. Du point de vue de Mill, les nombres doivent être considérés comme des conglomérats d’objets. Frege rejette ce point de vue pour plusieurs raisons. Premièrement, est-ce qu'un conglomérat de deux choses est identique à un conglomérat différent de deux choses, et sinon, en quel sens sont-ils égaux? Deuxièmement, une conglomérat peut être considérée comme composée d'un nombre différent de choses, selon la façon dont les pièces sont comptées. Un jeu de cartes contient cinquante-deux cartes, mais chaque carte est constituée d'une multitude d'atomes. Il n’existe pas de « numéro » unique déterminé pour l’ensemble de la conglomérat.. Il a également réitéré les arguments des autres: que les vérités mathématiques semblent apodictiques et connaissables a priori. Il a également argumenté contre la vision kantienne selon laquelle les vérités arithmétiques sont basées sur la pure intuition de la succession du temps.. Son principal argument contre ce point de vue, cependant, était simplement son propre travail dans lequel il montrait que les vérités sur la nature de la succession et de la séquence peuvent être prouvées uniquement à partir des axiomes de la logique..

Frege était également un adversaire du formalisme, l'opinion selon laquelle l'arithmétique peut être comprise comme l'étude de systèmes formels non interprétés. Alors que le langage logique de Frege représentait une sorte de système formel, il a insisté sur le fait que son système formel n'était important qu'en raison de ce que ses signes représentent et de ce que signifient ses propositions.. Les signes eux-mêmes, indépendamment de ce qu'ils veulent dire, sont sans importance. Suggérer que les mathématiques sont simplement l'étude du système formel, est, aux yeux de Frege, confondre le signe et la chose signifiée. Suggérer que l'arithmétique est l'étude des systèmes formels suggère également, absurdement, que la formule « 5 + 7 = 12 », écrit en chiffres arabes, n'est pas la même vérité que la formule, "V + VII = XII", écrit en chiffres romains. Frege suggère également que cette confusion aurait pour résultat absurde que les nombres ne seraient que des chiffres., les signes sur la page, et que nous devrions pouvoir étudier leurs propriétés au microscope.

Frege suggère que les points de vue rivaux sont souvent le résultat d'une tentative de compréhension erronée de la signification des termes numériques., par exemple, en essayant de comprendre leur sens indépendamment des contextes dans lesquels ils apparaissent dans les phrases. Si l’on nous demande simplement de considérer ce que « deux » signifie indépendamment du contexte d’une phrase, nous imaginons simplement le chiffre « 2 », ou peut-être un conglomérat de deux choses. Ainsi, dans les bases, Frege épouse son célèbre principe de contexte, de « ne jamais demander le sens d’un mot isolément », mais seulement dans le contexte d’une proposition. Le Grundlagen est une œuvre antérieure, écrit avant que Frege ne fasse la distinction entre sens et référence (voir ci-dessous). La question de savoir dans quelle mesure et comment ce principe est cohérent avec la théorie ultérieure du sens de Frege fait l’objet de débats et de discussions actives., mais ce qui est clair, c'est que cela joue un rôle important dans sa propre philosophie des mathématiques telle que décrite dans les Grundlagen..

D'après Frege, si l'on regarde les contextes dans lesquels les mots numériques apparaissent habituellement dans une proposition, ils apparaissent dans le cadre d'une phrase sur un concept, spécifiquement, dans le cadre d'une expression qui nous indique combien de fois un certain concept est instancié. Considérer, par exemple, «J'ai six cartes en main» ou «Il y a 11 membres du congrès du Wisconsin.» Ces propositions semblent nous dire combien de fois les concepts d'être une carte en main et d'être membre du congrès du Wisconsin sont instanciés.. Ainsi, Frege conclut que les énoncés sur les nombres sont des énoncés sur les concepts.. Cette idée était très importante pour les arguments de Frege en faveur du logicisme., comme Frege a pu montrer qu'il est possible de définir ce que signifie qu'un concept soit instancié un certain nombre de fois de manière purement logique en faisant appel à des quantificateurs et à l'identité.. Dire que le concept F est instancié zéro fois revient à dire qu’il n’existe aucun objet qui instancie F, ou, de manière équivalente, que tout n'instancie pas F. Dire que F est instancié une fois, c'est dire qu'il existe un objet x qui instancie F, et cela pour tous les objets y, soit y n'instancie pas F, soit y est x. Dire que F est instancié deux fois revient à dire qu’il existe deux objets, x et y, dont chacun instancie F, mais qui ne sont pas identiques les uns aux autres, et pour tout z, soit z n'instancie pas F, ou z est x ou z est y. On pourrait alors considérer les nombres comme des « concepts de second niveau »., ou des concepts de concepts, qui peut être défini en termes purement logiques. (Pour en savoir plus sur la distinction des niveaux de concepts, voir au dessus.)

Frége, cependant, n'en laisse pas là son analyse des chiffres. Comprendre les affirmations sur les nombres comme impliquant des concepts de deuxième niveau nous donne un aperçu de la nature des nombres., mais on ne peut pas en rester là. Les mathématiques exigent que les nombres soient traités comme des objets, et que l'on puisse donner une définition du nombre « deux » simpliciter, sans avoir à parler de deux F. Dans ce but, Frege fait appel à sa théorie des gammes de valeurs des concepts. Sur la notion de plage de valeurs, voir au dessus. Nous avons vu ci-dessus que nous pouvons acquérir une certaine compréhension des affirmations numériques comme impliquant des concepts de deuxième niveau., ou des concepts de concepts. Afin de trouver une définition des nombres en tant qu'objets, Frege les traite plutôt comme des plages de valeurs de plages de valeurs. Exactement, cependant, doivent-ils être compris?

Frege note que nous comprenons ce que signifie dire qu'il y a le même nombre de F qu'il y a de G.. C’est à dire qu’il existe une correspondance un-un entre les objets qui instancient F et les objets instanciant G., c'est à dire. qu'il existe une fonction f depuis les entités qui instancient F sur les entités qui instancient G de telle sorte qu'il y ait un F différent pour chaque G, et un G différent pour chaque F, sans qu'il en reste. (Dans ce, Les vues de Frege sur la nature de la cardinalité ont été en partie anticipées par Georg Cantor.) Toutefois, nous devons garder à l'esprit que les propositions:

(1) Il y a autant de F que de G.
(2) Le nombre de Fs = le nombre de G

doit évidemment avoir la même valeur de vérité, car ils semblent exprimer le même fait. Nous devons, donc, cherchez un moyen de comprendre l’expression « le nombre de F » qui apparaît dans (2) cela montre clairement comment et pourquoi la proposition entière sera vraie ou fausse pour la même raison que (1) est vrai ou faux. La suggestion de Frege est que « le nombre de F » signifie la même chose que « la plage de valeurs du concept étant une plage de valeurs d’un concept instancié autant de fois que F ». Cela signifie que le nombre de Fs correspond à une certaine plage de valeurs., contenant des plages de valeurs, et en particulier, toutes ces plages de valeurs qui ont autant de membres qu'il y a de F. Alors (2) est compris comme disant la même chose que « la plage de valeurs du concept étant une plage de valeurs d'un concept instancié autant de fois que F = la plage de valeurs du concept étant une plage de valeurs d'un concept instancié autant de fois que G", ce qui sera vrai si et seulement s'il y a autant de F que de G, c'est à dire. si chaque plage de valeurs d'un concept instancié autant de fois que F est aussi une plage de valeurs d'un concept instancié autant de fois que G.

Pour donner quelques exemples, s'il y a zéro Fs, alors le nombre de Fs, c'est à dire. zéro, est la plage de valeurs composée de toutes les plages de valeurs sans membres. Rappelons que pour Frege, les classes sont identifiées avec des plages de valeurs de concepts. (Voir au dessus.) Pour reformuler le même point en termes de classes, zéro est la classe de toutes les classes sans membres. Puisqu'il n'y a qu'une seule classe de ce type, zéro est la classe contenant uniquement la classe vide. S'il y a un F, alors le nombre de Fs, c'est à dire. un, est la classe composée de toutes les classes avec un seul membre (les extensions de concepts instanciés une fois). Ici, nous pouvons voir le lien avec la compréhension des expressions numériques comme étant des énoncés sur des concepts.. Plutôt que de comprendre zéro comme le concept d'un concept juste au cas où il ne serait pas instancié, zéro est compris comme la plage de valeurs constituée de plages de valeurs de concepts qui ne sont pas instanciés. Plutôt que de le comprendre comme le concept d'un concept juste au cas où il serait instancié par un objet unique, il est compris comme la plage de valeurs constituée de plages de valeurs de concepts instanciés par des objets uniques. Cela nous permet de comprendre les nombres comme des objets abstraits, et fournir une définition claire de la signification des signes numériques en arithmétique tels que « 1 », "2", "3", etc..

Certains des travaux les plus brillants de Frege ont consisté à fournir des définitions des nombres naturels dans son langage logique., et en y prouvant certaines de leurs propriétés. Après avoir exposé les lois fondamentales de la logique, et définir des axiomes régissant les fonctions de vérité et les plages de valeurs, etc., Frege commence par définir une relation qui s'applique entre deux plages de valeurs au cas où il s'agirait de plages de valeurs de concepts instanciés autant de fois.. Cette relation est valable entre les plages de valeurs au cas où elles auraient la même taille., c'est à dire. juste au cas où il y aurait une correspondance univoque entre les entités qui relèvent de leurs concepts. Utiliser ceci, il définit ensuite une fonction qui prend une plage de valeurs comme argument et donne comme valeur la plage de valeurs composée de toutes les plages de valeurs de la même taille qu'elle.. Le nombre zéro est alors défini comme la plage de valeurs composée de toutes les plages de valeurs de la même taille que la plage de valeurs du concept qui n'est pas identique à elle-même.. Puisque ce concept n'est pas instancié, zéro est défini comme la plage de valeurs de toutes les plages de valeurs sans membres, comme décrit ci-dessus. Il n'y a qu'un seul nombre zéro. Puisque c'est vrai, alors le concept d'être identique à zéro est instancié une fois. Frege l'utilise ensuite pour en définir un. Un est défini comme la plage de valeurs de toutes les plages de valeurs égales en taille à la plage de valeurs du concept étant identique à zéro. Après en avoir défini un, c'est comme ça, Frege est capable de définir deux. Il a déjà défini un et zéro; ils sont chacun uniques, mais différents les uns des autres. Donc, deux peuvent être définis comme la plage de valeurs de toutes les plages de valeurs égales en taille à la plage de valeurs du concept étant identique à zéro ou identique à un. Frege est capable de définir tous les nombres naturels de cette manière, et en effet, prouver qu'il y en a une infinité. Chaque nombre naturel peut être défini par rapport au précédent: pour chaque nombre naturel n, son successeur (n + 1) peut être défini comme la plage de valeurs de toutes les plages de valeurs égales en taille à la plage de valeurs du concept d'être identique à l'un des nombres compris entre zéro et n.

Dans la police conceptuelle, Frege avait déjà pu prouver certains résultats concernant les séries et les séquences, et a pu définir l'ancestral d'une relation. Comprendre l'ancestralité d'une relation, prenons l'exemple de la relation d'être l'enfant de. Une personne x entretient cette relation avec y juste au cas où x serait l'enfant de y. Toutefois, x tombe dans l'ancêtre de cette relation par rapport à y juste au cas où x serait l'enfant de y, ou est l'enfant de l'enfant de y, ou l'enfant de votre enfant est-il l'enfant de votre enfant, etc.. Frege était capable de définir logiquement l'ancestralité des relations dès ses premiers travaux.. Il a utilisé cela dans les Grundgesetze pour définir les nombres naturels. Nous avons vu comment la notion de succession peut être définie pour Frege, c'est à dire. la relation n + 1 porte sur n. Les nombres naturels peuvent être définis comme la plage de valeurs de toutes les plages de valeurs qui relèvent de la relation ancestrale de successeur par rapport à zéro.. Les nombres naturels sont alors constitués de zéro, le successeur de zéro (un), le successeur du successeur de zéro (deux), et ainsi de suite à l'infini. Frege a ensuite pu utiliser cette définition des nombres naturels pour fournir une analyse logique de l'induction mathématique, et prouver que l'induction mathématique peut être utilisée valablement pour démontrer les propriétés des nombres naturels, un résultat extrêmement important pour concrétiser ses ambitions logicistes. Frege pourrait alors utiliser l'induction mathématique pour prouver certaines des lois fondamentales des nombres naturels.. Frege a ensuite orienté sa méthode logiciste vers une analyse des nombres entiers. (y compris les nombres négatifs) et puis aux vrais chiffres, les définir à l'aide des nombres naturels et de certaines relations existant entre eux. Nous n'avons pas besoin de nous attarder ici sur les détails de ce travail.

L’approche de Frege pour fournir une analyse logique de la cardinalité, les nombres naturels, l'infini et l'induction mathématique étaient révolutionnaires, et ont eu une importance durable dans la logique mathématique. En effet, avant 1902, il a dû lui sembler qu'il avait parfaitement réussi à montrer que les lois fondamentales de l'arithmétique pouvaient être comprises comme des vérités purement logiques.. Toutefois, comme nous l'avons vu, La définition des nombres par Frege implique fortement la notion de classes ou de plages de valeurs., mais son traitement logique s’avère impossible en raison du paradoxe de Russell. Cela pose un sérieux problème à l’approche logiciste de Frege.. Un autre coup dur est survenu après la mort de Frege. En 1931, Kurt Gödel a découvert sa célèbre preuve d'incomplétude selon laquelle il ne peut y avoir de système formel cohérent avec un nombre fini d'axiomes dans lequel il est possible de dériver toutes les vérités de l'arithmétique.. Cela représente un coup dur pour les formes de logicisme plus ambitieuses., comme celui de Frege, qui visait à fournir précisément le type de système que Gödel avait montré impossible. Néanmoins, on ne peut nier que les travaux de Frege en philosophie des mathématiques étaient importants et perspicaces..

4. La théorie du sens et de la référence

La théorie influente du sens de Frege, la théorie du sens (Sinn) et référence (Signification) a été décrit pour la première fois, quoique brièvement, dans son article, « Fonction et concept » de 1891, et a été développé et expliqué plus en détail dans peut-être son ouvrage le plus célèbre, « Du sens et du sens » de 1892. Dans « Fonction et concept », la distinction entre sens et référence des signes dans le langage se fait d'abord à propos des équations mathématiques. À l’époque de Frege, il y avait un débat généralisé parmi les mathématiciens sur la manière dont le signe, "=", il faut comprendre. Si l'on considère une équation telle que, "4 x 2 = 11 – 3", un certain nombre de contemporains de Frege, pour diverses raisons, se méfiaient de considérer cela comme l’expression d’une identité, ou, dans ce cas, comme l'affirmation selon laquelle 4 x 2 et 11 – 3 sont une seule et même chose. Plutôt, ils ont postulé une forme plus faible d'« égalité », telle que les nombres 4 x 2 et 11 – 3 seraient considérés comme étant égaux en nombre ou égaux en grandeur sans pour autant constituer une seule et même chose.. Contrairement à l’idée selon laquelle « = » signifie identité, de tels penseurs souligneraient que 4 x 2 et 11 – 3 ne peuvent pas être considérés de toutes les manières comme étant identiques.. Le premier est un produit, ce dernier une différence, etc..

Dans sa période de maturité, cependant, Frege était un ardent opposant à ce point de vue, et a plaidé en faveur de la compréhension de « = » comme identité propre, accusant les points de vue rivaux de confondre la forme et le contenu. Il soutient plutôt que des expressions telles que « 4 x 2 » et « 11 – 3 » peuvent être comprises comme signifiant une seule et même chose., le chiffre huit, mais que cette unique entité est déterminée ou présentée différemment par les deux expressions. Ainsi, il fait une distinction entre le nombre réel qu'une expression mathématique telle que « 4 x 2 » représente, et la manière dont ce nombre est déterminé ou choisi. Le premier, il l'a appelé la référence (Signification) de l'expression, et ce dernier s'appelait le sens (Sinn) de l'expression. Dans la terminologie frégéenne, on dit qu'une expression exprime son sens, et désigner ou faire référence à sa référence.

La distinction entre référence et sens a été élargie, principalement dans « Sur le sens et la signification » comme valable non seulement pour les expressions mathématiques, mais pour toutes les expressions linguistiques (si la langue en question est une langue naturelle ou une langue formelle). L’un de ses principaux exemples concerne les expressions « l’étoile du matin » et « l’étoile du soir ».. Ces deux expressions font référence à la planète Vénus, pourtant, ils désignent évidemment Vénus en vertu des différentes propriétés qu'elle possède.. Ainsi, Frege affirme que ces deux expressions ont la même référence mais des sens différents. La référence d'une expression est la chose réelle qui lui correspond, dans le cas de « l’étoile du matin », la référence est la planète Vénus elle-même. Le sens d'une expression, cependant, est le « mode de présentation » ou le contenu cognitif associé à l’expression en vertu duquel la référence est retenue.

Frege met la distinction à profit pour résoudre une énigme concernant les revendications identitaires. Si l'on considère les deux affirmations:

(1) l'étoile du matin = l'étoile du matin

(2) l'étoile du matin = l'étoile du soir

Le premier semble être un cas trivial de la loi de l’identité personnelle., connaissable a priori, tandis que le second semble être quelque chose qui a été découvert a posteriori par les astronomes. Toutefois, si « l’étoile du matin » veut dire la même chose que « l’étoile du soir », alors les deux déclarations elles-mêmes semblent également avoir la même signification, tous deux impliquant la relation d’identité d’une chose à elle-même. Toutefois, il devient alors trop difficile d'expliquer pourquoi (2) semble informatif alors que (1) ne fait pas. La réponse de Frege à cette énigme, étant donné la distinction entre sens et référence, devrait être apparent. Parce que la référence de « l’étoile du soir » et « l’étoile du matin » est la même, les deux affirmations sont vraies en vertu de la relation d’identité du même objet avec lui-même. Toutefois, parce que les sens de ces expressions sont différents – en (1) l'objet est présenté deux fois de la même manière, et en (2) il est présenté de deux manières différentes : il est instructif d'en apprendre davantage sur (2). Alors que la vérité d'une déclaration d'identité implique uniquement les références des expressions composantes, le caractère informatif de telles déclarations implique en outre la manière dont ces références sont déterminées, c'est à dire. les sens des expressions composantes.

Jusqu'à présent, nous n'avons considéré la distinction que dans la mesure où elle s'applique aux expressions qui nomment un objet. (y compris les objets abstraits, comme les chiffres). Pour Frege, la distinction s'applique également à d'autres types d'expressions et même à des phrases ou propositions entières. Si la distinction sens/référence peut s’appliquer à des propositions entières, il va de soi que la référence de la proposition entière dépend des références des parties et que le sens de la proposition dépend des sens des parties. (À certains moments, Frege suggère même que le sens d’une proposition entière est composé des sens des expressions qui la composent.) Dans l'exemple considéré dans le paragraphe précédent, il a été vu que la valeur de vérité de la revendication d'identité dépend des références des expressions composantes, tandis que le caractère informatif de ce qui a été compris par la revendication identitaire dépend des sens. Pour cela et d'autres raisons, Frege a conclu que la référence d'une proposition entière est sa valeur de vérité., soit le vrai, soit le faux. Le sens d'une proposition complète est ce que nous comprenons lorsque nous comprenons une proposition, ce que Frege appelle « une pensée » (Pensée). Tout comme le sens du nom d'un objet détermine la façon dont cet objet est présenté, le sens d'une proposition détermine une méthode de détermination d'une valeur de vérité. Les propositions, « 2 + 4 = 6 » et « la Terre tourne », les deux ont le Vrai comme références, bien que cela soit dû à des conditions très différentes dans les deux cas, tout comme « l'étoile du matin » et « l'étoile du soir » font référence à Vénus en vertu de propriétés différentes.

Dans « Du sens et du sens », Frege limite sa discussion sur la distinction sens/référence aux « expressions complètes » telles que les noms prétendant identifier un objet et des propositions entières.. Toutefois, dans d'autres œuvres, Frege précise clairement que la distinction peut également s'appliquer aux « expressions incomplètes », qui incluent des expressions fonctionnelles et des prédicats grammaticaux. Ces expressions sont incomplètes dans le sens où elles contiennent un « espace vide », qui, une fois rempli, donne soit un nom complexe faisant référence à un objet, ou une proposition complète. Ainsi, l'expression incomplète « la racine carrée de ( )" contient un espace vide, qui, lorsqu'il est complété par une expression faisant référence à un nombre, donne une expression complexe faisant également référence à un certain nombre, par exemple., "la racine carrée de seize". L'expression incomplète, "( ) est une planète" contient une place vide, qui, lorsqu'il est rempli d'un nom, donne une proposition complète. D'après Frege, les références de ces expressions incomplètes ne sont pas des objets mais des fonctions. Objets (Articles), dans la terminologie de Frege, sont autonomes, entités complètes, alors que les fonctions sont essentiellement incomplètes, ou comme le dit Frege, "insaturé" (insaturé) en ce sens qu'ils doivent prendre autre chose comme argument pour donner une valeur. La référence à l’expression « racine carrée de ( )" est donc une fonction, qui prend des nombres comme arguments et donne des nombres comme valeurs. La situation peut paraître quelque peu différente dans le cas des prédicats grammaticaux.. Toutefois, parce que Frege soutient que les propositions complètes, comme des noms, avoir des objets comme références, et en particulier, la vérité valorise le Vrai ou le Faux, il est capable de traiter les prédicats également comme ayant des fonctions comme références. En particulier, ce sont des fonctions mappant des objets sur des valeurs de vérité. L'expression, "( ) est une planète » a pour référence une fonction qui donne comme valeur le Vrai lorsqu'elle est saturée par un objet tel que Saturne ou Vénus, mais le Faux lorsqu'il est saturé par une personne ou le chiffre trois. Frege appelle une telle fonction d'un lieu d'argument qui donne le vrai ou le faux pour chaque argument possible un « concept ». (Expression), et appelle des fonctions similaires de plus d'un emplacement d'argument (tel que celui désigné par «( ) > ( )”, qui a doublement besoin de saturation), "rapports".

Il est clair que les fonctions doivent être comprises comme les références d'expressions incomplètes, mais qu'en est-il du sens de telles expressions? Ici, Frege nous dit relativement peu de choses, sauf qu'ils existent. Il existe une certaine controverse parmi les interprètes de Frege quant à la façon dont ils doivent être compris.. Il suffit ici de noter que tout comme le même objet (par exemple. la planète Vénus), peut être présenté de différentes manières, une fonction peut également être présentée de différentes manières. Alors que « l’identité », comme Frege utilise le terme, est une relation valable uniquement entre des objets, Frege pense qu'il existe une relation similaire à l'identité qui existe entre les fonctions au cas où elles partageraient toujours la même valeur pour chaque argument.. Puisque toutes et seules les choses qui ont un cœur ont des reins, à proprement parler, les concepts désignés par les expressions «( ) a un cœur », et "( ) a un rein » sont une seule et même chose. Clairement, cependant, ces expressions ne présentent pas ce concept de la même manière. Pour Frege, ces expressions auraient des sens différents mais la même référence. Frege nous dit également que c'est la nature incomplète de ces sens qui fournit la « colle » qui maintient ensemble les pensées dont ils font partie..

Frege utilise également cette distinction pour résoudre ce qui semble être une difficulté avec la loi de Leibniz en matière d’identité.. Cette loi a été énoncée par Leibniz comme, "ces choses sont les mêmes dont l'une peut être substituée à une autre sans perte de vérité," un sentiment avec lequel Frege était pleinement d'accord. Comme Frege le comprend, cela signifie que si deux expressions ont la même référence, ils devraient pouvoir se remplacer dans n'importe quelle proposition sans changer la valeur de vérité de cette proposition. Normalement, cela ne pose aucun problème. L'inférence de:

(3) L'étoile du matin est une planète.

à la conclusion:

(4) L'étoile du soir est une planète.

en vertu de (2) ci-dessus et la loi de Leibniz est valide sans problème. Toutefois, il semble y avoir de sérieux contre-exemples à ce principe. On sait par exemple que « l'étoile du matin » et « l'étoile du soir » ont la même référence usuelle. Toutefois, il n'est pas toujours vrai qu'ils peuvent se remplacer sans changer la vérité d'une phrase. Par exemple, si l'on considère les propositions:

(5) Gottlob pense que l'étoile du matin est une planète.

(6) Gottlob pense que l'étoile du soir est une planète.

Si nous supposons que Gottlob ne sait pas que l'étoile du matin est le même corps céleste que l'étoile du soir, (5) peut être vrai alors que (6) faux ou vice versa.

Frege relève ce défi à la loi de Leibniz en faisant une distinction entre ce qu’il appelle les références primaires et secondaires des expressions.. Frege suggère que lorsque des expressions apparaissent dans certains contextes inhabituels, ils ont pour références ce qui est habituellement leurs sens. Dans ces cas, on dit que les expressions ont leurs références secondaires. Typiquement, de tels cas impliquent ce que Frege appelle le « discours indirect » ou « l’oratio obliqua »., comme dans le cas des déclarations de croyances, pensées, désirs et autres soi-disant « attitudes propositionnelles », comme les exemples de (5) et (6). Toutefois, les expressions ont aussi leurs références secondaires (pour des raisons qui devraient déjà apparaître) dans des contextes tels que « il est informatif que… » ou « … est analytiquement vrai ».

Considérons les exemples de (5) et (6) plus près. Dans l’esprit de Frege, ces déclarations ne concernent pas directement l'étoile du matin et l'étoile du soir elle-même. Plutôt, ils impliquent une relation entre un croyant et une pensée crue. Pensées, comme nous l'avons vu, sont les sens de propositions complètes. La composition des croyances dépend de la manière dont certains objets et concepts sont présentés., pas seulement sur les objets et les concepts eux-mêmes. La vérité des croyances prétend, donc, ne dépendra pas des références habituelles des expressions composantes de la croyance exprimée, mais leurs sens. Puisque la valeur de vérité de l’ensemble de l’affirmation de croyance est la référence de cette affirmation de croyance, et la référence de toute proposition, pour Frege, dépend des références de ses expressions composantes, nous sommes amenés à conclure que les sens typiques des expressions qui apparaissent dans l'oratio obliqua sont en fait les références de ces expressions lorsqu'elles apparaissent dans ce contexte. De tels contextes peuvent être appelés « contextes obliques »., contextes dans lesquels la référence d'une expression est déplacée de sa référence habituelle à son sens habituel.

De cette façon, Frege parvient effectivement à conserver son engagement dans la loi de Leibniz. Les expressions « l’étoile du matin » et « l’étoile du soir » ont la même référence primaire, et dans tout contexte non oblique, ils peuvent se remplacer sans changer la valeur de vérité de la proposition. Toutefois, puisque les sens de ces expressions ne sont pas les mêmes, ils ne peuvent pas se remplacer dans des contextes obliques, parce que dans de tels contextes, leurs références ne sont pas identiques.

Frege attribue aux sens et aux pensées une existence objective. Dans sa tête, ce sont des objets tout aussi réels que des tables et des chaises. Leur existence ne dépend ni du langage ni de l'esprit. Plutôt, on dit qu’ils existent dans un « troisième domaine » intemporel des sens., existant en dehors du mental et du physique. Frege conclut ceci parce que, bien que les sens ne soient évidemment pas des entités physiques, leur existence ne dépend pas non plus de la psychologie d’une seule personne. Une pensée, par exemple, a une valeur de vérité, peu importe si quelqu'un y croit ou non et même si quelqu'un l'a compris ou non. De plus, les sens sont interpersonnels. Différentes personnes sont capables de saisir les mêmes sens et les mêmes pensées et de les communiquer, et il est même possible que des expressions dans différentes langues expriment le même sens ou la même pensée.. Frege conclut qu'il s'agit d'objets abstraits, incapable d'une interaction causale complète avec le monde physique. Ils ne sont réels que dans le sens très limité où ils peuvent avoir un effet sur ceux qui les saisissent., mais sont eux-mêmes incapables d'être modifiés ou d'agir. Ils ne sont ni créés par notre utilisation du langage ou par nos actes de pensée., ni détruits par leur cessation.

Malheureusement, Frege ne nous dit pas grand-chose sur la manière exacte dont ces objets abstraits sélectionnent ou présentent leurs références.. Qu’est-ce qui fait exactement qu’une « manière de déterminer » ou un « mode de présentation » d’une référence a du sens ?? Dans le sillage de la théorie des descriptions de Russell, un sens frégéen est souvent interprété comme un ensemble d'informations descriptives ou de critères qui sélectionnent sa référence en vertu du fait que la référence seule satisfait ou correspond à cette information descriptive. En donnant des exemples, Frege laisse entendre qu'une personne pourrait attacher au nom « Aristote » le sens d'élève de Platon et de professeur d'Alexandre le Grand.. Ce sens distingue Aristote comme la personne parce que lui seul correspond à cette description.. Ici, il faut veiller à éviter les malentendus. Le sens du nom « Aristote » n’est pas celui de « l’élève de Platon et le professeur d’Alexandre le Grand ».; répéter, les sens ne sont pas des éléments linguistiques. Il s’agit plutôt d’un sens consistant en un ensemble d’informations descriptives, et ces informations sont mieux décrites par une phrase descriptive de cette forme. La propriété d’être l’élève de Platon et le professeur d’Alexandre est propre à Aristote., Et ainsi, c'est peut-être en associant cette information au nom « Aristote » que ce nom peut être utilisé pour désigner Aristote. Comme l’ont noté certains commentateurs, il n'est même pas nécessaire que le sens du nom puisse être exprimé par une expression descriptive, parce que les informations descriptives ou les propriétés en vertu desquelles la référence est déterminée peuvent ne pas être directement nominables dans une langue naturelle.

De ce point de vue, il est facile de comprendre comment il peut y avoir des sens qui ne repèrent aucune référence. Des noms tels que « Romulus » ou « Ulysse », et des expressions telles que « la série à convergence la moins rapide » ou « l'actuel roi de France » expriment des sens, dans la mesure où ils posent des critères auxquels les choses devraient satisfaire si elles devaient être les références de ces expressions. Toutefois, il n'y a aucune chose qui satisfait réellement à ces critères. Donc, ces expressions sont significatives, mais je n'ai pas de références. Parce que le sens d'une proposition entière est déterminé par le sens de ses parties., et la référence d'une proposition entière est déterminée par les parties, Frege affirme que les propositions dans lesquelles de telles expressions apparaissent sont capables d'exprimer des pensées., mais ne sont ni vrais ni faux, car aucune référence n'est déterminée pour eux.

Cette interprétation de la nature des sens fait de Frege un précurseur de ce que l’on appelle depuis la théorie « descriptiviste » du sens et de la référence en philosophie du langage.. L’idée selon laquelle le sens d’un nom propre tel que « Aristote » pourrait être une information descriptive aussi simple que celle de l’élève de Platon et du professeur d’Alexandre le Grand, cependant, a été durement critiqué par de nombreux philosophes, et peut-être plus particulièrement par Saul Kripke. Kripke souligne que cela ferait apparaître une affirmation telle que « Aristote a enseigné à Alexandre » comme une vérité nécessaire et analytique., ce qui ne semble pas être le cas. De plus, il affirme que beaucoup d'entre nous semblent être capables d'utiliser un nom pour désigner un individu même si nous ignorons les propriétés détenues uniquement par cet individu.. Par exemple, beaucoup d’entre nous n’en savent pas assez sur le physicien Richard Feynman pour pouvoir identifier une propriété qui le différencie d’autres physiciens éminents tels que Murray Gell-Mann., mais il semble que nous puissions toujours faire référence à Feynman avec le nom « Feynman ». John Searle, Michael Dummett et autres, cependant, ont proposé des moyens d’élargir ou de modifier la notion de sens de Frege pour contourner les inquiétudes de Kripke.. Cela a conduit à un débat très important dans la philosophie du langage., qui, malheureusement, nous ne pouvons pas en discuter entièrement ici.

5. Références et lectures complémentaires
À. Les propres œuvres de Frege
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"Sur le concept et l'objet." Revue trimestrielle de philosophie scientifique 16 (1892): 192-205. Translated as “On Concept and Object.” In >CP 182-94. Également dans The Frege Reader [FR], 181-93. Edité par Michael Beaney. Oxford: Puits noir, 1997. Et dans les traductions des écrits philosophiques de Gottlob Frege [TPW], 42-55. édition 3D. Edité par Peter Geach et Max Black. Oxford: Puits noir, 1980.
Écriture conceptuelle, un langage de formules de pensée pure calqué sur l'arithmétique. Halle: L. Nébert, 1879. Traduit comme Wortschrift, un langage de formule, Calqué sur celui de l'arithmétique, pour la pensée pure. De Frege à Gödel, édité par Jean van Heijenoort. Cambridge, MA: Presse universitaire de Harvard, 1967. Également sous forme de notation conceptuelle et d'articles connexes. Edité et traduit par Terrell W.. Bynum. Londres: Presse universitaire d'Oxford, 1972.
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"Sur les théories formelles de l'arithmétique." Rapports de réunion de la Société de Jena pour la médecine et les sciences naturelles 19 (1885): 94-104. Traduit par « Sur les théories formelles de l’arithmétique ». Au CP 112-21.
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Informations sur l’auteur

Kévin C.. Clément
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Université du Massachusetts, Amherst
tu. S. UN.