Logica paraconsistente

Una logica paraconsistente è un modo di ragionare su informazioni incoerenti senza cadere nell’assurdità. In una logica non paraconsistente, l'incoerenza esplode nel senso che se prevale una contraddizione, poi tutto (qualunque cosa!) altrimenti ottiene, pure. Qualcuno che ragiona con una logica paraconsistente può iniziare con premesse incoerenti, ad esempio, un dilemma morale, un'antinomia kantiana, o un paradosso semantico, e tuttavia raggiungere conclusioni sensate, senza esplodere completamente nell’incoerenza.

La paracoerenza è una tesi sulla conseguenza logica: non tutte le contraddizioni comportano assurdità arbitrarie. Al di là di quella pretesa minima, i punti di vista e i meccanismi della logica paraconsistente sono disponibili in un ampio spettro, da debole a forte, come segue.

All'estremità molto debole, le logiche paraconsistenti sono considerate salvaguardie per controllare la fallibilità umana. Inevitabilmente rivediamo le nostre teorie, avere false credenze, e commettere errori; per evitare di cadere nell’incoerenza, è necessaria una logica paraconsistente. Affermazioni così modeste e conservatrici non dicono nulla sulla verità di per sé. La paracoerenza debole è ancora compatibile con il pensiero che se una contraddizione fosse vera, allora tutto sarebbe vero, anche perché, nonostante credenze e teorie, le contraddizioni non possono essere vere.

All'estremità molto forte dello spettro, le logiche paraconsistenti sostengono l’affermazione che alcune contraddizioni sono realmente vere. Questa tesi – il dialeteismo – è talvolta la teoria migliore (della matematica, o metafisica, o anche il mondo empirico) è contraddittorio. La paracoerenza è obbligatoria perché il dialeteista sostiene ancora che non tutto è vero. Infatti, la paracoerenza forte sostiene che tutte le contraddizioni sono false, anche se alcune contraddizioni sono anche vere. Così, a questa estremità dello spettro, il dialeteismo stesso è una delle vere contraddizioni.

Questo articolo offre una breve discussione di alcune idee e approcci principali alla paracoerenza. Le logiche moderne sono espresse nel linguaggio della matematica e del simbolismo formale. Tuttavia, questo articolo non è un tutorial sugli aspetti tecnici della paracoerenza, ma piuttosto una sinossi delle idee sottostanti. Vedi le letture suggerite per le esposizioni formali, nonché materiale storico.

Sommario
Il problema
Sfondo logico
Definizioni
Due gradi di paracoerenza
Requisiti affinché una logica sia paraconsistente
Scuole di logica paraconsistente
Logica discorsiva
Conservazionismo
Logica adattiva
Rilevanza
Logiche dell'incoerenza formale
Dialetismo
Applicazioni
Dilemmi morali
Legge, Scienza, e revisione delle credenze
Teorie chiuse: verità e insiemi
Assiomi ingenui
Ulteriori restrizioni logiche
Apprendimento, Credenze, e l'intelligenza artificiale
Conclusione
Riferimenti e approfondimenti
1. Il problema

Consideriamo un esempio dovuto ad Alan Weir, riguardante un leader politico che assolutamente, crede fondamentalmente nella santità della vita umana, e quindi crede che la guerra sia sempre sbagliata. Tutto uguale, si verifica una situazione in cui il suo paese deve entrare in guerra (altrimenti la gente morirà, il che è sbagliato). Entrare in guerra significherà inevitabilmente che alcune persone moriranno. Plausibilmente, il leader politico è ora invischiato in un dilemma. Questo è esattamente il momento in cui l’inferenza paraconsistente è appropriata. Immagina che il nostro leader pensi, “La guerra è sempre sbagliata, ma visto che andremo comunque in guerra, tanto vale bombardare i civili”. Un ragionamento assurdo di questo tipo non è solo una cattiva logica, ma semplicemente pessimo.

David Hume una volta scrisse (1740, P. 633),

Mi trovo coinvolto in un tale labirinto, Quello, Devo confessare, Non so nemmeno come correggere le mie precedenti opinioni, né come renderli coerenti.

Come giustamente sottolineano Schotch e Jennings, «Non è utile dirlo a Hume se le sue opinioni fossero incoerenti, tutti loro, vero, allora ogni frase sarebbe vera”. La cosa migliore che possiamo dire a Hume è che almeno alcune delle sue opinioni sono sbagliate, ma “questo, finora non è una novità per Hume, era ciò che causava gran parte dell’angoscia che evidentemente provava’ (Schotch et al. P. 23). Vogliamo un modo per rimanere sensati e ragionevoli anche quando, soprattutto quando, sorgono problemi di questo tipo. Abbiamo bisogno di un modo per evitare di cadere in pezzi irrazionali quando la vita, logica, la matematica o anche la filosofia ci portano al paradosso e all'enigma. A questo servono le logiche paraconsistenti.

2. Sfondo logico
UN. Definizioni

Una logica è un insieme di formule ben formate, insieme ad una relazione di inferenza ⊢. La relazione di inferenza, chiamata anche conseguenza logica, può essere specificato sintatticamente o semanticamente, e ci dice quali formule (conclusioni) seguire da quali formule (premesse). Quando una frase B segue da un gruppo di frasi A0, A1, …, UN, scriviamo

A0, A1, …, An ⊢ B.

Quando vale la relazione ⊢, diciamo che l'inferenza è valida. L’insieme di tutti gli enunciati che possono essere validamente dedotti in una logica è detto teoria.

Una distinzione chiave dietro l’intera impresa paraconsistente è quella tra consistenza e coerenza. Una teoria è coerente se non esistono coppie di enunciati contraddittori A, ¬A sono derivabili, o in alternativa se non esiste una singola frase della forma A & ¬A è derivabile. La coerenza è una nozione più ampia, talvolta chiamato assoluto (al contrario di semplice) coerenza, e più spesso chiamata non banalità. Una teoria banale o assurda è quella in cui vale assolutamente ogni frase. L’idea di paracoerenza è che la coerenza è possibile anche senza coerenza. Detto in un altro modo, un logico paraconsistente può dire che una teoria è incoerente senza voler dire che la teoria sia incoerente, o assurdo. Il primo è una caratteristica strutturale della teoria, vale la pena ripararlo o studiarlo ulteriormente; quest’ultimo significa che la teoria è andata disastrosamente storta. La paracoerenza ci offre un modo basato sui principi per resistere all’equiparazione della contraddizione con l’assurdità.

Nella logica classica, la logica sviluppata da Boole, Frege, Russell et al. alla fine del 1800, e la logica insegnata quasi sempre nei corsi universitari, ha una relazione di inferenza secondo la quale

UN, ¬A ⊢ B

è valido. Ecco la conclusione, B, potrebbe essere assolutamente qualsiasi cosa. Quindi questa inferenza è chiamata da qualsiasi contraddizione (da una contraddizione, tutto segue) o esplosione. I logici paraconsistenti hanno sostenuto che questa caratteristica dell’inferenza classica non è corretta. Mentre le ragioni per negare la validità dell’esplosione varieranno a seconda della visione del ruolo della logica, un'affermazione fondamentale è che il passaggio da una contraddizione a una formula arbitraria non sembra un ragionamento. Come i fondatori della logica rilevante, Anderson e Belnap, sollecitano nel loro libro canonico Entailment, una “dimostrazione” presentata a una rivista di matematica in cui i passaggi essenziali non riescono a fornire una ragione per credere alla conclusione, per esempio. una prova per esplosione, verrebbe respinto a priori. Marco Colyvan (2008) illustra il punto notando che nessuno ha rivendicato una dimostrazione sorprendentemente semplice dell’ipotesi di Riemann:

L’ipotesi di Riemann: Tutti gli zeri della funzione zeta hanno parte reale pari a 1/2.
Prova: Sia R l'insieme di Russell, l’insieme di tutti gli insiemi che non sono membri di se stessi. È semplice dimostrare che questo insieme è sia membro di se stesso che non membro di se stesso. Perciò, tutti gli zeri della funzione zeta di Riemann hanno parte reale pari a 1/2.

Inutile dirlo, l'ipotesi di Riemann rimane un problema aperto al momento in cui scriviamo.

Minimamente, I logici paraconsistenti affermano che ci sono o potrebbero esserci situazioni in cui la paracoerenza è una valida alternativa alla logica classica. Questa è una visione pluralista, per cui logiche diverse sono appropriate a diverse aree. Proprio per una questione di valore pratico, L'esplosione non sembra un buon consiglio per una persona che si trova di fronte a una contraddizione, come chiarisce la citazione di Hume sopra. Con più forza, le logiche paraconsistenti pretendono di essere una spiegazione della logica migliore rispetto all'apparato classico. Questo è più vicino a una visione monistica, in cui c'è, essenzialmente, una logica corretta, ed è paraconsistente.

b. Due gradi di paracoerenza

Diamo una definizione formale di paraconsistenza.

Definizione 1. Una logica è paraconsistente se non è così per tutti gli enunciati A, B che A, ¬A ⊢ B.

Questa definizione è semplicemente la negazione dell'ex contraddizione quodlibet; una logica è paraconsistente se e solo se non convalida l'esplosione. La definizione è neutra riguardo alla possibilità che si verifichino eventuali incoerenze. Indica solo questo, dovesse emergere un'incoerenza, ciò non porterebbe necessariamente a un'esplosione inferenziale. Nella prossima definizione, le cose sono un po' diverse:

Definizione 2. Una logica è paraconsistente se e solo se ci sono degli enunciati A, B tale che ⊢ A e ⊢ ¬A, ma non ⊢ B.

Una logica paraconsistente nel senso della definizione 2 soddisfa automaticamente la definizione 1. Ma la seconda definizione suggerisce che in realtà esistono teorie incoerenti. L'idea è questa, affinché l'esplosione fallisca, è necessario prevedere circostanze in cui sussistono contraddizioni. La differenza tra le definizioni è sottile, ma ci aiuterà a distinguere tra due principali gradazioni di paracoerenza, debole e forte.

All'incirca, la paracoerenza debole è il concetto di cluster che

eventuali contraddizioni apparenti sono sempre dovute a errori umani;
è preferibile la logica classica, e in un mondo migliore in cui gli esseri umani non sbagliassero, useremmo la logica classica;
nessuna vera teoria conterrebbe mai un’incoerenza.

I logici paraconsistenti deboli vedono il loro ruolo come simile a quello dei medici o dei meccanici. A volte i sistemi informativi sviluppano errori deplorevoli ma inevitabili, e le logiche paraconsistenti sono strumenti per il controllo dei danni. I paraconsistenti deboli cercano modi per ripristinare la coerenza del sistema o per far funzionare il sistema nel modo più coerente possibile. I paraconsistenti deboli hanno lo stesso punto di vista, più o meno, contraddizioni, come fanno i logici classici.

Dall'altra parte, una forte paracoerenza include idee come

Alcune contraddizioni potrebbero non essere errori;
la logica classica è sbagliata in linea di principio;
alcune teorie vere potrebbero effettivamente essere incoerenti.

Un forte paraconsistentista ritiene di allentare in qualche modo la legge di non contraddizione, o eliminandolo del tutto, quindi ¬(UN & ¬A) non è un teorema, o ritenendo che la legge stessa possa presentarsi in contraddizione, del modulo

Sempre, non (A e non A),
e talvolta, sia A che non A.

I forti paraconsistenti possono essere interessati a sistemi incoerenti per il loro stesso interesse, un po’ come un matematico che considera diversi sistemi geometrici non euclidei, senza preoccuparsi della “verità” dei sistemi; oppure un forte paraconsistente può aspettarsi che i sistemi incoerenti siano descrizioni vere e accurate del mondo, come un fisico che considera una geometria non euclidea come la geometria effettiva dello spazio.

È importante mantenere la paracoerenza debole distinta dal pluralismo logico, e forte paracoerenza o dialeteismo (vedere §3f.) distinto dal monismo logico. Per esempio, si può benissimo essere un debole paraconsistente, nella misura in cui si sostiene che l'esplosione non è valida, anche se non ci sono vere contraddizioni, e allo stesso tempo un monista logico, ritenendo che l’Unica Vera Logica sia paraconsistente. Questa era la posizione dei padri della logica della pertinenza, Anderson e Belnap, per esempio. Allo stesso modo, si potrebbe essere un dialeteista e un pluralista logico, come lo è il logico filosofico contemporaneo Jc Beall (vedi letture suggerite).

c. Requisiti perché una logica sia paraconsistente

Tutti gli approcci alla paraconsistenza cercano relazioni di inferenza che non esplodano. A volte questo si ottiene tornando alle origini, sviluppare idee nuove e potenti sul significato della conseguenza logica, e verificare che queste idee non portino naturalmente all'esplosione (per esempio. logica della pertinenza, §3d). Più spesso la paracoerenza si ottiene osservando ciò che causa l'esplosione nell'inferenza classica, e semplicemente rimuovendone le cause. In entrambi i casi, ci sono alcuni vincoli chiave su una logica paracoerente che dovremmo considerare in anticipo.

Naturalmente,, il requisito principale è bloccare la regola dell'esplosione. Questa non è davvero una limitazione, poiché l'esplosione non è comunque prima facie valida. Ma non possiamo semplicemente rimuovere l’inferenza dell’esplosione dalla logica classica e ottenere automaticamente una logica paraconsistente. La ragione di ciò, e il principale, serio vincolo su una logica paraconsistente, fu scoperto da C. IO. Lewis negli anni Cinquanta. Supponiamo di avere sia A che ¬A come premesse. Se abbiamo A, allora abbiamo A o B, poiché una disgiunzione richiede solo che valga una delle sue disgiunte. Ma poi, dato ¬A, sembra che abbiamo B, poiché se A o B, ma non A, poi B. Perciò, da A e ¬A, abbiamo dedotto B. Il problema è che B è completamente arbitrario: un’assurdità. Quindi se non è valido dedurre tutto da una contraddizione, allora questa regola, chiamato sillogismo disgiuntivo,

A∨B, ¬A ⊢ B,

deve essere non valido, pure.

Ci sono due cose da notare riguardo al fallimento del sillogismo disgiuntivo (DS).

Primo, potremmo dire che la logica classica incontra dei problemi quando si tratta di situazioni incoerenti. Questo è qualcosa di simile al modo in cui la fisica newtoniana fa previsioni sbagliate quando si tratta della struttura su larga scala dello spazio-tempo. E così allo stesso modo, poiché la fisica newtoniana è ancora sostanzialmente accurata e applicabile a domini di medie dimensioni, possiamo dire che la logica classica è ancora accurata e appropriata in domini coerenti. Per risolvere i puzzle di sudoku, pagare le tasse, o risolvere misteri di omicidio, non c'è niente di sbagliato nel ragionamento classico. Per oggetti esotici come contraddizioni, Anche se, logica classica in impreparato.

In secondo luogo, poiché DS è un'inferenza classica valida, possiamo vedere chiaramente che una logica paraconsistente convaliderà meno inferenze rispetto alla logica classica. (Nessuna deduzione classicamente non valida diventerà valida a causa di informazioni incoerenti.) L’idea è proprio questa: che la logica classica permetta troppo, e soprattutto data la possibilità di incoerenza, dobbiamo essere più discriminanti. Ciò viene talvolta espresso dicendo che le logiche paraconsistenti sono “più deboli” della logica classica; ma poiché le logiche paraconsistenti sono più flessibili e si applicano a più situazioni, non dobbiamo concentrarci troppo sullo slang. La logica classica è per molti versi più limitata della logica paraconsistente (vedere §4c.).

Un terzo punto, che riprenderemo nel §3d, è che dimostra l'invalidità del DS, essenzialmente, che l’inferenza fondamentale del modus ponens sia valida in tutte le situazioni, abbiamo bisogno di un nuovo connettivo logico per l'implicazione, non definito in termini di disgiunzione e negazione. Ora passiamo ad alcuni sistemi di paracoerenza deboli e forti.

3. Scuole di logica paraconsistente
UN. Logica discorsiva

La prima logica paraconsistente è stata sviluppata da Jaśkowski, uno studente di Lukasiewicz, in Polonia nel 1948. Ha fornito alcuni criteri di base per una logica paraconsistente:

Trovare un sistema di calcolo sentenziale quale:
1) se applicati a sistemi contraddittori non ne comporterebbe la banalità;
2) sarebbe sufficientemente ricco da consentire un’inferenza pratica;
3) avrebbe una giustificazione intuitiva.

Per soddisfare i suoi criteri, L’idea di Jaśkowski è immaginare un gruppo di persone che discutono, alcuni dei quali sono in disaccordo tra loro. Una persona afferma: “La ricchezza dovrebbe essere distribuita equamente tra tutte le persone”, dice un’altra persona, 'NO, non dovrebbe; ognuno dovrebbe avere solo quello che guadagna”. Il gruppo nel suo insieme si trova ora in uno stato informativo incoerente. Affrontiamo tali stati in ogni momento: leggere articoli di notizie, blog, e pezzi d'opinione, prendiamo in considerazione le contraddizioni (anche se ogni articolo è internamente coerente, il che è insolito). Come ragionare su informazioni contrastanti come questa?

L’idea di Jaśkowski è quella di evitare che le informazioni incoerenti si mescolino. Lo fa, in effetti, bloccando la regola dell’aggregazione:

UN, B ⊢ A & B.

Lo dice questa regola, dati due locali A e B, possiamo congiungerli in un'unica affermazione, (UN & B). Se la regola dell'aggregazione viene rimossa, allora possiamo avere A e ¬A, senza derivarne una vera e propria contraddizione A & ¬A. Le informazioni sono mantenute separate. Su questo approccio, la regola classica dell'esplosione in realtà può ancora valere, nella forma

UN & ¬A ⊢ B.

Lo scopo di questo approccio non è prevenire l’esplosione a livello della sentenza, ma piuttosto per garantire che nessuna frase contraddittoria (al contrario delle frasi incoerenti) potrà mai sorgere. Pertanto, è possibile dare un senso coerente all’incoerenza derivante dalle diverse parti in disaccordo, una persona che è internamente contraddittoria è ancora considerata assurda.

Nel 1974, Rescher e Brandom hanno suggerito un approccio molto simile, in termini di mondi. Come ha sottolineato Belnap, l'idea non aggiuntiva ha ovvie applicazioni all'informatica, ad esempio quando un sistema memorizza una grande quantità di dati di polling.

b. Conservazionismo

Intorno al 1978, i logici canadesi Schotch e Jennings hanno sviluppato un approccio alla logica modale e alla paracoerenza che ha alcune strette affinità con l'approccio della discussione. Il loro approccio è ora noto come scuola conservazionista. L'idea fondamentale è questa, data una raccolta incoerente di locali, non dovremmo cercare di ragionare sull'insieme dei locali, ma piuttosto concentrarsi su sottoinsiemi di premesse internamente coerenti. Come le logiche di discussione, i conservazionisti vedono un'importante distinzione tra un set di dati incoerente, Piace

{UN, ¬A},

che è considerato trattabile, contro una vera e propria contraddizione come

UN & ¬A,

che è considerato senza speranza. L'intera idea è riassunta in una parafrasi di Gillman Payette, un importante contributore al programma conservazionista:

Domanda: Come si ragiona partendo da un insieme di premesse incoerenti??
Risposta: Tu no, poiché ogni formula segue in quel caso. Ragioniamo partendo da sottoinsiemi coerenti di premesse.

I conservazionisti iniziano con una logica X già definita, solitamente logica classica. Affermano che noi, come esseri umani fallibili, semplicemente a volte sono "bloccati con dati errati"; e questo è il caso, è necessaria una sorta di riparazione sulla logica X per assicurare la coerenza. I conservazionisti definiscono il livello di un insieme di premesse come il numero minimo di celle in cui l’insieme deve essere diviso affinché ogni cella sia internamente coerente. Quindi definiscono una relazione di inferenza, chiamata forzatura, in termini della logica X, come segue:

Un insieme di enunciati Γ forza A se e solo se esiste almeno un sottoinsieme Δ di Γ tale che A sia un'inferenza X-valida da Δ.

La forzatura preserva il livello di Γ. Se c'è qualche consistenza da preservare, forzare garantisce che le cose non diventino più incoerenti. In particolare, se un set di dati è incoerente ma non contiene contraddizioni a frase singola, allora la relazione forzante è paraconsistente.

A parte le applicazioni paraconsistenti, e radici nella logica modale, i conservazionisti hanno recentemente dimostrato alcuni teoremi profondi sulla logica più in generale. Payette ha mostrato, Per esempio, che due logiche sono identiche se e solo se assegnano a qualsiasi insieme di frasi lo stesso livello.

Deviazione: Pezzo e permeato

Strettamente correlata al paradigma conservazionista è una tecnica chiamata Chunk and Permeate, sviluppato da Bryson Brown e Graham Priest per spiegare il primo calcolo differenziale di Newton e Leibniz (vedi matematica incoerente). È noto che i primi calcoli comportavano contraddizioni di qualche tipo, in particolare, numeri infinitesimi che talvolta sono identici a zero, e altre volte di quantità diversa da zero. Brown e Priest mostrano come ragionare sugli infinitesimi (e le relative nozioni di derivati) si può fare in modo coerente, suddividendo il ragionamento in “pezzi” coerenti,’ e definendo ‘permeazioni’ attentamente controllate tra i pezzi. Le permeazioni mostrano come una quantità sufficiente ma non eccessiva di informazioni possa passare da un blocco all'altro, e ricostruire così come si possa ottenere una soluzione matematica corretta da dati apparentemente incoerenti.

c. Logica adattiva

Prendendo come punto di partenza esempi applicati dal ragionamento scientifico, il programma di logica adattiva considera sistemi in cui le stesse regole di inferenza possono cambiare man mano che si procede. Le logiche sono dinamiche. Nelle logiche dinamiche, le regole di inferenza cambiano in funzione di ciò che è stato derivato fino a quel momento, e così alcune frasi che erano derivabili in un dato momento non lo sono più, e viceversa. Il programma è stato sviluppato da Dederik Batens e dalla sua scuola a Gand.

L’idea è che i nostri impegni possano comportare una convinzione che tuttavia rifiutiamo. Questo perché, come esseri umani, la nostra conoscenza non è chiusa in una conseguenza logica e quindi non siamo pienamente consapevoli di tutte le conseguenze dei nostri impegni. Quando ci troviamo di fronte ad un problema, potrebbero esserci due tipi di dinamiche in atto. Nelle dinamiche esterne, una conclusione può essere ritirata alla luce di alcune nuove informazioni; le logiche in cui ciò è consentito sono dette non monotone. Le dinamiche esterne sono ampiamente riconosciute e sono importanti anche per il programma conservazionista. Nelle dinamiche interne, le premesse stesse possono portare al ritiro della conclusione. Questo tipo di dinamica è meno riconosciuta e rientra più propriamente nell’ambito della paracoerenza. A volte, ricaviamo una conseguenza che successivamente rifiutiamo, senza modificare le nostre convinzioni.

I sistemi adattivi funzionano riconoscendo le anomalie, e l’implementazione di strategie formali. Entrambe queste nozioni sono definite specificamente per il compito da svolgere; per esempio, un'anomalia potrebbe essere un'incoerenza, oppure potrebbe essere un'inferenza induttiva, e una strategia potrebbe essere quella di eliminare una riga di una dimostrazione, o per modificare una regola di inferenza. La logica paraconsistente di base studiata dalla scuola adattiva si chiama CLuN, il che è tutto positivo (privo di negazioni) frammento della logica classica, più la legge del medio escluso A ∨ ¬A.

d. Rilevanza

La logica rilevante non riguarda fondamentalmente questioni di coerenza e contraddizione. Invece la motivazione principale della logica rilevante è questa, affinché un argomento sia valido, le premesse devono avere un collegamento significativo con la conclusione. Per esempio, inferenze classiche come

B ⊢ A ⊃ B,

o

¬(A ⊃ B) ⊢A,

Sembra che i logici di rilevanza falliscano come inferenze logiche decenti. Il requisito che le premesse siano rilevanti per la conclusione fornisce come sottoprodotto una relazione di inferenza paracoerente, poiché in ogni contraddizione, le premesse A e ¬A non hanno nulla a che fare con una conclusione arbitraria B. La logica rilevante inizia con Ackermann, ed è stato adeguatamente sviluppato nel lavoro di Anderson e Belnap. Molti dei fondatori della logica rilevante, come Robert Meyer e Richard Routley, sono stati anche direttamente interessati alla paracoerenza.

Dal nostro punto di vista, uno degli aspetti più importanti della logica rilevante è che fornisce un connettivo di implicazione che obbedisce al modus ponens, anche in situazioni incoerenti. Nel §2b, abbiamo visto che il sillogismo disgiuntivo non è paraconsistentemente valido; e così in ogni logica in cui l'implicazione è definita dalla negazione e dalla disgiunzione, impostandolo non valido, pure. Cioè,

A ⊃ B := ¬A ∨ B

no, come abbiamo visto sopra nel §2b, definire un condizionale che obbedisce

UN, A ⊃ B ⊢ B.

Nell'argot, diciamo che "il gancio non è staccabile" o "ponenable". Nella logica pertinente, l'implicazione A → B non è affatto definita con connettivi vero-funzionali, ma piuttosto è definito assiomaticamente o semanticamente (con mondi o semantica algebrica). Vado da questa parte, si può avere un connettivo di implicazione molto robusto, in cui non vale solo il modus ponens,

A→B, UN; pertanto, B.

Si ottengono altre inferenze ampiamente utilizzate, pure. Ne citiamo solo alcuni che implicano la negazione in modi che potrebbero sembrare sospetti da un punto di vista paraconsistente. Possiamo avere contrapposizione

A → B ⊢ ¬B → ¬A,

che ci dà il modus tollens

A→B, ¬B ⊢ ¬A.

Con la legge di non contraddizione¬(UN & ¬A), questo ci dà una reductio ad assurdo, in due forme,

A→ (B & ¬B) ⊢ ¬A,

A → ¬A ⊢ ¬A,

e le conseguenze sono meravigliose:

¬A → A ⊢ A.

Evidentemente la freccia in questione restituisce molta potenza apparentemente perduta nell’invalidità del sillogismo disgiuntivo.

Esistono numerose logiche rilevanti che differiscono per forza. Si possono eliminare le leggi di non contraddizione e del terzo escluso, dando una logica paraconsistente coerente molto debole chiamata B (per base). Oppure si possono aggiungere potenti principi di negazione come abbiamo appena visto sopra per logiche incoerenti ma non banali. L’approccio rilevante fu utilizzato nel tentativo di Meyer di fondare un’aritmetica paraconsistente in una logica chiamata R# (vedi matematica incoerente). È stato utilizzato anche da Brady per la teoria ingenua degli insiemi (§4c), e, più recentemente, Beall per la teoria della verità. D'altra parte, le logiche rilevanti convalidano meno implicazioni rispetto alla logica classica; affinché A→B sia valido, abbiamo ulteriori requisiti di rilevanza oltre alla preservazione della verità in tutte le circostanze possibili. Per questo motivo, è spesso difficile riconquistare in una logica rilevante alcuni dei ragionamenti matematici classici. Ritorneremo su questo problema nel §4c più avanti.

e. Logiche dell'incoerenza formale

Uno dei primi pionieri della logica paraconsistente fu Newton C. UN. da Costa in Brazil, negli anni '50. Gli interessi di Da Costa si sono concentrati principalmente sulla matematica paraconsistente (con applicazioni alla fisica), e il suo atteggiamento nei confronti della paracoerenza è di mentalità più aperta rispetto ad altri che abbiamo visto. Da Costa considera lo studio di teorie incoerenti ma non banali affine allo studio della geometria non euclidea. È stato un sostenitore della paracoerenza non solo per i suoi vantaggi pragmatici, ad esempio nella ricostruzione del calcolo infinitesimale, ma anche come indagine della nuova struttura fine a se stessa. Fornisce le seguenti linee guida metodologiche:

In questi calcoli, il principio di contraddizione non dovrebbe essere generalmente valido;
Da due affermazioni contraddittorie non dovrebbe in generale essere possibile dedurre alcuna affermazione;
L'estensione di questi calcoli ai calcoli di quantificazione dovrebbe essere immediata.

Si noti che il primo principio di da Costa non è come tutti quelli che abbiamo visto finora, e il suo terzo è più ambizioso di altri. Il suo sistema principale è una gerarchia infinita di logiche note come sistemi C.

L'idea principale dei sistemi C è quella di tenere traccia delle frasi che sono coerenti e di trattarle in modo diverso rispetto alle frasi che potrebbero essere incoerenti.. Seguendo questo metodo, Prima di tutto, significa che la logica stessa riguarda l’incoerenza. La logica può modellare il modo in cui una persona può o dovrebbe ragionare su informazioni incoerenti. In secondo luogo, questo ci fornisce un modo basato su principi per rendere la nostra logica paraconsistente il più simile possibile alla logica classica: Quando tutte le frasi sono contrassegnate come coerenti, su di essi si può tranquillamente ragionare in modo classico, Per esempio, utilizzando il sillogismo disgiuntivo.

Per far funzionare tutto questo, cominciamo con una logica di base, chiamato C(0). Quando una frase A si comporta in modo coerente in C(0), lo contrassegniamo secondo questa definizione:

A0 := ¬(UN & ¬A).

Poi, si può definire una sorta di negazione forte:

-UN := ¬A & A0.

Ad essa si aggiunge la logica con questi due connettivi, chiamiamo C(1). Nel C(1) allora possiamo avere deduzioni come

¬A ∨ B, UN, A0 ⊢ B.

E allo stesso modo in cui siamo arrivati ​​a C(1), potremmo andare avanti e definire una logica C(2), con un operatore A1 = (A0)0, ciò significa qualcosa come "si comporta in modo coerente in C".(1)'. I sistemi C continuano fino al primo ordinale transfinito, C(OH).

Più recentemente, un'ampia generalizzazione dei sistemi C è stata sviluppata da Carnielli, Marcos, e altri, chiamata logica dell’incoerenza formale. I sistemi C di Da Costa sono una sottoclasse (anche se importante) della famiglia molto più ampia degli LFI. I sistemi C sono proprio gli LFI in cui la coerenza può essere espressa come un operatore unario.

Queste logiche sono state utilizzate per modellare alcune matematiche reali. Gli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel e alcuni postulati sull'identità (=) può essere aggiunto a C(1), così come possono esserlo gli assiomi che asseriscono l'esistenza di un insieme universale e di un insieme di Russell. Ciò produce un risultato incoerente, teoria degli insiemi non banale. Arruda e Batens hanno ottenuto alcuni primi risultati in questa teoria degli insiemi. Lavora in aritmetica, calcolo infinitesimale, e la teoria dei modelli è stata sviluppata anche da da Costa e dai suoi studenti.

Un’idea trainante della paracoerenza di da Costa è che la legge di non contraddizione ¬(UN & ¬A) non dovrebbe valere a livello proposizionale. Questo è, filosoficamente, come funziona il suo approccio: ¬(UN & ¬A) non è vero. A parte alcune logiche deboli e pertinenti, questa è una caratteristica unica dei sistemi C (tra logiche paraconsistenti). In altre scuole come le scuole di discussione e conservazioniste, la non contraddizione vale non solo a livello delle frasi, ma come regola normativa; e nella prossima scuola che consideriamo, la non contraddizione è falsa, ma è anche vero.

f. Dialetismo

Il miglior motivo per studiare la paracoerenza, e usarlo per sviluppare teorie, lo sarebbe se nel mondo ci fossero effettivamente delle contraddizioni (al contrario delle nostre credenze o teorie). Cioè, se si scopre che la descrizione migliore e più vera del mondo contiene alcune incoerenze, allora la paracoerenza non è solo richiesta, ma è in un certo senso naturale e appropriato. “Dialeteismo” è un neologismo che significa verità a doppio senso ed è la tesi secondo cui alcune frasi sono sia vere che false, allo stesso tempo e nello stesso modo. Il dialeteismo è particolarmente motivato come risposta al paradosso del bugiardo e alle antinomie teoretiche degli insiemi come il paradosso di Russell, ed è stato introdotto da Richard Routley e Graham Priest in Australia negli anni '70. Priest continua ad essere il sostenitore più noto.

Una logica dialeteica è più facile da comprendere come una logica dai molti valori. Questo non è l’unico modo per comprendere il dialeteismo, e la logica che stiamo per considerare non è l'unica logica che un dialeteista potrebbe utilizzare. Il dialeteismo non è una logica. Ma ecco un modo semplice per introdurre il concetto. Oltre ai valori di verità vero e falso, le frasi possono anche essere entrambe le cose. Questo terzo valore è un po’ insolito, Forse, ma semplice: se una frase A è entrambe le cose, allora A è vero, e A è falso, e viceversa. L’applicazione più diretta del valore di verità “entrambi” è la logica del paradosso di Priest, o LP. In LP i connettivi logici standard hanno una semantica naturale, che può essere dedotto seguendo il principio secondo cui una frase è designata se e solo se è almeno vera, cioè. solo se è vero, o sia vero che falso. Se

¬A è vero quando A è falso,

e

¬A è falso quando A è vero,

Per esempio, Poi

¬A è entrambi se e solo se A è entrambi.

Quindi la negazione incoerente è qualcosa come un punto fisso. Un argomento è valido in LP se e solo se non è possibile che la conclusione sia completamente falsa ma che tutte le premesse siano almeno vere. Cioè, supponiamo di avere premesse che sono tutte vere o entrambe. Se l'argomento è valido, allora anche la conclusione è almeno vera.

Nell'LP, qualsiasi frase della forma ¬(UN & ¬A) è sempre vero, e anche alcuni casi sono talvolta falsi. Quindi la legge di non contraddizione è essa stessa una dialetheia – lo schema ¬(UN & ¬A) è universale ma ha anche controesempi e inoltre, il dialeteismo dice di sé che è allo stesso tempo vero e falso. (L’affermazione “ci sono vere contraddizioni” è sia vera – ce ne sono alcune – sia falsa – tutte le contraddizioni sono false.) Questo può sembrare strano, ma è opportuno, date le origini del dialeteismo nel paradosso del bugiardo.

LP utilizza solo connettivi estensionali (e, o, non) e quindi non ha condizionale separabile. Se si aggiunge a LP un condizionale separabile, Poi, data la sua semantica, l'estensione più naturale di LP ad una logica con un connettivo di implicazione è la logica chiamata RM3. Purtroppo, questa logica non è appropriata per la teoria ingenua degli insiemi o per la teoria della verità (vedere §4c.ii). Se a LP viene aggiunto un quarto valore di verità neutro, la logica viene indebolita al sistema dell'implicazione di primo grado della FDE. Nella FDE, l'inferenza

B ⊢ LA ∨ ¬A

non è valida più di quanto lo sia l’esplosione. Questo ha un senso, poiché se il primo è invalido in quanto non rappresenta un ragionamento effettivo, allora quest'ultimo dovrebbe non essere valido, pure, poiché la premessa non “porta” alla conclusione. Per questo motivo, La FDE non ha teoremi, della forma ⊢ A, affatto.

4. Applicazioni

Una logica paraconsistente diventa utile quando ci troviamo di fronte a incoerenze. Le motivazioni e le applicazioni della paracoerenza derivano da situazioni che sono plausibilmente incoerenti, cioè, situazioni in cui l’incoerenza non è semplicemente dovuta a errori di distrazione o confusione, ma piuttosto un'incoerenza che non viene facilmente dissipata nemmeno con una riflessione attenta e concentrata. Uno studente che commette un errore aritmetico non ha bisogno di una logica paraconsistente, ma piuttosto tutorial più aritmetici (anche se vedi matematica incoerente). D'altra parte, le persone nelle seguenti situazioni possono rivolgersi a un kit di strumenti paraconsistenti.

UN. Dilemmi morali

Una madre dà alla luce due gemelli siamesi identici (in un esempio dovuto a Helen Bohse). I medici valutano rapidamente se i gemelli non vengono separati chirurgicamente, allora nessuno dei due sopravvivrà. Tuttavia, i medici sanno anche che solo uno dei bambini può sopravvivere all’intervento. I bambini sono completamente identici sotto tutti gli aspetti. Sembra moralmente obbligatorio salvare la vita di uno a scapito dell'altro. Ma perché non c'è nulla che possa aiutare a scegliere quale bambino, sembra anche moralmente sbagliato lasciare morire un bambino piuttosto che un altro. Abbastanza plausibile, questo è un dilemma morale insolubile con premesse sulla forma in cui dovremmo salvare il bambino a sinistra, e, mediante un ragionamento simmetrico sul bambino a destra, inoltre non dovremmo salvare il bambino a sinistra. Tecnicamente questa non è ancora una contraddizione, ma a meno che non vengano prese alcune precauzioni logiche, è una situazione tragica sull’orlo del disastro razionale.

Un dilemma morale assume la forma O(UN) e O(¬A), che è obbligatorio fare A ed è obbligatorio fare ¬A. Nella logica deontica standard – una logica degli obblighi morali – possiamo passare dal dilemma morale all’esplosione morale come segue (vedere Routley e Plumwood 1989). Primo, obblighi “aggregati”:

O(UN), O(¬A) ⊢O(UN & ¬A).

Prossimo, notare che l'A & ¬A è equivalente a (UN & ¬A) & B. (‘Equivalente’ qui può significare classicamente, o nel senso di C. IO. L’implicazione rigorosa di Lewis.) Così

O(UN & ¬A) ⊢O((UN & ¬A) & B)

Ma O((UN & ¬A) & B) ⊢O(B). Quindi abbiamo dimostrato da obblighi incoerenti O(UN), O(¬A), quello O(B), che qualsiasi cosa è obbligatoria, secondo lo standard, sistemi non paraconsistenti.

Una logica deontica paraconsistente può seguire qualunque scuola abbiamo già visto. Una soluzione paraconsistente standard è seguire l’approccio non aggiuntivo di Jaśkowski e dei conservazionisti. Si può bloccare la regola dell'aggregazione modale, in modo che sia O(UN), O(¬A) può valere senza implicare O(UN & ¬A).

In alternativa, si potrebbe negare che A & ¬A è strettamente equivalente a (UN & ¬A) & B, adottando una logica (come una logica rilevante) in cui tale equivalenza fallisce. Intraprendendo questa strada, ci imbatteremmo allora nel principio della coerenza deontica,

O(UN) ⊢P(UN),

che se dovessi fare A, allora è lecito fare A. (Non sei obbligato a non fare A.) Di conseguenza, da O(UN & ¬A), otteniamo P(UN & ¬A). Se avessimo l'ulteriore assioma che le azioni incoerenti non sono consentite, allora ora avremmo una vera e propria incoerenza, P(UN & ¬A) e ¬P(UN & ¬A). Se la riduzione è consentita, allora sembreremmo avere anche obblighi tali che O(UN) e ¬O(UN). Questa mossa richiama l’attenzione su quali obblighi siano coerenti. Si potrebbe rinunciare alla coerenza deontica, per cui A è obbligatorio senza necessariamente essere lecito. Oppure si potrebbe ragionare così, per quanto strane possano sembrare azioni incoerenti, non vi è alcuna ragione ovvia per cui dovrebbero essere inammissibili. Il risultato sarebbero affermazioni strane ma innocue della forma P(UN & ¬A).

Un principio ancora più forte della coerenza deontica è il detto kantiano secondo cui “il dovere implica il potere”.,’, dove ‘può’ significa possibilità fondamentale. La massima di Kant converte i dilemmi morali in contraddizioni esplicite. Ciò sembra escludere i dilemmi morali, poiché non è possibile, per esempio., sia per salvare che per non salvare un bambino dall'esempio dei nostri gemelli siamesi, non è obbligatorio salvare uno dei due bambini, apparenze contrarie. Quindi un’opzione per il logico deontico paraconsistente è quella di negare il detto di Kant. Forse abbiamo obblighi irrealizzabili; Infatti, questa sembra essere l'intuizione dietro i dilemmi morali. Una conseguenza del negare la massima di Kant è questa, A volte, inevitabilmente sbagliamo.

Più liberamente, si può tenere tutto e accettare che a volte sia possibile un'azione incoerente. Per esempio, se stipulo un contratto con te, romperò proprio questo contratto, poi rompo il contratto se e solo se lo mantengo. Firmando, Sto eo ipso rompendo e non rompendo il contratto. Generalmente, Anche se, come si possano fare sia A che la sua negazione è una questione che va oltre la portata della logica.

b. Legislazione, Scienza, e revisione

Considera un paese con le seguenti leggi (in un esempio tratto da Priest 2006, cap. 13):

(1) Nessun popolo non caucasico avrà diritto di voto.
(2) Tutti i proprietari terrieri hanno diritto di voto.

Come succede, Anche se, Phil non è caucasico, e possiede una piccola azienda agricola. Le leggi, così come stanno, sono incoerenti. Un giudice potrebbe vedere in ciò la necessità di imporre un’ulteriore legge (per esempio. i non caucasici non possono possedere terreni) o rivedere una delle leggi attuali. In entrambi i casi, Anche se, la legge così com'è deve essere trattata in modo discriminante. Fondamentalmente, lo sfondo inferenziale delle leggi attuali non sembra consentire né comportare l'anarchia totale.

Allo stesso modo, nella scienza riteniamo vero un certo insieme di leggi. Fa parte del processo scientifico che queste leggi possano essere riviste, aggiornato, o addirittura rifiutato completamente. Il processo di tale progresso richiede ancora una volta che le contraddizioni non si risolvano con un collasso sistemico. Attualmente, sembra estremamente probabile che diversi rami della scienza siano incoerenti tra loro o addirittura all'interno della stessa disciplina, come avviene nella fisica teorica con la relatività e la meccanica quantistica. Questa situazione rende la scienza assurda?

c. Teorie chiuse: verità e insiemi

Chiusura concettuale significa tenere pienamente conto di ciò che è in studio. Supponiamo, Per esempio, stiamo studiando la lingua. Effettuiamo il nostro studio utilizzando la lingua. Una teoria chiusa dovrebbe rendere conto del nostro stesso studio; il linguaggio della teoria dovrebbe includere termini come “linguaggio”, 'teoria', 'VERO', e così via. In modo più espansivo, una teoria del tutto includerebbe la teoria stessa. Forse il modo più semplice per comprendere la natura di una teoria chiusa è attraverso un'osservazione di Wittgenstein, la prefazione al suo Tractatus: «Per porre un limite al pensiero, si dovrebbero trovare pensabili entrambi i lati del limite.’ Priest ha sostenuto che la problematica della chiusura può essere vista nelle filosofie di Kant e Hegel, così come nel precedente pensiero greco e medievale, e continua nelle filosofie postmoderniste. Come è stato scoperto nel XX secolo, le teorie formali chiuse sono altamente soggette a essere incoerenti, perché estremamente favorevoli all’autoreferenzialità e alla diagonalizzazione (vedi paradossi logici).

Per i logici, la più importante delle teorie chiuse, suscettibile di autoreferenzialità, sono di verità e insiemi. Produrre teorie chiuse della verità e insiemi utilizzando la paracoerenza lo è, almeno per cominciare, semplice. Considereremo due casi paradigmatici, seguiti da alcuni dettagli su come possono essere perseguiti.

io. Assiomi ingenui

Nella logica moderna presentiamo formale, descrizioni matematiche di come le frasi sono vere e false, per esempio. (UN & B) è vero se e solo se A è vero e B è vero. Questa di per sé è un'affermazione razionale, presumibilmente governato da una qualche logica e quindi esso stesso suscettibile di studio formale. Ragionarci logicamente, dovremmo studiare il predicato di verità, “x è vero”. Un’analisi del concetto di verità che è quasi troppo evidentemente corretta è lo schema

T('UN') e se A.

Sembra così ovvio... finché (anche quando?) una frase come

Questa frase del PEI è falsa,

un paradosso bugiardo che porta a una contraddizione, cade dall'altra parte. Una logica paraconsistente può essere utilizzata per una teoria della verità in cui viene mantenuto lo schema di verità, ma dove la derivazione del paradosso è bloccata (eliminando la legge del terzo escluso) oppure la contraddizione non è esplosiva.

Nella moderna teoria degli insiemi, allo stesso modo, comprendiamo gli oggetti matematici come costruiti a partire da insiemi, dove ogni insieme è esso stesso costruito a partire da insiemi prestabiliti. L'immagine risultante è la gerarchia iterativa degli insiemi. Il problema è che la gerarchia iterativa stessa è un oggetto matematicamente definito, ma non può risiedere esso stesso nella gerarchia. Una teoria chiusa degli insiemi includerà oggetti come questo, partendo da un'analisi del concetto di insieme che è quasi troppo evidentemente corretta: lo schema di comprensione ingenuo,

x è un membro di {si: UN(si)} e se A(X).

Un modo per capire cosa significa comprensione ingenua è prenderlo come affermazione: qualsiasi raccolta di oggetti è un insieme, che è esso stesso un oggetto. È possibile studiare la teoria ingenua degli insiemi, ed è stato, con logiche paraconsistenti; vedi matematica incoerente. Contraddizioni come l'esistenza di un insieme di Russell {si: y non è un membro di y} sorgono ma sono semplicemente teoremi: parti naturali della teoria; non fanno esplodere la teoria.

ii. Ulteriori restrizioni logiche

Sia per la teoria ingenua della verità che per la teoria ingenua degli insiemi, c'è un'ulteriore ed estremamente importante restrizione sulla logica. Una logica per questi schemi non può convalidare la contrazione,

Se (se A allora (se A allora B)), Poi (se A allora B).

Questa restrizione è dovuta al paradosso di Curry, che è una forma più forte del paradosso del bugiardo. Dice una frase di Curry

Se questa frase è vera, allora è tutto vero.

Se la sentenza Curry, chiamalo C, viene inserito nello schema della verità, allora tutto segue il principio di contrazione:

1) T('C') eff (se t('C') poi tutto). [schema della verità]
2) Se t('C') Poi (se t('C') poi tutto). [da 1]
3) Se t('C') poi tutto. [da 2 per contrazione]
4) T('C') [modalità di impostazione su 1, 3]
5) Qualunque cosa. [modalità di impostazione su 3, 4]

Poiché non tutto è vero, se lo schema T è corretto la contrazione non è valida. Per la teoria degli insiemi, analogamente, il set di curry lo è

C = {X: Se x è membro di x, allora è tutto vero},

e un argomento simile stabilisce la banalità.

Come fu scoperto più tardi da Dunn, Meyer e Routley mentre studiavano la teoria ingenua degli insiemi nella logica pertinente, la frase

(UN & (A→B)) →B

è anche una forma di contrazione, e quindi allo stesso modo non deve essere consentito. (Sia A una frase di Curry e B l'assurdità.) Chiamando questa frase (schema) invalid è diverso dal modus ponens di blocco, che è una deduzione, convalidato da una regola. La frase di cui sopra, Nel frattempo, è proprio questo – una frase – e noi stiamo dicendo se tutte le sue istanze sono vere oppure no. Se la verità ingenua e le teorie degli insiemi sono coerenti, esempi di questa frase non sono sempre veri, anche quando l'impostazione della modalità è valida.

La logica LP non soddisfa la contrazione e quindi in essa può essere incorporata una verità dialeteica o una teoria degli insiemi. Alcune contraddizioni fondamentali, come il paradosso del bugiardo e il paradosso di Russell, ottenere, così come alcune operazioni fondamentali. Perché LP non ha condizionale, Anche se, non si va molto lontano. La maggior parte delle altre logiche paraconsistenti non sono in grado di gestire la teoria ingenua degli insiemi e la teoria ingenua della verità come affermato qui. Un problema difficile (forte) paraconsistenza, Poi, è come formulare il “se e se” nei nostri schemi ingenui, e in generale come formulare un condizionale adeguato. I candidati più promettenti fino ad oggi sono state le logiche rilevanti, anche se, come abbiamo visto, esistono limitazioni rigorose.

d. Apprendimento, Credenze, e l'intelligenza artificiale

È stato svolto del lavoro per applicare la paracoerenza alla modellazione della cognizione. L'idea principale qui è che le limitazioni al ragionamento della macchina come (apparentemente) dettati dai teoremi di incompletezza di Gödel non reggono più. Ciò che questo ha a che fare con la cognizione di per sé è oggetto di dibattito, e quindi la maggior parte delle applicazioni della paracoerenza all’epistemologia sono ancora piuttosto speculative. Vedi Berto 2009 per una recente introduzione all'area.

Tanaka ha mostrato come una macchina ragionante paraconsistente riveda le sue convinzioni in modo diverso da quanto suggerito dalla teoria più ortodossa ma altamente idealizzata di Alchourrón-Gärdenfors-Makinson. Quest’ultima teoria prevalente della revisione delle credenze sostiene che insiemi di credenze incoerenti sono impossibili. Macchine per ragionare paraconsistenti, Nel frattempo, sono ragionatori situati, in insiemi di credenze (Dire, acquisito semplicemente attraverso l’istruzione) che a volte può essere incoerente. La coerenza è solo uno dei criteri di adeguatezza epistemica, tra gli altri: la semplicità, unità, potere esplicativo, eccetera. Se questo è giusto, la nozione di apprendimento ricorsivo potrebbe essere estesa, per gettare nuova luce sull’acquisizione della conoscenza, risoluzione dei conflitti, e riconoscimento di modelli. Se la mente è in grado di ragionare sulla contraddizione senza assurdità, allora le macchine paraconsistenti potrebbero essere maggiormente in grado di modellare la mente.

Logiche paraconsistenti sono state applicate dagli informatici nell'architettura software (anche se questo va oltre le competenze del presente autore). Che la paracoerenza potrebbe avere ulteriori applicazioni alla teoria del calcolo è stata esplorata da Jack Copeland e Richard Sylvan. Copeland ha sostenuto in modo indipendente che esistono procedure efficaci che vanno oltre la capacità delle macchine di Turing. Silvestre (precedentemente Routley) postulò inoltre la possibilità di macchine dialetiche, programmi in grado di calcolare le proprie funzioni decisionali. In linea di principio, questa è una possibilità. La non computabilità delle funzioni decisionali, e l’irrisolvibilità del problema dell’arresto, sono entrambi dimostrati mediante riduzione all'assurdo: se esistesse una procedura decisionale universale, avrebbe alcune contraddizioni come output. Classicamente, questo è stato interpretato nel senso che non esiste tale procedura. Ma, suggerisce Silvano, c'è di più in cielo e in Terra di quanto si possa sognare nelle teorie classiche del calcolo.

5. Conclusione

La paracoerenza può essere interpretata minimamente come la dottrina secondo cui non tutto è vero, anche se ci sono alcune contraddizioni. La maggior parte dei logici paraconsistenti aderisce a opinioni sull’estremità più mite dello spettro; la maggior parte dei logici paraconsistenti sono in realtà molto più conservatori di quanto potrebbe suggerire un insulto come quello del “logico deviante” di Quine.. D'altra parte, prendere sul serio la paracoerenza significa, a un certo livello, prendere sul serio l’incoerenza, qualcosa che una persona dalla mentalità classica non farà. Si è quindi pensato così, nella misura in cui la vera incoerenza è un pensiero sgradito, folle, Cattivo, ed è pericoloso da conoscere: la paracoerenza potrebbe essere una sorta di porta verso dottrine più oscure. Dopotutto, una volta che si è capito razionalmente che dati incoerenti possono ancora avere senso, Che cosa, Veramente, impedisce che i dati incoerenti siano veri? Questo è stato chiamato il pendio scivoloso dalla paraconsistenza debole a quella forte. Si noti che il pendio scivoloso, mentre proposto come pensiero attraente da chi è più propenso alla forte paracoerenza, potrebbe sembrare andare ancora oltre, lontano completamente dalla paracoerenza e verso la folle idea di banalismo: che tutto è davvero vero. Cioè, si ottengono contraddizioni, ma anche l'esplosione è ancora valida. Perché no?

Nessuno, paraconsistentista o meno, è un banalista. Né la paracoerenza è un invito al banalismo, anche se è una tentazione al dialeteismo. Per analogia, quando Hume sottolineava che non possiamo essere certi che il sole sorgerà domani, nessuno si preoccupò seriamente di questa possibilità. Ma la gente cominciò a interrogarsi sulla necessità delle “leggi della natura”, e nessuno ora può sedersi comodamente come prima che Hume ci svegliasse dal nostro sonno dogmatico. Lo stesso vale per la logica paraconsistente. In un certo senso, le logiche paraconsistenti possono fare molto di più delle logiche classiche. Ma nello studio della paracoerenza, paracoerenza particolarmente forte più vicina all'estremità dialeteica dello spettro, vediamo che ci sono molte cose che la logica non può fare. La logica da sola non può dirci cosa è vero o cosa è falso. Scrivere semplicemente la marcatura sintattica “A” non ci dimostra in alcun modo che A non può essere falso, anche se A è un teorema. Non esiste una tutela assoluta. Difendere la coerenza, o negare l'assurdità del banalismo, in definitiva non è solo compito della logica. Affermare la coerenza e negare l’assurdità è un atto, un lavoro per gli esseri umani.

6. Riferimenti e approfondimenti

È un po' datato, ma la “bibbia” della paracoerenza è ancora la prima grande raccolta sull’argomento:

Sacerdote, G., Rouley, R. & Normanno, J. eds. (1989). Logica paraconsistente: Saggi sull'incoerente. Casa editrice Filosofia.

Questo copre la maggior parte dei sistemi conosciuti, compresa la logica discorsiva e adattiva, con documenti originali dei fondatori. Ha anche una vasta storia di logica e filosofia paraconsistenti, e un articolo dei Routley sui dilemmi morali. Per lavori più recenti, vedi anche

Batens, D., Mortensen, C., Sacerdote, G., & Ho un paziente, J.-P. eds. (2000). Frontiere della logica paraconsistente. Ingombrare.
Berto, F. e Mares, E., Paoli, F., e Tanaka, K. eds. (2013). Il quarto congresso mondiale sulla paracoerenza, Springer.

Un'introduzione filosofica rotonda alle logiche non classiche, inclusa la paracoerenza, è dentro

Essere tutto, JC e Restall, Greg (2006). Pluralismo logico. la stampa dell'università di Oxford.

Introduzioni filosofiche alla paracoerenza forte:

Sacerdote, Graham (2006). In contraddizione: Uno studio sulla transcoerenza. la stampa dell'università di Oxford. Seconda edizione.
Sacerdote, Graham (2006). Dubitare della verità per essere un bugiardo. la stampa dell'università di Oxford.
Berto, Francesco (2007). Come vendere una contraddizione. Studi di logica vol. 6. Pubblicazioni universitarie.

Un dibattito più filosofico sulla forte paracoerenza si trova nell'eccellente raccolta

Prezzi, G., Essere tutto, JC e Armour-Garb, B. eds. (2004). La legge di non contraddizione. la stampa dell'università di Oxford.

Per il how-to tecnico delle logiche paraconsistenti:

Essere tutto, JC e van Frassen, Bas (2003). Possibilità e paradosso: Un'introduzione alle logiche modali e multivalore. la stampa dell'università di Oxford.
Gabby, Dov M. & Gunthner, F. eds. (2002). Manuale di logica filosofica. Seconda edizione, vol. 6, Ingombrare.
Sacerdote, Graham (2008). Un'introduzione alla logica non classica. Pressa dell'Università di Cambridge. Seconda edizione.

Per una recente introduzione al conservazionismo, Vedere

Schotch, P., Marrone, B. e Jennings, R. eds. (2009). Sulla conservazione: Saggi sul preservazionismo e sulla logica paraconsistente. Stampa dell'Università di Toronto.
Marrone, Bryson e il prete, Graham (2004). “Pezzo e permeato I: Il calcolo infinitesimale”. Giornale di logica filosofica 33, pp. 379–88.

Logiche dell'incoerenza formale:

W. UN. Carnielli e J. Marcos. Una tassonomia di C- sistemi. In paracoerenza: la via logica verso l'incoerente, Appunti delle lezioni di matematica pura e applicata, vol. 228, pp. 01–94, 2002.
W. UN. Carnielli, M. E. Coniglio e J. Marcos. Logiche dell'incoerenza formale. Nel Manuale di logica filosofica, vol. 14, pp. 15–107. Eds.: D. Gabby; F. Günthner. Springer, 2007.
da Costa, Newton C. UN. (1974). "Sulla teoria dei sistemi formali incoerenti". Notre Dame Journal of Formal Logic 15, pp. 497–510.
da Costa, Newton C. UN. (2000). Matematica paraconsistente. In Batens et al. (2000), pp. 165–180.
da Costa, Newton C. UN., Krause, Decio & buono, Ottavio (2007). "Logiche paraconsistenti e paracoerenza". A Jacquette, D. ed. Filosofia della logica (Manuale di filosofia della scienza), Olanda Settentrionale, pp. 791–912.

Logiche rilevanti:

Anderson, UN. R. e Belnap, N. D., Jr. (1975). Imputazione: La logica della pertinenza e della necessità. Stampa dell'Università di Princeton, vol. IO.
Mares, E. D. (2004). Logica rilevante: Un'interpretazione filosofica. Pressa dell'Università di Cambridge.

Le implicazioni dei teoremi di Gödel:

Berto, Francesco (2009). C'è qualcosa in Gödel. Wiley-Blackwell.

Revisione delle credenze:

Tanaka, Chi (2005). "La teoria dell'AGM e il cambiamento incoerente delle credenze". Logica e analisi 189–92, pp. 113–50.

Intelligenza artificiale:

Copeland, B. J. e Silvano, R. (1999). “Oltre la macchina di Turing universale”. Giornale australiano di filosofia 77, pp. 46–66.
Silvestre, Richard (2000). Logiche sociali e loro applicazioni. Sacerdote, G. e Hyde, D. eds. Ashgate.

Dilemmi morali:

Bohse, Elena (2005). “Una soluzione paracoerente al problema dei dilemmi morali”. Giornale di filosofia sudafricano 24, pp. 77–86.
Rouley, R. e Plumwood, V. (1989). "Dilemmi morali e logica delle nozioni deontiche". In Priest et al. 1989, 653–690.
Weber, Zach (2007). “Sull’etica paraconsistente”. Giornale di filosofia sudafricano 26, pp. 239–244.

Altre opere citate:

Colyvan, Segno (2008). “Chi ha paura della matematica incoerente?" Protosociologia 25, pp. 24–35. Ristampato in G. Preyer e G. Pietro eds. Filosofia della matematica: Insiemistica, Teorie della misurazione e nominalismo, Francoforte: Verlag, 2008, pp. 28–39.
Humé, Davide (1740). Un trattato sulla natura umana, ed. l. UN. Selby-Bigge. Seconda edizione 1978. Oxford: Clarendon Press.
Informazioni sull'autore

Zach Weber
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Università di Melbourne
Australia

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