Matematica incoerente

La matematica incoerente è lo studio di oggetti matematici comuni, come i set, numeri, e funzioni, dove sono ammesse alcune contraddizioni. Gli strumenti della logica formale vengono utilizzati per garantire che eventuali contraddizioni siano contenute e che le teorie complessive rimangano coerenti. La matematica incoerente è nata come risposta ai paradossi teorici e semantici degli insiemi come il paradosso di Russell e il paradosso del bugiardo – la risposta è che si tratta di fatti interessanti da studiare piuttosto che problemi da risolvere – e finora ha interessato principalmente logici e filosofi.. Più recentemente, Anche se, le tecniche della matematica incoerente sono state estese a campi matematici più ampi, come gli spazi vettoriali e la topologia, studiare la struttura incoerente fine a se stessa.

Per essere precisi, una teoria matematica è una raccolta di frasi, i teoremi, che si deducono attraverso dimostrazioni logiche. Una contraddizione è una frase insieme alla sua negazione, e una teoria è incoerente se include una contraddizione. La matematica incoerente considera teorie incoerenti. Di conseguenza, la matematica incoerente richiede un'attenta attenzione alla logica. Nella logica classica, una contraddizione è sempre assurda: una contraddizione implica tutto. Una teoria che contenga ogni frase è banale. La logica classica quindi rende insensata l’incoerenza ed è inappropriata per la matematica incoerente. La logica classica prevede che l’incoerente non abbia struttura. Una logica paraconsistente guida le dimostrazioni in modo che le contraddizioni non portino necessariamente alla banalità. Con una logica paraconsistente, le teorie matematiche possono essere sia incoerenti che interessanti.

Questo articolo discute la matematica incoerente come programma di ricerca attivo, con parte della sua storia, filosofia, risultati e domande aperte.

Sommario
introduzione
Un esempio
Sfondo
Motivazioni
Prospettive
Metodi
Prove
Geometria
Insiemistica
Aritmetica
Analisi
Informatica
Riferimenti e approfondimenti
Ulteriori letture
Riferimenti
1. introduzione

La matematica incoerente è nata come disciplina indipendente nel ventesimo secolo, come risultato dei progressi della logica formale. Nel diciannovesimo secolo, molta più enfasi è stata posta sul rigore formale nelle dimostrazioni, perché nell'analisi dei numeri reali erano apparse varie confusioni e contraddizioni. Per porre rimedio alla situazione era necessario esaminare in dettaglio il funzionamento interno degli argomenti matematici. La matematica è sempre stata condotta attraverso dimostrazioni passo passo, ma la logica formale aveva lo scopo di esercitare un ulteriore grado di controllo sulle dimostrazioni, per garantire che si ottengano tutti e solo i risultati desiderati. Furono avanzate varie ricostruzioni del ragionamento matematico.

Una proposta era la logica classica, pioneered by Giuseppe Peano, Grazie a Dio Frege, e Bertrand Russell. Un’altra era la logica paraconsistente, derivante dalle idee di Jan Łukasiewicz e N. UN. Vasil'ev intorno al 1910, e realizzato per la prima volta integralmente da Jaśkowski nel 1948. Il primo a suggerire la paracoerenza come motivo di incoerenza matematica fu Newton da Costa in Brasile nel 1958. Da allora, la sua scuola ha portato avanti lo studio della matematica paraconsistente. Un'altra scuola, centrato in Australia e per lo più associato al nome di Graham Priest, è attiva dagli anni '70. Priest e Richard Routley hanno avanzato la tesi secondo cui alcune teorie incoerenti non sono solo interessanti, ma vero; questo è dialeteismo.

Come ogni branca della matematica, la matematica incoerente è lo studio di strutture astratte utilizzando dimostrazioni. La logica paraconsistente offre una guida dimostrativa insolitamente rigorosa che garantisce che l’incoerenza non sfugga di mano. La paracoerenza non è una bacchetta magica o una panacea. È una metodologia per il duro lavoro. La paracoerenza ci aiuta solo a non perderci, o cadere nei buchi, durante la navigazione su terreni accidentati.

UN. Un esempio

Consideriamo una raccolta di oggetti. La collezione ha una certa dimensione, il numero di oggetti nella collezione. Consideriamo ora tutti i modi in cui questi oggetti potrebbero essere ricombinati. Per esempio, se stiamo considerando la collezione {UN, b}, allora abbiamo quattro possibili ricombinazioni: solo un, semplicemente b, sia a che B, oppure né a né b. Generalmente, se una raccolta ha κ membri, ha ricombinazioni 2κ. È un teorema del XIX secolo quello, anche se le collezioni in questione sono infinitamente grandi, ancora il Sig < 2κ, that is, the number of recombinations is always strictly larger than the number of objects in the original collection. This is Georg Cantor’s theorem. Now consider the collection of all objects, the universe, V. This collection has some size, |V|, and quite clearly, being by definition the collection of everything, this size is the absolutely largest size any collection can be. (Any collection is contained in the universe by definition, and so is no bigger than the universe.) By Cantor’s theorem, though, the number of recombinations of all the objects exceeds the original number of objects. So the size of the recombinations is both larger than, and cannot be larger than, the universe, This is Cantor’s paradox. Inconsistent mathematics is unique in that, if rigorously argued, Cantor’s paradox is a theorem. 2. Background a. Motivations There are at least two reasons to take an interest in inconsistent mathematics, which roughly fall under the headings of pure and applied. The pure reason is to study structure for its own sake. Whether or not it has anything to do with physics, for example, Reimann geometry is beautiful. If the ideas displayed in inconsistent mathematics are rich and elegant and support unexpected developments that make deep connections, then people will study it. G. H. Hardy’s A Mathematician’s Apology (1940) makes a stirring case that pure mathematics is inherently worth doing, and inconsistent mathematics provides some panoramic views not available anywhere else. The applied reasons derive from a longstanding project at the foundations of mathematics. Around 1900, David Hilbert proposed a program to ensure mathematical security. Hilbert wanted: to formalize all mathematical reasoning into an exact notation with algorithmic rules; to provide axioms for all mathematical theories, such that no contradictions are provable (consistency), and all true facts are provable (completeness). Hilbert’s program was (in part) a response to a series of conceptual crises and responses from ancient Greece through Issac Newton and G. W. Leibniz (see section 6 below) to Cantor. Each crisis arose due to the imposition of some objects that did not behave well in the theories of the day—most dramatically in Russell’s paradox, which seems to be about logic itself. The inconsistency would not have been such trouble, except the logic employed at that time was explosive: From a contradiction, anything at all can be proved, so Russell’s paradox was a disaster. In 1931, Kurt Gödel’s theorems showed that consistency is incompatible with completeness, that any complete foundation for mathematics will be inconsistent. Hilbert’s program as stated is dead, and with it even more ambitious projects like Frege-Russell logicism. The failure of completeness was hard to understand. Hilbert and many others had felt that any mathematical question should be amenable to a mathematical answer. The motive to inconsistency, then, is that an inconsistent theory can be complete. In light of Gödel’s result, an inconsistent foundation for mathematics is the only remaining candidate for completeness. b. Perspectives There are different ways to view the place of inconsistent mathematics, ranging from the ideological to the pragmatic. The most extreme view is that inconsistent mathematics is a rival to, or replacement for, classical consistent mathematics. This seems to have been Routley’s intent. Routley wanted to perfect an “ultramodal universal logic,” which would be a flexible and powerful reasoning tool applicable to all subjects and in all situations. Routley argued that some subjects and situations are intractably inconsistent, and so the universal logic would be paraconsistent. He wanted such a logic to underly not only set theory and arithmetic, but metaphysics, ecology and economics. (For example, Routley and Meyer [1976] suggest that our economic woes are caused by using classical logic in economic theory.) Rotuley (1980, p.927) writes: There are whole mathematical cities that have been closed off and partially abandoned because of the outbreak of isolated contradictions. They have become like modern restorations of ancient cities, mostly just patched up ruins visited by tourists. In order to sustain the ultramodal challenge to classical logic it will have to be shown that even though leading features of classical logic and theories have been rejected, … by going ultramodal one does not lose great chunks of the modern mathematical megalopolis. … The strong ultramodal claim—not so far vindicated—is the expectedly brash one: we can do everything you can do, only better, and we can do more. A more restrained, but still unorthodox, view is of inconsistency as a non-revisionary extension of classical theory. There is nothing wrong with the classical picture of mathematics, says a proponent of this position, except if we think that the classical picture exhausts all there is to know. A useful analogy is the extension of the rational numbers by the irrational numbers, to get the real numbers. Rational numbers are not wrong; they are just not all the numbers. This moderate line is found in Priest’s work. As articulated by da Costa (1974, p.498): It would be as interesting to study the inconsistent systems as, for instance, the non-euclidean geometries: we would obtain a better idea of the nature of certain paradoxes, could have a better insight on the connections amongst the various logical principles necessary to obtain determinate results, etc. In a similar vein, Chris Mortensen argues that many important questions about mathematics are deeper than consistency or completeness. A third view is even more open-minded. This is to see all theories (within some basic constraints) as genuine, interesting and useful for different purposes. Jc Beall and Greg Restall have articulated a version of this view at length, which they call logical pluralism. c. Methods There are at least two ways to go about mathematical research in this field. The first is axiomatic. The second is model theoretic. The axiomatic approach is very pure. We pick some axioms and inference rules, some starting assumptions and a logic, and try to prove some theorems, with the aim of producing something on the model of Euclid, or Russell and A. N. Whitehead’s Principia Mathematica. This would be a way of obtaining results in inconsistent mathematics independently, as if we were discovering mathematics for the first time. On the axiomatic approach there is no requirement that the same theorems as classical mathematics be proved. The hardest work goes into choosing a logic that is weak enough to be paraconsistent, but strong enough to get results, and formulating the definitions and starting assumptions in a way that is compatible with the logic. Little work has so far been done using axiomatics. By far more attention has been given to the model theoretic approach, because it allows inconsistent theories to “ride on the backs” of already developed consistent theories. The idea here is to build up models—domains of discourse, along with some relations between the objects in the domain, and an interpretation—and to read off facts about the attached theory. A way to do this is to take a model from classical mathematics, and to tinker with the interpretation, as in collapsed models of arithmetic (section 5 below). The model theoretic approach shows how different logics interact with different mathematical structures. Mortensen has followed through on this in a wide array of subjects, from the differential calculus to vector spaces to topology to category theory, always asking: Under what conditions is identity well-behaved? Let Φ(a) be some sentence about an object a. Mortensen’s question is, if a = b holds in a theory, then is it the case that Φ(a) exactly when Φ(b)? It turns out that the answer to this question is extremely sensitive to small changes in logic and interpretations, and the answer can often be “no.” Most of the results obtained to date have been through the model theoretic approach, which has the advantage of maintaining a connection with classical mathematics. The model theory approach has the same disadvantage, since it is unlikely that radically new or robustly inconsistent ideas will arise from always beginning at classical ideas. d. Proofs It is often thought that inconsistent mathematics faces a grave problem. A very common mathematical proof technique is reductio ad absurdum. The concern, then, is that if contradictions are not absurd—a fortiori, if a theory has contradictions in it—then reductio is not possible. How can mathematics be done without the most common sort of indirect proof? The key to working inconsistent mathematics is its logic. Much hinges on which paraconsistent logic we are using. For instance, in da Costa’s systems, if a proposition is marked as “consistent,” then reductio is allowed. Similarly, in most relevance logics, contraposition holds. And so forth. The reader is recommended to the bibliography for information on paraconsistent logic. Independently of logic, the following may help. In classical logic, all contradictions are absurd; in a paraconsistent logic this is not so. But some things are absurd nevertheless. Classically, contradiction and absurdity play the same role, of being a rejection device, a reason to rule out some possibility. In inconsistent mathematics, there are still rejection devices. Anything that leads to a trivial theory is to be rejected. More, suppose we are doing arithmetic and hypothesize that Φ. But we find that Φ has as a consequence that j=k for every number j, k. Now, we are looking for interesting inconsistent structure. This may not be full triviality, but 0 = 1 is nonsense. Reject Φ. There are many consistent structures that mathematicians do not, and will never, investigate, not by force of pure logic but because they are not interesting. Inconsistent mathematicians, irrespective of formal proof procedures, do the same. 3. Geometry Intuitively, M. C. Escher’s “Ascending, Descending” is a picture of an impossible structure—a staircase that, if you walked continuously along it, you would be going both up and down at the same time. Such a staircase may be called impossible. The structure as a whole seems to present us with an inconsistent situation; formally, defining down as not up, then a person walking the staircase would be going up and not up, at the same time, in the same way, a contradiction. Nevertheless, the picture is coherent and interesting. What sorts of mathematical properties does it have? The answers to this and more would be the start of an inconsistent geometry. So far, the study has focused on the impossible pictures themselves. A systematic study of these pictures is being carried out by the Adelaide school. Two main results have been obtained. First, Bruno Ernst conjectured that one cannot rotate an impossible picture. This was refuted in 1999 by Mortensen; later, Quigley designed computer simulations of rotating impossible Necker cubes. Second, all impossible pictures have been given a preliminary classification of four basic forms: Necker cubes, Reutersvärd triangles, Schuster pipes or fork, and Ernst stairs. It is thought that these forms exhaust the universe of impossible pictures. If so, an important step towards a fuller geometry will have been taken, since, for example, a central theme in surface geometry is to classify surfaces as either convex, flat, or concave. Most recently, Mortensen and Leishman (2009) have characterized Necker cubes, including chains of Neckers, using linear algebra. Otherwise, algebraic and analytic methods have not yet been applied in the same way they have been in classical geometry. Inconsistent equational expressions are not at the point where a robust answer can be given to questions of length, area, volume etc. On the other hand, as the Adelaide school is showing, the ancient Greeks do not have a monopoly on basic “circles drawn in sand” geometric discoveries. 4. Set Theory Set theory is one of the most investigated areas in inconsistent mathematics, perhaps because there is the most consensus that the theories under study might be true. It is here we have perhaps the most important theorem for inconsistent mathematics, Ross Brady’s (2006) proof that inconsistent set theory is non-trivial. Set theory begins with two basic assumptions, about the existence and uniqueness of sets: A set is any collection of objects all sharing some property Φ; Sets with exactly the same members are identical. These are the principles of comprehension (a.k.a. abstraction) and extensionality, respectively. In symbols, x ∈ {z : Φ(z)} ↔ Φ(x); x = y ↔ ∀z (z ∈ x ↔ z ∈ y). Again, these assumptions seem true. When the first assumption, the principle of comprehension, was proved to have inconsistent consequences, this was felt to be highly paradoxical. The inconsistent mathematician asserts that a theory implying an inconsistency is not automatically equivalent to a theory being wrong. Newton da Costa was the first to develop an openly inconsistent set theory in the 1960s, based on Alonzo Church’s set theory with a universal set, or what is similar, W. V. O. Quine’s new foundations. In this system, axioms like those of standard set theory are assumed, along with the existence of a Russell set R = {x : x ∉ x} and a universal set V = {x : x = x}. Da Costa has defined “russell relations” and extended this foundation to model theory, arithmetic and analysis. Note that V ∈ V, since V = V. This shows that some sets are self-membered. This also means that V ≠ R, by the axiom of extensionality. On the other hand, in perhaps the first truly combinatorial theorem of inconsistent mathematics, Arruda and Batens (1982) proved where ∪R is the union of R, the set of all the members of members of R. This says that every set is a member of a non-self-membered set. The Arruda-Batens result was obtained with a very weak logic, and shows that there are real set theoretical theorems to be learned about inconsistent objects. Arruda further showed that where P (X) denotes all the subsets of X and ⊆ is the subset relation. Routley, meanwhile, in 1977 took up his own dialetheic logic and used it on a full comprehension principle. Routley went as far as to allow a comprehension principle where the set being defined could appear in its own definition. A more mundane example of a set appearing in its own defining condition could be the set of “critics who only criticize each other.” One of Routley’s examples is the ultimate inconsistent set, x ∈ Z ↔ x ∉ Z. Routley indicated that the usual axioms of classical set theory can be proven as theorems—including a version of the axiom of choice—and began work towards a full reconstruction of Cantorian set theory. The crucial step in the development of Routley’s set theory came in 1989 when Brady adapted an idea from 1971 to produce a model of dialetheic set theory, showing that it is not trivial. Brady proves that there is a model in which all the axioms and consequences of set theory are true, including some contradictions like Russell’s, but in which some sentences are not true. By the soundness of the semantics, then, some sentences are not provable, and the theory is decidedly paraconsistent. Since then Brady has considerably refined and expanded his result. A stream of papers considering models for paraconsistent set theory has been coming out of Europe as well. Olivier Esser has determined under what conditions the axiom of choice is true, for example. See Hinnion and Libert (2008) for an opening into this work. Classical set theory, it is well known, cannot answer some fundamental questions about infinity, Cantor’s continuum hypothesis being the most famous. The theory is incomplete, just as Gödel predicted it would be. Inconsistent set theory, on the other hand, appears to be able to answer some of these questions. For instance, consider a large cardinal hypothesis, that there are cardinals λ such that for any κ < λ, also 2κ < λ. The existence of large cardinals is undecidable by classical set theory. But recall the universe, as we did in the introduction (section 1), and its size |V|. Almost obviously, |V| is such large a cardinal, just because everything is smaller than it. Taking the full sweep of sets into account, the hypothesis is true. Set theory is the lingua franca of mathematics and the home of mathematical study of infinity. Since Zeno’s paradoxes it has been obvious that there is something paradoxical about infinity. Since Russell’s paradox, it has been obvious that there is something paradoxical about set theory. So a rigorously developed paraconsistent set theory serves two purposes. First, it provides a reliable (inconsistent) foundation for mathematics, at least in the sense of providing the basic toolkit for expressing mathematical ideas. Second, the mathematics of infinity can be refined to cover the inconsistent cases like Cantor’s paradox, and cases that have yet to be considered. See the references for what has been done in inconsistent set theory so far; what can be still be done in remains one of the discipline’s most exciting open questions. 5. Arithmetic An inconsistent arithmetic may be considered an alternative or variant on the standard theory, like a non-euclidean geometry. Like set theory, though, there are some who think that an inconsistent arithmetic may be true, for the following reason. Gödel, in 1931, found a true sentence G about numbers such that, if G can be decided by arithmetic, then arithmetic is inconsistent. This means that any consistent theory of numbers will always be an incomplete fragment of the whole truth about numbers. Gödel’s second incompleteness theorem states that, if arithmetic is consistent, then that very fact is unprovable in arithmetic. Gödel’s incompleteness theorems state that all consistent theories are terminally unable to process everything that we know is true about the numbers. Priest has argued in a series of papers that this means that the whole truth about numbers is inconsistent. The standard axioms of arithmetic are Peano’s, and their consequences—the standard theory of arithmetic—is called P A. The standard model of arithmetic is N = {0, 1, 2, …}, zero and its successors. N is a model of arithmetic because it makes all the right sentences true. In 1934 Skolem noticed that there are other (consistent) models that make all the same sentences true, but have a different shape—namely, the non-standard models include blocks of objects after all the standard members of N. The consistent non-standard models are all extensions of the standard model, models containing extra objects. Inconsistent models of arithmetic are the natural dual, where the standard model is itself an extension of a more basic structure, which also makes all the right sentences true. Part of this idea goes back to C. F. Gauss, who first introduced the idea of a modular arithmetic, like that we use to tell the time on analog clocks: On a clock face, 11 + 2 = 1, since the hands of the clock revolve around 12. In this case we say that 11 + 2 is congruent to 1 modulo 12. An important discovery in the late 19th century was that arithmetic facts are reducible to facts about a successor relation starting from a base element. In modular arithmetic, a successor function is wrapped around itself. Gauss no doubt saw this as a useful technical device. Inconsistent number theorists have considered taking such congruences much more seriously. Inconsistent arithmetic was first investigated by Robert Meyer in the 1970’s. There he took the paraconsistent logic R and added to it axioms governing successor, addition, multiplication, and induction, giving the system R#. In 1975 Meyer proved that his arithemtic is non-trivial, because R# has models. Most notably, R# has finite models with a two element domain {0, 1}, with the successor function moving in a very tight circle over the elements. Such models make all the theorems of R# true, but keep equations like 0 = 1 just false. The importance of such finite models is just this: The models can be represented within the theory itself, showing that a paraconsistent arithmetic can prove its own non-triviality. In the case of Meyer’s arithemetic, R# has a finitary consistency proof, formalizable in R#. Thus, in non-classical contexts, Gödel’s second incompleteness theorem loses its bite. Since 1976 relevance logicians have studied the relationship between R# and PA. Their hope was that R# contains PA as a subtheory and could replace PA as a stronger, more genuine arithmetic. The outcome of that project for our purposes is the development of inconsistent models of arithmetic. Following Dunn, Meyer, Mortensen, and Friedman, these models have now been extensively studied by Priest, who bases his work not on the relevant logic R but on the more flexible logic LP. Priest has found inconsistent arithmetic to have an elegant general structure. Rather than describe the details, here is an intuitive example. We imagine the standard model of arithmetic, up to an inconsistent element n = n + 1. This n is suspected to be a very, very large number, “without physical reality or psychological meaning.” Depending on your tastes, it is the greatest finite number or the least inconsistent number. We further imagine that for j, k > N, abbiamo j=k. Se nel modello classico j≠ k, allora anche questo è vero; quindi abbiamo un'incoerenza, j=k e j≠ k. Qualsiasi fatto vero per i numeri maggiori di n è vero per n, pure, perché dopo il n, tutti i numeri sono identici a n. Nessun fatto del modello coerente viene perso. Questa tecnica fornisce un modello compresso dell'aritmetica.

Sia T tutti gli enunciati del linguaggio aritmetico che sono veri per N; allora lasciamo che T(N) allo stesso modo siano vere tutte le frasi dei numeri fino a n, una teoria dei numeri incoerente. Dal momento che t(N) non contraddice T riguardo a qualsiasi numero inferiore a n, if n > 0 then T(N) non è banale. (Non dimostra 0 = 1, ad esempio.) Le frasi di T(N) sono rappresentabili in T(N), e il suo linguaggio contiene un predicato di verità per T(N). La teoria può dimostrarsi valida. La sentenza di Gödel per T(N) è dimostrabile in T(N), così come la sua negazione, quindi la teoria è incoerente. Eppure, come ha dimostrato Meyer, la non banalità di T(N) può essere stabilito in T(N) mediante una procedura finita.

La cosa più sorprendente rispetto al programma di Hilbert, c'è un modo, in linea di principio, per capire per qualsiasi frase aritmetica Φ se Φ vale o meno, semplicemente controllando tutti i numeri fino al n. Ciò significa che t(N) è decidibile, e che devono esserci assiomi garantiti per fornire ogni verità sul modello crollato. Ciò significa che un'aritmetica incoerente è coerente e completa.

6. Analisi

Newton e Leibniz svilupparono indipendentemente il calcolo infinitesimale nel XVII secolo. Hanno presentato soluzioni ingegnose a problemi in sospeso (tassi di cambiamento, aree sotto curve) utilizzando quantità infinitesime. Consideriamo una curva e una tangente alla curva. Il punto in cui la linea tangente e la curva si intersecano può essere considerato come un punto. Se la curva è la traiettoria di un oggetto in movimento, questo punto è un istante di cambiamento. Ma un po’ di riflessione mostra che deve essere poco più di un punto, altrimenti, come misura un tasso di cambiamento, non ci sarebbe alcun cambiamento, non più di quanto una fotografia sia in movimento. Ci deve essere qualche sbavatura. D'altra parte, l'istante deve essere inferiore a qualsiasi quantità finita, perché di istanti simili ce ne sono infiniti. Un infinitesimo rispetterebbe entrambe queste preoccupazioni, e con questi forniti, un cerchio potrebbe essere interpretato come un numero infinito di segmenti tangenti infinitesimi.

Gli infinitesimi erano essenziali, non solo per costruire i passi concettuali per inventare il calcolo infinitesimale, ma nel trovare le risposte giuste. Eppure è stato sottolineato, più famoso dal vescovo George Berkeley, che gli infinitesimi erano poco compresi e venivano usati in modo incoerente nelle equazioni. Il calcolo infinitesimale nella sua forma originale era assolutamente incoerente. Ecco un esempio. Supponiamo di differenziare il polinomio f(X) =ax2+bx+c. Utilizzando la definizione originale di derivata,

Nell'esempio, ε è un infinitesimo. Segna un intorno piccolo ma non banale attorno a x, e può essere diviso per, quindi non è zero. Tuttavia, alla fine ε è semplicemente scomparso. Questo esempio suggerisce che la logica paraconsistente è più di un utile espediente tecnico. L'esempio mostra che Leibniz ragionava con informazioni contraddittorie, eppure non dedussi tutto. Anzi, ha avuto la risposta giusta. Né si tratta di un incidente isolato. I matematici sembrano in grado di distinguere il “rumore” e ricavare verità interessanti, anche da set di dati contraddittori. Per catturare questo, Marrone e Prete (2004) hanno sviluppato un metodo che chiamano “chunk and permeate” per modellare il ragionamento nei primi calcoli. L'idea è quella di prendere tutte le informazioni, inclusi diciamo ε = 0 e ε ≠ 0, e spezzettarlo in pezzi più piccoli. Ogni pezzo è coerente, senza informazioni contrastanti, e si può ragionare usando la logica classica all'interno di un pezzo. Quindi viene definita una relazione di permeazione che controlla il flusso di informazioni tra i blocchi. Purché il rapporto di permeazione sia attentamente definito, le conclusioni raggiunte in una parte possono fluire in un'altra parte ed entrare lì in catene di ragionamento. Brown e Priest lo propongono come modello, o ricostruzione razionale, di ciò che stavano facendo Newton e Leibniz.

Un altro, un approccio più diretto per la matematica incoerente è lavorare con i numeri infinitesimi stessi. Esistono teorie classiche degli infinitesimi dovute ad Abraham Robinson (gli iperreali), e J. H. Conway (i surreali). Mortensen ha lavorato con equazioni differenziali utilizzando iperreali. Un altro approccio è quello della teoria delle categorie. Segmenti di linea minuscoli (“linee”) di lunghezza ϵ vengono considerati, tale che ϵ2 = 0 ma non è vero che ϵ = 0. In questa teoria, non è nemmeno vero che ϵ ≠ 0, quindi la legge logica del terzo escluso viene meno. L’approccio della teoria delle categorie è il più simile alla matematica incoerente, Poi, poiché comporta un cambiamento nella logica. Tuttavia, il modo più ovvio per utilizzare linelet con logiche paraconsistenti, per dire che sia ϵ = 0 che ϵ ≠ 0 sono veri, significa che stiamo dividendo per 0 e quindi probabilmente è troppo grossolano per funzionare.

In generale il concetto di continuità è ricco di sviluppi inconsistenti. Momenti di cambiamento, lo scorrere del tempo, e gli stessi confini che separano gli oggetti sono stati tutti considerati dal punto di vista della matematica incoerente.

7. Informatica

Le domande poste da David Hilbert possono essere formulate in un linguaggio molto moderno:

Esiste un programma per computer per decidere, per qualsiasi affermazione aritmetica, se la dichiarazione può essere provata o meno? C'è un programma da decidere?, per qualsiasi affermazione aritmetica, se l'affermazione è vera o meno? Abbiamo già visto che i teoremi di Gödel devastarono il programma di Hilbert, rispondendo negativamente a queste domande. Tuttavia, abbiamo anche visto che l’aritmetica incoerente supera i risultati di Gödel e può dare una risposta positiva a queste domande. È naturale estendere queste idee all’informatica.

Il programma di Hilbert richiede determinati algoritmi, una procedura passo passo che può essere eseguita senza intuizione o creatività. Una macchina di Turing esegue programmi, alcuni dei quali si arrestano dopo un numero finito di passaggi, e alcuni dei quali continuano a funzionare per sempre. Esiste un programma E che può dirci in anticipo se un dato programma si fermerà o meno?? Se c'è, quindi considera il programma E*, che esiste se E lo fa definendolo come segue. Quando si considera un programma x, E* si ferma se e solo se x continua a funzionare quando viene dato l'input x. Poi

E* si ferma per E*
se e solo se
E* non si ferma per E*,

il che implica una contraddizione. Turing concluse che non esiste E*, e quindi non c’è E – cioè che non possa esserci una procedura decisionale generale.

Qualsiasi programma che possa decidere in anticipo il comportamento di tutti gli altri programmi sarà incoerente.

Un sistema paracoerente può occasionalmente produrre contraddizioni come output, mentre la sua procedura rimane completamente deterministica. (Non è che la macchina occasionalmente produca e non produca un output.) C'è, in linea di principio, non vi è alcuna ragione per cui un programma decisionale non possa esistere. Richard Sylvan identifica come idea centrale della teoria della computabilità paraconsistente lo sviluppo di macchine “per calcolare funzioni diagonali che sono classicamente considerate non computabili”. Discute una serie di ricche possibilità per un approccio non classico agli algoritmi, incluso un risultato in virgola fissa sull'insieme di tutte le funzioni algoritmiche, e un prototipo di macchine dialeteiche.

Importanti risultati sono stati ottenuti dalla scuola paraconsistente in Brasile – da Costa e Doria nel 1994, e Agudelo e Carnielli nel 2006. Come il calcolo quantistico, Anche se, attualmente la teoria delle macchine paraconsistenti supera quella dell'hardware. Le macchine in grado di calcolare più delle macchine di Turing attendono progressi nella fisica.

8. Riferimenti e approfondimenti
UN. Ulteriori letture

Il prete è in contraddizione (2006) è il posto migliore per iniziare. La seconda edizione contiene materiale sulla teoria degli insiemi, continuità, e aritmetica incoerente (riassumere il materiale precedentemente pubblicato su articoli). Una critica all'aritmetica incoerente si trova in Shapiro (2002). Il libro di Franz Berto, Come vendere una contraddizione (2007), è più difficile da trovare, ma anche un'ottima e forse più gentile introduzione.

Parte della matematica paraconsistente di da Costa è riassunta nell’interessante raccolta Frontiers of Paraconsistency (2000)—gli atti di un congresso mondiale sulla paracoerenza a cura di Batens et al. Maggiori dettagli si trovano nella Filosofia della logica di Jacquette (2007) manuale; L’articolo di Beall in quel volume tratta questioni relative alla verità e all’incoerenza.

Coloro che desiderano argomenti matematici più avanzati dovrebbero consultare Inconsistent Mathematics di Mortensen (1995). Per geometrie impossibili, i suoi recenti studi con Leishman rappresentano un progresso promettente. Il sito web della sua scuola merita una visita. La logica universale di Brady (2006) è la teoria degli insiemi paraconsistenti più elaborata fino ad oggi, ma non per i deboli di cuore.

Se riesci a trovarlo, leggi l’articolo fondamentale di Routley, “Ultralogico come universale?", ristampato come appendice alla sua opera magnum, Esplorando la giungla di Meinong (1980). Prima che si crei troppa confusione, notare che Richard Routley e Richard Sylvan, il cui lavoro postumo è raccolto da Hyde e Priest in Sociative Logics and their Applications (2000), in un atto altruistico di incoerenza, sono la stessa persona.

Per il how-to delle logiche paraconsistenti, consultare sia la voce sulla pertinenza che la paracoerenza in Gabbay & Manuale di logica filosofica di Günthner, volume 6 (2002), o il libro di testo di Priest An Introduction to Non-Classical Logic (2008). Per la logica paraconsistente e la sua filosofia più in generale si veda Routley, Collezione curata da Priest e Norman nel 1989. La raccolta La legge di non contraddizione (Priest et al. 2004) discute la filosofia della paracoerenza, così come il dubbio della verità del prete è un bugiardo (2006).

Per le questioni filosofiche più ampie associate alla matematica incoerente, soprattutto nelle applicazioni (Per esempio, conseguenze per i dibattiti sul realismo e sull’antirealismo), vedi Mortensen (2009a) e Colyvan (2009).

b. Riferimenti
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Informazioni sull'autore

Zach Weber
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Università di Sydney, Università di Melbourne
Australia