Il colpo di Sheffer

Il tratto di Sheffer è uno dei sedici connettivi binari definibili della logica proposizionale standard. Il simbolo del tratto è “|" come in

L’espressione linguistica il cui comportamento logico si presume modellato da questo connettivo logico è la frase vero-funzionale “non entrambi,” da cui ha origine il nome NAND.

Tutti i sedici connettivi interpretano le funzioni associate dell'algebra booleana. Nella teoria dei circuiti elettronici le funzioni booleane sono implementate da porte elettroniche o logiche: la porta che implementa la funzione associata dello Sheffer Stroke si chiama NAND ed è nota come “porta universale”. L'ictus di Sheffer possiede la straordinaria proprietà metalogica nota come completezza funzionale (più precisamente, debole completezza funzionale.) Un connettivo è funzionalmente completo (più precisamente, debolmente funzionalmente completo) per un linguaggio formale se e solo se tutti i connettivi matematicamente definibili di (ad eccezione dei connettivi o delle costanti zeroarie) può essere definito utilizzando quel connettivo come unico connettivo. Utilizzando la familiare tavola di verità per la semantica della logica proposizionale standard, la completezza funzionale dello Sheffer Stroke significa proprio questo, per ogni tavola di verità etichettata da una formula logica ben formata, esiste un'identica tabella di verità la cui formula di etichettatura ha il simbolo Sheffer Stroke come unico simbolo connettivo; o, ogni connettivo definibile può essere definito da una tabella di verità etichettata da una formula che ha come unico simbolo connettivo il tratto di Sheffer. (Due tabelle di verità sono identiche se concordano su ogni output di valore di verità corrispondente alle stesse assegnazioni di input di valore di verità.) Le stesse osservazioni sulla completezza funzionale si applicano al caso della freccia di Peirce, che è il duale dello Sheffer Stroke.

La scoperta dell'ictus di Sheffer fu ottenuta indipendentemente da Henry M. Sheffer nel 1913 dopo che era stato realizzato precedentemente da Charles Sanders Peirce, come attesta un frammento scritto nel 1880 (e, Ancora, nel 1902). Questa scoperta fondamentale fu acclamata da figure fondamentali nella storia della logica come Ludwig Wittgenstein e Bertrand Russell.

Un risultato elegante grazie a Emile Post (1941) rende possibile spiegare la proprietà di completezza funzionale dell'ictus di Sheffer sulla base della mancanza di alcune caratteristiche proprietà "ereditarie". Ciò viene esaminato in dettaglio nel presente articolo.

Il significato logico-filosofico della disponibilità di una funzione Sheffer fu ripreso da Ludwig Wittgenstein (nel Tractatus logico-philosophicus, 1922) consistere nella sua perspicua illustrazione delle caratteristiche più profonde della logica formale. Nelle lingue naturali, lo sono le frasi il cui comportamento logico è catturato dallo Sheffer Stroke e dalla Peirce Arrow, rispettivamente, “non entrambi” e “né-né”: questi sembrano piuttosto insignificanti, ma questo è un segno che ciò che è in gioco nelle indagini sulla completezza funzionale è tipicamente correlato allo studio della logica formale e non è rilevante per gli obiettivi dello studio delle lingue naturali.

Sommario
Il colpo di Sheffer e il suo posto nella logica proposizionale
Definizioni alternative dell'ictus di Sheffer
Regole decisionali-procedurali per lo Sheffer Stroke
Simboli alternativi
Storia
La scoperta di Peirce
La “Scoperta” e i Principia Mathematica
I connettivi logici della logica proposizionale standard e lo Sheffer Stroke
Proprietà del colpo di Sheffer
Importanza del tratto di Sheffer per la logica matematica, Logica filosofica,
e Filosofia

Il Tractatus di Wittgenstein e il colpo di Sheffer
Riferimenti e approfondimenti
1. Il colpo di Sheffer e il suo posto nella logica proposizionale

La frase linguistica il cui comportamento logico è tracciato attraverso il tratto di Sheffer è l'espressione vero-funzionale “non sia ___ che —,” e il suo equivalente logico è “o no ___ o no —”. Il termine “Colpo di Sheffer” è il nome del simbolo “ ” che denota il connettivo logico binario della logica proposizionale standard che di solito viene chiamato Colpo di Sheffer. Così, il nome Sheffer Stroke viene utilizzato non semplicemente per il simbolo ma anche per il connettivo logico stesso. Questo articolo si riferisce indifferentemente al connettivo logico come Sheffer Stroke confidando che il contesto rimuova qualsiasi ambiguità tra il connettivo e il suo simbolo.

Altri nomi del connettivo logico sono Alternate Denial, NAND e congiunzione negata. I lettori dei vecchi libri di testo di Logica probabilmente troveranno il connettivo chiamato Negazione Alternativa. Ce n'è un altro, imparentato, connettivo logico della logica proposizionale standard, chiamato NOR, Negazione congiunta, Disgiunzione negata, ed esclusione congiunta; a volte è chiamato la freccia di Peirce o il pugnale di Quine (anche se gli ultimi due, come nel caso di "Sheffer Stroke"., in senso stretto, nomi dei simboli usati per quel connettivo.) La relazione tra Sheffer Stroke e NOR è profonda e presenta un profondo interesse, che verrà esplorato in questo articolo.

Il termine “Sheffer Stroke” si riferisce anche al simbolo utilizzato per denotare il connettivo logico che porta lo stesso nome; questo connettivo è conosciuto anche con altri nomi, come si vedrà. Questo articolo parla di connettivi logici. A rigor di termini, il connettivo Sheffer Stroke è l'analogo semantico di una funzione booleana binaria definibile che può essere chiamata la funzione booleana associata del connettivo. Questa funzione booleana è conosciuta come NAND nella teoria delle porte elettroniche o logiche, dove funge da una delle due porte universali; appunto parlando, la porta fisica è un'istanza di implementazione della funzione booleana la cui interpretazione logica proposizionale è lo Sheffer Stroke. Tale interpretazione non viene esaminata nel presente articolo.

Questo articolo si concentra solo sulla logica proposizionale, salvo diversa indicazione. Passando all’esame dei commenti di Wittgenstein, questa restrizione verrà revocata. La logica proposizionale può essere considerata come il caso speciale della logica del predicato o del primo ordine con tutte le costanti del predicato come zero nella sua segnatura. La logica proposizionale è priva delle risorse simboliche necessarie per verificare la validità di molte forme argomentative, per la traduzione di enunciati matematici, e per molti altri motivi. Questo articolo si limita alla logica proposizionale solo allo scopo limitato di evitare alcune complicazioni mentre il nostro interesse attuale è esporre alcuni concetti di base.

Il termine Funzioni Sheffer viene talvolta utilizzato per riferirsi a due funzioni booleane, uno dei quali viene interpretato come il nostro Sheffer Stroke e l'altro è noto come NOR (in alcune interpretazioni) o la freccia di Peirce (e anche con altri nomi, come si vedrà.) Both of these so-called Sheffer functions are binary truth functions (with the names also used for the uninterpreted associated Boolean functions); they both have the remarkable property of being functionally complete—in the sense defined above. The term “Sheffer functions” is also used to refer to functionally complete functions of alternate or non-standard many-valued logics. Some authors who generalize the term “Sheffer function” to many-valued logics define it so that it applied only to unary or binary functions that are, each, functionally complete. Others use the term regardless of the arity of the functionally complete function. Un teorema dimostrato da Emile Post nel 1921 mostra che l'esistenza provata di funzioni di arità n = 1 o n = 2 che definiscono tutte le funzioni unarie e binarie di un linguaggio formale implica che tali funzioni possono anche definire tutte le funzioni di arità superiori. Questo risultato vale indipendentemente dal numero di valori di verità su cui sono definiti i connettivi. Nella logica proposizionale standard a due valori, non esistono connettivi unari funzionalmente completi ma esistono esattamente due connettivi binari che lo sono, e queste sono chiamate funzioni di Sheffer della logica proposizionale standard.

Il tipo di indagine che rivela le straordinarie proprietà dello Sheffer Stroke è, propriamente parlando, metalogico o metateorico. I due connettivi logici, NAND (o il colpo di Sheffer) e NÉ, vengono talvolta chiamate sommariamente funzioni di Sheffer. A rigor di termini, quelle sono le funzioni booleane associate che sono interpretate semanticamente dai connettivi logici. Per gli scopi attuali, questo articolo non si sofferma su questa distinzione. Parla costantemente di connettivi logici. L'articolo indaga il significato dell'ictus di Sheffer e del NOR nella sezione sulle proprietà dell'ictus di Sheffer. Si traccia anche il contesto storico della scoperta di questi connettivi. (vedi Storia)

Si noti che c'è incoerenza nella bibliografia rispetto sia alle varianti notazionali che al gergo terminologico. Il logico H. M. Sheffer, da cui prende il nome il connettivo, in realtà usavano NOR ma Russell-Whitehead usava la funzione NAND quando esaltarono questa scoperta in una sezione appositamente aggiunta alla seconda edizione dei loro famosi Principia Mathematica all'indomani di quella che ritennero essere la scoperta di Sheffer. (Whitehead-Russell, 1925, 1927) Fu Whitehead-Russell a dare il nome "Sheffer Stroke" al connettivo. Sebbene il simbolo stesso fosse stato usato da Sheffer per denotare NOR, Sheffer chiamò piuttosto incongruamente il simbolo del suo connettivo “per”, in analogia con il simbolo della divisione algebrica, e chiamò il connettivo (ora solitamente chiamato NOR) "rifiuto."

Come connettivo logico, lo Sheffer Stroke rappresenta una funzione booleana definita sull'insieme di due valori,

Nella misura in cui viene esaminato il connettivo semantico Sheffer Stroke, pensare ai valori come valori di verità Vero e Falso e denotarli rispettivamente con T e F. Non è insolito parlare in modo intercambiabile, o indifferentemente, delle funzioni di verità e dei connettivi logici. Purtroppo, come è stato appena notato, la bibliografia, che abbraccia diversi decenni nello sviluppo della logica moderna, non è coerente quando si tratta di questioni terminologiche o di notazione. Per gli scopi attuali, stabilire una certa convenzione: distinguere tra connettivi logici (chiamate anche funzioni di verità) e le loro funzioni booleane sottostanti o associate. Se il simbolo del connettivo logico è, generalmente, “” simboleggia quindi la funzione booleana associata con “.” Nel farlo, riservare metodi algebrici standard di definizione per le funzioni associate ma definire i connettivi logici mediante la familiare tavola di verità.

Il dominio della funzione associata allo Sheffer Stroke è il prodotto cartesiano

l'intervallo della funzione è

Così, la funzione associata del connettivo Sheffer Stroke è definita come segue:

Per completezza, verranno mostrati modi alternativi per definire questa funzione booleana. Questi, Tuttavia, dovrebbero essere considerate come varianti notazionali; è la stessa funzione booleana che tutti definiscono.

Quando

Altrimenti

È consuetudine definire i connettivi logici di sistemi logici o linguaggi mediante la familiare tavola di verità. Di seguito è riportata la tabella della verità per il connettivo chiamato Sheffer Stroke o NAND.

pqp

Q
T T T F T
V F T T F
F T F T T
F F F T F

Si può anche usare la familiare tavola di verità per accertare che il connettivo Sheffer Stroke riceve gli stessi risultati di valore di verità con la negazione della congiunzione per tutte le possibili assegnazioni di valori di verità alle singole componenti proposizionali. La negazione connettiva proposizionale, per definizione, inverte i valori di verità dei suoi input e il connettivo connettivo riceve l'output T solo quando entrambi i suoi input sono T mentre riceve F per tutte le altre possibili assegnazioni di valori di verità alle sue componenti. Questo articolo simboleggia il connettivo negazione con “” e il connettivo congiunzione con “”. Perché le formule scritte in grassetto sono logicamente equivalenti, la formula formata collegandoli con “” (simbolo di equivalenza materiale) dovrebbe essere una tautologia: la tavola di verità verifica questo risultato. (Il connettivo logico dell'equivalenza materiale è così definito che riceve l'output T se e solo se i suoi valori di input sono gli stessi valori di verità.)

pq (P

Q)
T T T F T T F T T T
T F T T F T T T F F
F T F T T T T F F T
F F F T F T T F F F

L’espressione linguistica il cui comportamento logico si presume modellato da questo connettivo logico è la frase vero-funzionale “non entrambi,” da cui ha origine il nome NAND. Questa espressione è logicamente equivalente (produce lo stesso valore di verità per le stesse assegnazioni di valori di verità ai suoi componenti) con “o non il primo o non il secondo” per proposizioni a due componenti; da qui il nome alternativo di questo connettivo come Alternate Denial. Affermare che il connettivo Sheffer Stroke modella tali espressioni del linguaggio significa che ciò che viene modellato è considerato espressione vero-funzionale di un linguaggio naturale come l'inglese. Funzionalità di verità significa che la proposizione composta assume sempre un valore di verità (vero o falso) che può essere determinato in modo univoco quando sono noti i valori di verità dei componenti o delle parti; questo perché la particella logica speciale (in questo caso “non entrambi”) che collega le proposizioni componenti è definibile nei termini delle sue condizioni di verità (quale valore di verità produce per assegnazioni specifiche di valori di verità alle proposizioni componenti che collega). Nella misura in cui si tratta di espressioni verità-funzionali, si applica il principio di composizionalità del significato: il significato logico del composto dipende unicamente dai significati logici specificati delle sue parti. Per i significati non-verità-funzionali di “non” o “e," l'espressione "non entrambi" non è vero-funzionale e non può essere modellata dal connettivo chiamato Sheffer Stroke o NAND.

Collegare due proposizioni mediante la particella linguistica modellata dallo Sheffer Stroke afferma l'affermazione che queste due proposizioni sono reciproche contrarie. Si può apprezzare cosa significa contrarietà controllando la tabella di verità sopra, mediante il quale viene definito il connettivo Sheffer Stroke: il composto in cui il simbolo Sheffer Stroke è il simbolo connettivo principale è falso solo quando le componenti proposizionali connesse sono entrambe vere; è vero in ogni altro caso (o modello, che significa assegnazione di valori di verità alle componenti proposizionali o, chiamato anche, valutazione.) Contrarietà (o reciproca contrarietà), Poi, significa che le proposizioni presunte contrarie non possono essere vere insieme ma possono essere false insieme. Si dovrebbe distinguere questo dal rapporto noto come contraddittorietà reciproca: due proposizioni sono reciprocamente contraddittorie se e solo se non possono essere vere insieme e non possono essere false insieme. Se due proposizioni p e q sono reciprocamente contraddittorie, allora la proposizione composta formata collegandoli mediante l'esclusivo aut-aut è una verità logica. D'altra parte, in base a quanto detto, e come si può vedere dalla tabella di verità sopra, uno ha: quando due proposizioni sono reciprocamente contrarie, allora la proposizione formata collegandoli mediante il connettivo Sheffer Stroke è una verità logica.

UN. Definizioni alternative dell'ictus di Sheffer

Esistono altri modi per definire il connettivo Sheffer Stroke. La sua definizione di matrice è la seguente:

T F
T F T
F T T

La forma normale disgiuntiva (DNF) Di

(Le parentesi angolari vengono utilizzate perché vi è riferimento a simboli del linguaggio formale degli oggetti all'interno del metalinguaggio, che è un frammento di inglese simbolicamente potenziato usato per parlare del linguaggio formale. Si noti che i simboli come “”, d'altra parte, sono essi stessi metalinguistici e non accettano parentesi angolari. Tali parentesi non sono necessarie anche nel caso in cui le formule siano presentate da sole nello spazio ad esse riservato.)

Il DNF di una formula ben formata può essere ottenuto dalla tavola di verità mediante il seguente metodo: Controlla le righe, e solo le righe, attraverso il quale riceve il valore di verità T. Se un individuo (o atomico) la variabile riceve T su quella riga, riprodurlo così com'è, ; se la variabile individuale riceve F su quella riga, riprodurlo come negato. . Prossimo, formano la congiunzione delle variabili proposizionali così rappresentate (il che significa che li uniamo mediante il simbolo connettivo .) Fallo per tutte le righe su cui riceve T. Finalmente, unire tutte le congiunzioni così formate mediante disgiunzioni inclusive, simboleggiato da .

Così, esaminando la tavola di verità mediante la quale è stato definito lo Sheffer Stroke, uno ha: il valore T si riceve sulle righe per i valori delle singole variabili proposizionali:

Formate prima le congiunzioni:

Poi, form their conjunction:

This expression admits of further simplification (a subject that is beyond current concerns), to yield a logically equivalent formula:

A method of representation known as the Karnaugh Map is as follows for the Sheffer Stroke. Two different variants of this method are explored. This is essentially diagrammatic as it allows for simplifications of well-formed formulas that are first transformed into their equivalent normal forms before they are mapped by this type of diagram. The normal form for the Shefer Stroke is:

The expression to the right is in both Disjunctive and Conjunctive Normal Form. It has exactly two literals, e . Taken as a Disjunctive Normal Form, it has as literals the negations of the two propositional variables: di conseguenza, inseriamo nella Mappa di Karnaugh i valori T e F nel modo che presenteremo ora brevemente. (Solitamente, questo tipo di diagramma assume i valori come non interpretati o numerici,

ma possiamo ignorarlo.) Per inserire i valori corretti, seguiamo l'intera riga o l'intera colonna lungo la quale la variabile riceve il valore di verità True come mostrato di seguito. I restanti blocchi ricevono F.

F T

T T

Una versione alternativa (in realtà corrisponde più da vicino al progetto iniziale di questo metodo diagrammatico) è il seguente:

F T

T T

Nei testi più antichi, troviamo definizioni di connettivi come la seguente definizione di Sheffer Stroke. Consideriamo che le variabili proposizionali assumano valori di verità nell'ordine:

Questo metodo di definizione è stato trovato, insieme alla definizione tabellare di verità, nel Tractatus di Wittgenstein.

Nei libri di testo come quello scritto da Arthur Prior (1962, pp. 5-21) la definizione sarebbe data come segue:

Perché Prior usa la notazione polacca (vedere la sezione 1c di seguito), definisce il colpo di Sheffer e la freccia di Peirce, simboleggiati rispettivamente da “D” e “X”, come segue, con la “N” che simboleggia la negazione, “A” che simboleggia la disgiunzione inclusiva, “K” che simboleggia la congiunzione, mentre la notazione del prefisso viene utilizzata ovunque:

Viene fornito un altro modo per definire il tratto di Sheffer e la freccia di Peirce (Priore, 1962, P. 12), leggere i valori di output da sinistra a destra all'interno della parentesi come corrispondenti alle assegnazioni di valori per i componenti atomici come

Nell'interpretazione insiemistica delle funzioni booleane, l'operazione che corrisponde allo Sheffer Stroke o NAND è la complementazione dell'intersezione degli insiemi. Chiaramente, complementazione (simboleggiato da “” è l’analogo insiemistico della negazione e dell’intersezione (simboleggiato da “”) è l'analogo insiemistico della congiunzione. Il simbolo “” sta per appartenenza a un insieme.

non è il caso che entrambi e

È possibile tracciare un diagramma di Venn dell'operazione.

Regioni generali del diagramma di Venn
UN: 1 e 2
B: 2 e 3
UN : 2
UN: 3 e 4
B: 1 e 4
UN: 4
NAND: : 1 e 3 e 4

Diagramma di Venn NAND (zona gialla)

Le funzioni booleane possono essere rappresentate come operazioni in un'algebra,

con set di portanti e adeguatamente equipaggiato con un insieme di operazioni di moltiplicazione e addizione-modulo-2 insieme alla funzione costante o zero-aria 1. Le definizioni delle operazioni sui valori del set di portanti sono:

Lo Sheffer Stroke e la Peirce Arrow sono definibili in questa algebra come:

Il segno di moltiplicazione viene omesso come è convenzionale nelle notazioni standard. Così, abbiamo:

Considerando che la forma generale per i polinomi binari che rappresentano le funzioni è

i coefficienti sono

La forma generale può anche essere rappresentata come segue e, ricorrendo alla familiare tavola di verità semantica, possiamo determinare i valori dei coefficienti che sono, in questa forma di rappresentazione, i valori della funzione per le coppie mostrate (cioè., ).

Eseguendo le operazioni dell'algebra, otteniamo il risultato atteso, tenendo presente che (2 = 0) (modulo 2):

b. Regole decisionali-procedurali per lo Sheffer Stroke

La procedura decisionale in logica proposizionale nota come Metodo dell'Albero, può incorporare regole per "" come segue:

Nel metodo Beth-Tableau, le regole per "" dovrebbero essere rappresentate come segue:

È possibile sviluppare una regola successiva a Gentzen per lo Sheffer Stroke. (Vedi Alzata, 1967; Beziau, 2001; per un'analisi più dettagliata, Leggere, 1999.) Il significato teorico dell'attuazione di procedure di dimostrazione, come quello di Gentzen, consiste nel fatto che i connettivi vengono poi definiti mediante le regole per le loro introduzioni e/o eliminazioni; esiste una visione filosofica sostanziale secondo cui questo è l'approccio corretto per valutare i significati dei connettivi logici. In sequenze alla Gentzen, le variabili a sinistra del simbolo del tornello (“”) si presumono uniti per congiunzione e quelli a destra si presumono uniti per disgiunzione inclusiva. Una variabile può essere spostata da sinistra a destra o da destra a sinistra mediante la negazione. Le lettere variabili ripetute possono essere cancellate (mediante una regola detta Contrazione) e le lettere variabili possono essere spostate liberamente (o permutato) purché rimangano dallo stesso lato del tornello.

c. Simboli alternativi

Un altro simbolo per la connessione Sheffer Stroke o NAND è "" e questo simbolo lo è, in modo appropriato, chiamato "Pugnale Sheffer" o "Freccia verso l'alto Sheffer". Un simbolo più vecchio è “” (per esempio, nell’influente testo di Alonzo Church sulla logica matematica, Introduzione alla logica matematica, P. 37), ma questo simbolo è ora più comunemente usato in certe varianti notazionali per simboleggiare la disgiunzione esclusiva. (Vedi la Storia qui sotto per i simboli usati dallo stesso Sheffer e da C. S. Pierce.)

Nella notazione polacca, che utilizza il posizionamento non dell'infisso ma del prefisso per i simboli connettivi e rinuncia ordinatamente alle parentesi, la simbolizzazione per NAND è:

Scrivere in notazione polacca l'equivalenza materiale (simboleggiato da “”) si ottiene tra NAND e la negazione (simboleggiato da “”) di congiunzione (simboleggiato da “”), scriviamo:

Anche la variante simbolica utilizzata per le porte logiche nei circuiti elettronici utilizza la notazione del prefisso (con il simbolo della funzione scritto prima e non tra le variabili di input. Così,

Come di solito accade con la scrittura delle funzioni, va notato che esiste un'ambiguità riguardo alla notazione utilizzata per rappresentare la funzione booleana che interpreta lo Sheffer Stroke: non è chiaro se è l'operazione che viene rappresentata o se viene dato un nome alla funzione. La notazione del cosiddetto lambda-calcolo (o -calcolo) può essere usato per chiarire le ambiguità. Di conseguenza, to indicate unambiguously that we are giving the name of the underlying function of the NAND (or Sheffer Stroke) connective, we can write:

(—) (___)

with possible specification of the underlined input variables from the set

2. Storia

The logical connective we call the Sheffer Stroke and its symbol are named after Henry Maurice Sheffer who, in 1913, published a paper in which he introduced a connective (called a “primitive idea” in the jargon of the times) with remarkable logical properties. Sheffer’s project was motivated by the purpose of using this connective to provide a more parsimonious or economical rendering of Huntington’s axiom system for standard propositional logic. In the parlance of the times, lo scopo era quello di “ridurre” il numero di connettivi “primitivi” della logica proposizionale standard. Vedremo nella sezione successiva a cosa equivale tutto ciò.

Si dà il caso che Sheffer abbia utilizzato un altro connettivo logico quale, come l'ictus di Sheffer, consente una riduzione del numero di connettivi logici utilizzati. Questo connettivo è solitamente chiamato NOR, La freccia di Peirce o la negazione congiunta. Il nome Colpo di Sheffer è stato coniato dagli autori dei Principia Mathematica (Whitehead-Russell, 1963) che esaltò l'importanza della scoperta di questo connettivo e procedette ad aggiungere un'intera sezione alla 2 edizione dei Principia utilizzando il connettivo. Saremo in grado di apprezzare appieno le affermazioni fatte sul significato di questa scoperta dopo aver studiato la sezione sulle proprietà dell'ictus di Sheffer. Un'intera sezione, Importanza del tratto di Sheffer per la logica matematica, Logica filosofica, e Filosofia, sarà dedicato a valutare l’importanza di questo connettivo.

Lo stesso Sheffer aveva definito il suo connettivo “rifiuto”.,” ispirato dalla corrispondenza di questo connettivo con l’espressione linguistica “né-né”. Un altro nome che un tempo veniva utilizzato per questo connettivo è “dispersione”. Come abbiamo accennato, questo connettivo è oggi comunemente chiamato NOR o Freccia di Peirce. Sheffer ha chiamato “rifiuti” le variabili proposizionali che sono variabili correlate o input del connettivo. Piuttosto inopportunamente, diede al simbolo connettivo il nome “per” in analogia al nome del simbolo della divisione algebrica standard: in termini di algebra sottostante la moderna logica proposizionale, Tuttavia, non esiste un analogo booleano soddisfacente della divisione algebrica e, COSÌ, il nome “per” è fuorviante.

UN. La scoperta di Peirce

Si scopre che il logico e filosofo americano Charles Sanders Peirce (1839-1914) aveva già scoperto il connettivo logico che chiamiamo Colpo di Sheffer, nonché il relativo connettivo NOR (chiamato anche rifiuto congiunto, e, in modo abbastanza appropriato, Arrow di Peirce, con altri nomi in uso che sono Quine's Arrow o Quine's Dagger e oggi solitamente simboleggiati da ""). Il relativo manoscritto, risalente al 1880, numerato MS 378 in un'edizione successiva e intitolato “A Boolian [sic] Algebra con una costante” (Pierce, 1971), era effettivamente destinato allo scarto e fu recuperato per i posteri letteralmente al momento giusto nel 1926. Anche un testo frammentario di Peirce risalente al 1880 mostra familiarità con le notevoli caratteristiche metalogiche che rendono una singola funzione funzionalmente completa, e questo è anche il caso dell’incompiuta Logica dei minuti di Peirce (1902, cap. 3): questi testi furono infine pubblicati postumi (1933, vol. 4, pp. 13-18, 215-216.)

Peirce ha designato le due funzioni di verità, NAND e NOR, utilizzando il simbolo “” che chiamò Ampheck, coniando questo neologismo dalla parola greca ἀμφήκης che significa “di uguale lunghezza in entrambe le direzioni”. (Pierce, 1933: 4.264) Gli editori di Peirce hanno chiarito l’ambiguità dell’uso dei simboli assegnando “” al connettivo che chiamiamo Sheffer Stroke preservando il simbolo “” per NOR.

(Maggiori informazioni sul lavoro di Peirce in logica, compreso il riferimento al manoscritto del 1880, può essere trovato in un altro articolo dell'enciclopedia.)

Come fece Sheffer più tardi, Peirce capì che questi due connettivi possono essere usati per “ridurre” tutti i connettivi matematicamente definibili (chiamate anche “primitive” e “costanti”) della logica proposizionale: ciò significa che tutti i connettivi definibili della logica proposizionale possono essere definiti utilizzando solo lo Sheffer Stroke o NOR come singolo connettivo. Nessun altro connettivo (o funzione associata) che accetta una o due variabili come input ha questa proprietà. Standard, la logica proposizionale a due valori non ha funzioni unarie che abbiano la proprietà della completezza funzionale. Nella sezione successiva, esploreremo in dettaglio questa straordinaria proprietà logica. A prima vista, la disponibilità di questa opzione garantisce che sia possibile ottenere un risparmio di risorse, almeno in termini di quante funzioni o connettivi devono essere inclusi come non definiti. Purtroppo, c'è un compromesso tra questo guadagno in termini di economia delle risorse simboliche e la lunghezza ingombrante e l'apparenza piuttosto controintuitiva delle formule che utilizzano solo quello connettivo.

È caratteristico del genio logico di Peirce ed emblematico dei suoi contributi piuttosto sottovalutati allo sviluppo della logica moderna il fatto che egli abbia colto il significato della completezza funzionale e abbia capito quali funzioni di verità - fino all'arietà 2 - sono funzionalmente complete per proposizionali a due valori. logica. (A rigor di termini, questa è la proprietà della completezza funzionale debole, dato che trascuriamo se si possono definire costanti o funzioni zero-arie come 1 o 0.) Peirce aderiva a una visione semiotica, secondo cui la natura fondamentale e i compiti propri dello studio formale della logica sono definiti dalle regole stabilite per la costruzione e la manipolazione delle risorse simboliche. A proliferation of symbols for the various connectives that are admitted into the signature of a logical system suffers from a serious defect on this view: the symbolic grammar fails to match or represent the logical fact of interdefinability of the connectives. Peirce was willing sometimes to accept constructing a formal signature for two-valued propositional logic by using the two-members set of connectives , which is minimally functionally complete. This means that these two connectives—or, if we are to stick to an approach that emphasizes the notational character of logical analysis, these two symbols—are adequate expressively: every mathematically definable connective of the logic can be defined by using only these two; e l'insieme è funzionalmente completo in modo minimo, nel senso che nessuno di questi connettivi può essere definito dall'altro (COSÌ, come diciamo, sono entrambi indipendenti l'uno rispetto all'altro.) Il simbolo può essere visto come rappresentante di una funzione di verità costante (o unario o binario) che restituisce il valore di verità False per qualsiasi input o input. Oppure può essere considerato una costante, il che significa che è zero (ingresso zero) funzione, una funzione degenere, che si riferisce al valore di verità False. Anche se non usando la nostra terminologia contemporanea, Peirce ha scelto la seconda opzione. Questo insieme ha cardinalità 2 (ha esattamente due membri) ma non è la cosa migliore che possiamo fare. La scoperta di Peirce di quelle che abbiamo chiamato Funzioni di Sheffer (in modo anacronistico e ingiusto nei confronti di Peirce, ma inchinandosi alle convenzioni) dimostra che possiamo avere un insieme di cardinalità 1 (un insieme di un membro o un cosiddetto singleton) che è minimamente funzionalmente completo rispetto ai connettivi definibili della logica proposizionale a due valori. Così, uno dei seguenti set può fare. I set sono funzionalmente completi e, perché hanno un solo membro ciascuno, diciamo che i connettivi stessi hanno la proprietà della completezza funzionale. è il simbolo dello Sheffer Stroke o NAND ed è il simbolo della Peirce Arrow o NOR. (Precisiamo come tale, anche se non abbiamo introdotto formalmente la nostra grammatica.)

È importante mostrare, anche se brevemente, come queste funzioni possono definire altre funzioni. Approccio algebrico, si tratta di una questione di composizione funzionale ma non entriamo qui in questi dettagli. Avremo maggiori dettagli nelle sezioni successive. Casomai ci si chiedesse perché la soddisfazione di definire i connettivi dell'insieme che comprende i simboli di negazione, disgiunzione inclusiva, e congiunzione, vale a dire , c'è una spiegazione: c'è un facile, anche se informale, modo per dimostrare che questo insieme è funzionalmente completo. Non è minimamente completo dal punto di vista funzionale perché e sono interdefinibili. Ma è funzionalmente completo. Così, dimostrare che è possibile definire queste funzioni è sufficiente per raggiungere la completezza funzionale. La definibilità dovrebbe essere pensata come equivalenza logica: un connettivo può essere definito mediante altri se e solo se le formule nella definizione (cosa è definito e cosa sta definendo) sono logicamente equivalenti. (Presuppongono le definizioni vero-tabellari dei connettivi.)

b. La “Scoperta” e i Principia Mathematica

Bertrand Russell ha salutato questo sviluppo (che considerava la “scoperta” di Sheffer) e, con il coautore dei Principia Mathematica Alfred Whitehead, aggiunta un'intera sezione nella seconda edizione per sfruttare la scoperta. Russell non era a conoscenza del fatto che Peirce avesse già fatto la scoperta nel XIX secolo. Sollecitato da questi applausi e spinto dal peso di rinnovate attese, Sheffer, che non era un autore prolifico, tornò al compito di trarre ulteriore vantaggio dalla sua scoperta, ma non riuscì ad andare oltre il suo contributo iniziale.

Non solo Russell ha accolto favorevolmente questa scoperta, ma anche il pensatore oracolare e filosofo profondamente influente Ludwig Wittgenstein (Trattato, 1922) usò un linguaggio magniloquente nel celebrare la scoperta che il linguaggio formale “ideale” della logica standard può essere “ridotto” a un unico “primitivo”. Ciò che tutto ciò significa è discusso nella sezione sul significato del tratto di Sheffer per la logica matematica, Logica filosofica, e Filosofia. Altri due influenti autori di uno dei primi libri di testo di logica, David Hilbert e Wilhelm Ackermann, considerava questo sviluppo un dettaglio piuttosto insignificante.

Nonostante il clamore sul “singolo primitivo,Gli sforzi per sfruttare questo risultato per costruire versioni economiche della logica dei predicati furono scarsi. Senza dubbio, una ragione è che un sistema che avesse solo il tratto Sheffer come connettivo richiederebbe l'uso di espressioni stereotipate ingombranti. Sarebbero necessarie convenzioni di abbreviazione, come minimo. Un altro motivo di abbandono, almeno nel caso di Quine, era che era altrettanto preoccupato di generare altro, altrettanto parsimonioso, varianti notazionali della logica (comprese le grammatiche libere da variabili.) Era Moses Schönfinkel, uno dei creatori della logica combinatoria, che adottò lo Sheffer Stroke come singolo connettivo per costruire un idioma notazionale della logica dei predicati. (Vedi Bud, 2010.)

3. I connettivi logici della logica proposizionale standard e lo Sheffer Stroke

È giunto il momento di introdurre brevemente una variante notazionale o un idioma della logica proposizionale standard (SPL), all'interno del quale si può individuare la vera funzione NAND (o il colpo di Sheffer); facendo riferimento a questo linguaggio formale, si possono esaminare e spiegare le proprietà e il significato dell'ictus di Sheffer. Perché si vuole poter fare riferimento ad altri connettivi logici oltre allo Sheffer Stroke, in realtà si presenta una variante ampliata di SPL, che qui si chiama SPLexp. Parlare di SPLexp è all'interno di un frammento di inglese; questo frammento è arricchito con simboli appositamente designati e, come tale, funge da metalinguaggio (M.L) mentre SPLexp è il linguaggio degli oggetti (OL). Il prossimo obiettivo è ottenere simboli ML dall'OL, e questo viene fatto senza pericolo di ambiguità perché il contesto rende chiaro se si utilizza OL o ML. Come è consuetudine, quando i simboli vengono menzionati anziché utilizzati, sono racchiusi tra virgolette.

Il linguaggio formale SPLexp dispone di risorse simboliche per variabili proposizionali singole o atomiche (fino all'infinito dei numeri naturali), e per i connettivi logici. It also has auxiliary symbols, and parentheses to be used only for the sake of preventing ambiguity of well-formed expressions. The metalinguistic symbol “” means “___ is a member of set —”. For connectives, the expansive idiom includes symbols for all definable unary and binary connectives of the standard propositional logic. Per gli scopi attuali, there is no need to supply names for all the definable connectives denoted by these symbols. Definitions of the connectives are given by means of the familiar truth table. In breve,

PROPOSITIONAL VARIABLES
CONNECTIVE SYMBOLS

Standard grammatical conventions for the construction of well-formed formulas are used.

N is the set of natural numbers. “” denotes the truth value of a well-formed formula . Symbols from the object language are appropriated, confidando che il contesto rimuova l’ambiguità.

Ci sono 2 = 4 connettivi unari, e sono 2 elevati alla seconda potenza = 16 connettivi binari matematicamente definibili nello standard (a due valori) logica proposizionale. (Generalmente, se n è il numero di ingressi al connettivo, il numero di connettivi n-ari matematicamente definibili nella logica proposizionale standard è 2 elevato alla potenza n.)

Alcune equivalenze caratteristiche, che può essere verificato con il noto metodo delle tabelle di verità, Sono:

4. Proprietà del colpo di Sheffer

Un esame delle proprietà dello Sheffer Stroke inizia dopo aver adottato l'idioma formale SPLexp. I libri di testo introduttivi sulla logica di solito omettono i riferimenti alle proprietà speciali dello Sheffer Stroke; i testi di logica più avanzati e quelli di logica matematica o metalogica fanno sempre menzione speciale di questo connettivo e del suo duale, il connettivo NOR o Peirce Arrow. (Cosa significhi “dualità” in questo contesto verrà esaminato presto.)

Lo studente di logica apprende che lo Sheffer Stroke o NAND, come NOR, ha una caratteristica notevole che viene chiamata completezza funzionale o completezza espressiva. Nessun altro connettivo unario o binario, oltre allo Sheffer Stroke e al suo doppio NOR, ha questa proprietà. Nessun connettivo di arietà minore (così, zeroario o unario) ha questa proprietà, O. Quando si indagano logiche alternative, un compito metalogico fondamentale consiste nell'interrogare l'esistenza di funzioni funzionalmente complete, che possono essere chiamate funzioni di Sheffer. Le osservazioni attuali sono limitate a ciò che è noto come standard (a volte chiamato classico) logica: quando si tratta di logiche alternative o non classiche, non si deve presumere che il connettivo definito come negazione della congiunzione abbia la proprietà della completezza funzionale. (Va tenuto presente che la negazione e la congiunzione stesse hanno caratteristiche diverse, non standard, significati nelle logiche alternative poiché sono definiti su più dei due valori di verità della logica standard.)

Dopo aver definito la completezza funzionale, verrà dimostrato che effettivamente l'ictus di Sheffer (o NAND) possiede questa straordinaria proprietà. Bisogna chiedersi anche perché è così e perché questa è una caratteristica importante.

Questa proprietà, completezza funzionale o espressiva, non deve essere confuso con ciò che viene chiamato semplicemente “completezza”. Completezza in questo senso significa questo: rispetto a quelle che sono le verità logiche di un linguaggio formale , la cui relazione di conseguenza logica è simboleggiata come “”, un sistema di dimostrazione L è completo se e solo se la relazione di derivabilità di L, simboleggiato “”, è così:

se e solo se

Ciò equivale a:

non- se e solo se no-

All'incirca, ciò che questo significa è che un sistema completo, e solo un sistema completo, avrà fallimenti di prova o fallimenti di derivazione in tutti i casi, e solo nei casi, in cui ci si aspetta che il linguaggio semantico corrispondente non riesca a stabilire conclusioni semantiche o verità logiche. Pensa a una verità logica come a una conclusione semantica di qualsiasi verità, compreso il vuoto, insieme di locali.

C'è di più su questo argomento fondamentale di Metalogic in altri articoli (vedere Logica proposizionale e riferimenti lì), but caution is needed here to note that functional completeness is not related to that other concept called simply “completeness.”

A logical connective of a formal language is functionally complete with respect to if and only if every mathematically definable logical connective of can be defined in terms only of .

For the case of a binary connective that is functionally complete, all mathematically definable connectives can be defined by using only propositional variables and the connective .

If one wants to define functional completeness in terms of the familiar semantic device of the truth table, one can do so in the following way:

un connettivo è funzionalmente completo per il linguaggio della logica proposizionale standard se e solo se le tabelle di verità per tutti i connettivi matematicamente definibili (di qualsiasi arità) può essere costruito con etichette sulla freccia in alto aventi il simbolo for come unico simbolo connettivo.

Per esempio, questo può essere fatto utilizzando solo il simbolo Sheffer Stroke, , per certi connettivi familiari della logica proposizionale standard. Due tavole di verità sono considerate identiche se concordano su tutti gli output dei valori di verità corrispondenti alle stesse valutazioni (assegnazioni di valori di verità come input.) Così, la definizione nella tabella di verità di coincide con la tabella di verità con output come in "/" e la definizione nella tabella di verità di coincide con la tabella di verità la cui colonna di output è come in "/". Si noti che le etichette per / e / utilizzano variabili proposizionali e l'unico simbolo connettivo che utilizzano è quello di .

Una definizione alternativa ed equivalente è:

un connettivo è funzionalmente completo per il linguaggio della logica proposizionale standard se e solo se per ogni tavola di verità etichettata da una formula ben formata della logica esiste una tavola di verità identica la cui etichetta ha il simbolo Sheffer Stroke come unico simbolo connettivo.

(Due tabelle di verità sono identiche se concordano su ogni output di valore di verità corrispondente alle stesse assegnazioni di input di valore di verità.)

La domanda non banale che ora affrontiamo è se tali connettivi funzionalmente completi siano definibili e quanto in alto si debba ascendere in arità (a unario, binario, e così via) prima di trovare un connettivo funzionalmente completo. La risposta è che ci si può fermare al livello dei connettivi binari nel caso della logica standard a due valori: le funzioni di Sheffer (l'ictus di Sheffer e il NOR) Sono, each, functionally complete. I dettagli sono esaminati di seguito.

Si può anche definire la completezza funzionale come una proprietà di gruppi o insiemi di connettivi. Talvolta si trovano riferimenti alla completezza funzionale come proprietà dei sistemi di connettivi.

Un insieme di connettivi è funzionalmente completo rispetto a un linguaggio formale se e solo se ogni connettivo matematicamente definibile può essere definito utilizzando solo membri di .

Tale insieme è quindi esso stesso membro dell'insieme degli insiemi funzionalmente completi del linguaggio, . Così, utilizzando "" come simbolo di appartenenza al set,

Ciò significa che il set di un membro (insieme singleton) con il tratto di Sheffer come unico membro è un insieme funzionalmente completo o è un membro dell'insieme di insiemi funzionalmente completi.

Di particolare interesse è un sottoinsieme proprio degli insiemi funzionalmente completi di connettivi : set che sono funzionalmente completi in modo minimo o non ridondante, . Ecco cosa significa.

Un insieme di connettivi logici è minimamente completo dal punto di vista funzionale (MFC) se e solo se è funzionalmente completo (FC) ed è anche vero che nessun connettivo nell'insieme può essere definito utilizzando altri connettivi nell'insieme.

Se è così, quindi ogni connettivo dell'insieme è indipendente dagli altri connettivi o semplicemente indipendente.

Ora, considerare l'insieme composto solo dal connettivo Sheffer Stroke:

Questo set è funzionalmente completo. Poiché ha un solo membro, questo set deve essere MFC (minimamente completo dal punto di vista funzionale) se è FC (functionally complete). Questo perché esiste un solo connettivo; COSÌ, è impossibile definirlo in termini di altri connettivi dell'insieme: questo connettivo deve essere indipendente! Ci sono esattamente due di questi singleton MFC nella logica proposizionale standard (fino ai connettivi binari):

Questa sezione si conclude evidenziando alcune altre proprietà possedute dal connettivo Sheffer Stroke. Questo viene fatto perché avere tali proprietà è la ragione di fondo per cui il connettivo Sheffer Stroke è funzionalmente completo. Questa breve indagine su tali proprietà e su come sono correlate alla completezza funzionale racchiude i risultati stabiliti dai matematici Emil Post (1921, 1941) e William Wernick (1942).

1. Prima di esaminare la relazione tra completezza funzionale e alcune altre proprietà logiche dello Sheffer Stroke, c'è un modo semplice per stabilirlo

è FC (functionally complete). Per fare questo, si consideri come si possa utilizzare la definizione tabulare di verità di qualsiasi connettivo per estrarne la forma normale disgiuntiva (DNF). Ecco un esempio. Lo stesso si può fare con qualsiasi connettivo indipendentemente dalla sua arità. Questo esempio è di un connettivo ternario o triposto. Colonne extra vengono aggiunte alla tabella della verità a scopo illustrativo. In queste colonne i valori di verità delle singole variabili proposizionali sono tracciati lungo le righe in cui il connettivo riceve T come valore di verità; Poi, viene mostrato come si forma il DNF.

Consideriamo la forma normale disgiuntiva (DNF) del connettivo ternario dato. Il metodo è questo: formano congiunzioni delle variabili proposizionali atomiche su ciascuna riga in cui il connettivo riceve il valore di verità T; le variabili vengono scritte come visto nella riga aggiunta dell'esempio. Quindi forma la disgiunzione inclusiva delle congiunzioni costruite nel passaggio precedente. Sulla base di questa tabella della verità e del DNF che può essere ottenuto, la definizione di tale connettivo in DNF potrebbe essere data come segue:

Una nota sulla grammatica formale: Si sfrutta l'associatività della congiunzione, disgiunzione ed equivalenza inclusiva per omettere parentesi non necessarie senza ambiguità: quando un connettivo è associativo, “(" e " " sono equivalenti; quindi, possono essere scritti entrambi come “”. Notare l'omissione delle parentesi esterne.

Perché quanto sopra può essere fatto per qualsiasi connettivo, si può concludere che l'insieme

è FC (functionally complete): qualsiasi connettivo matematicamente definibile del linguaggio proposizionale può essere definito utilizzando solo connettivi dell'insieme . Ciò include i connettivi unari. Primo, notare che la negazione è inclusa nell'insieme . Anche gli altri tre connettivi unari sono definibili come mostrato di seguito.

E quando si tratta di connettivi di arità , la tavola di verità mostra come definirli utilizzando solo i connettivi dell'insieme , come sopra.

L'insieme

è funzionalmente completo, come appena stabilito, ma non è minimamente completo dal punto di vista funzionale. C'è ridondanza perché i connettivi congiunzione e disgiunzione inclusiva sono interdefinibili come si può vedere alla luce delle seguenti cosiddette equivalenze di DeMorgan:

I due set successivi non sono solo FC (functionally complete) ma anche MFC (minimamente completo dal punto di vista funzionale):

Consideriamo ora l'ictus di Sheffer. In order to show that the set is FC, show that negation and either conjunction or inclusive disjunction are definable in terms of the Sheffer Stroke. Because and are, each, functionally complete, if the symbolized connectives in any one of these sets are definable in terms of the connective in , then this latter set also must be functionally complete.

It can be shown that, Infatti, negation and inclusive disjunction, as well as conjunction, are definable in terms of the Sheffer Stroke. The truth table method can be used to verify that the following equivalences indeed obtain:

These equivalences can be justified in another way. Taking advantage of certain valid equivalences of the standard propositional logic, which are used to make replacements of phrases by their equivalents without alteration to truth value, uno ha:

2. Emil Post (1921, 1941; vedi anche Pelletier e Martin, 1990) ha dimostrato che qualsiasi insieme di connettivi logici definibili della logica proposizionale standard è funzionalmente completo se e solo se non è un sottoinsieme di nessuno dei seguenti insiemi di connettivi:

l'insieme dei connettivi monotoni (MC());
l'insieme delle lineari (detto anche numerabile, conteggio, o affine) connettivi (l());
l’insieme dei connettivi autoduali (SD());
l’insieme dei connettivi che preservano la verità (TP());
e l'insieme della falsità- (o falsità-) preservando i connettivi (FP()).

Se un singolo connettivo logico deve essere funzionalmente completo da solo (o se l'insieme singleton con la funzione simboleggiata da come unico membro è funzionalmente completo), allora la funzione deve essere priva di tutte le proprietà dei connettivi di cui sopra. In altre parole,

non dovrebbe essere monotono;
non dovrebbe essere lineare;
non dovrebbe essere auto-duale;
non dovrebbe preservare la verità;
non dovrebbe preservare la falsità.

Dopo aver brevemente definito queste interessanti proprietà, lo si può dimostrare, tra connettivi binari definibili, solo le funzioni Sheffer (lo Sheffer Stroke o NAND e il Peirce Arrow o NOR) mancano di tutte queste proprietà quando si considerano tutti i connettivi unari e binari definibili della logica proposizionale standard. Se si sta esaminando un insieme di funzioni per determinare se è funzionalmente completo, verificare che sia presente almeno una funzione nel set, a cui manca una delle proprietà di cui sopra; ed eseguire questo controllo per ciascuna proprietà. Così, bisogna garantirlo, per ciascuno degli immobili di cui sopra, c'è almeno una funzione a cui manca questa proprietà.

Si può affrontare brevemente l’analisi più approfondita dietro questo risultato fondamentale, che può essere chiamato il risultato post (mentre il test sopra presentato può essere chiamato Post Test): Tutte le proprietà enumerate sono le cosiddette Proprietà Ereditarie. Ciò significa che se una funzione (o corrispondente connettivo semantico) ha una proprietà come questa, quindi anche tutte le funzioni che possono essere definite utilizzando only devono avere questa proprietà. Ciò significa che ciascuna di tali proprietà ereditarie è “ereditata” necessariamente da tutte le funzioni che sono definite unicamente mediante la funzione che ha . Ma queste proprietà ereditarie non sono caratteristiche di tutte le funzioni definibili. In altre parole, ci sono funzioni definibili che mancano , per ciascun patrimonio ereditario . Questo spiega il risultato di Post. Una funzione che può infatti definire, semplicemente da solo, tutte le funzioni definibili non dovrebbero avere nessuna delle proprietà ereditarie perché, se avesse una proprietà del genere, lo trasmetterebbe necessariamente ad ogni funzione che definisce; Ma, Poi, la funzione non può definire funzioni prive di questa proprietà.

Monotonia:

Consideriamo il caso delle funzioni binarie, vista la presente indagine. Si noti che queste definizioni di proprietà si applicano alle funzioni n-arie in generale. Si noti inoltre che i due valori di verità

sono ordinati in modo che il valore di verità indicato con “F” sia inferiore a quello indicato con “T”. La tabella sottolinea questo punto:

Questo è chiamato ordinamento parziale e, come relazione, può essere definito in teoria come:

Una funzione binaria

è monotono se e solo se, per tutti i valori di input :

Se e , Poi

Cosa significa questo nel nostro caso di connettivi logici binari? C'è una prova, che segue da questa definizione, per determinare se un dato connettivo binario è monotono o meno. Il test va così. Inizia scrivendo le coppie di input per i valori di verità (<>) utilizzando uno schema come mostrato di seguito. Questo diagramma dispone le coppie di valori di verità in modo che le frecce mostrino l'ordinamento appena menzionato. Prossimo, scrivere come apice per ogni coppia di valori di input il valore di verità assunto dal connettivo per quella coppia. Per esempio, per congiunzione si ha

Per il colpo Sheffer (come si può verificare dalla sua tavola di verità), uno ha:

C'è fallimento della monotonia se e solo se c'è almeno un caso in cui si può procedere lungo le frecce da una T ad una F in apice. Questo tipo di diagramma viene utilizzato di seguito per mostrare che la corsa di Sheffer non è monotona.

Poiché ci sono casi in cui c'è uno spostamento del valore di verità del connettivo da T a F man mano che si scende, le frecce rosse, si può dedurre che questo connettivo non è monotono.

L'insieme dei connettivi monotoni unari o binari è:

Lo Sheffer Stroke non è tra questi. Allo stesso modo, lo Sheffer Stroke non rientra tra gli altri tipi di connettivi sopra individuati. E, COSÌ, dal risultato di Post, lo Sheffer Stroke è funzionalmente completo.

Linearità:

Un connettivo logico è lineare (detto anche numerabile, conteggio, o affine) se e solo se è vero che tutti o nessuno degli input proposizionali influenzano il valore di verità dell'output. Ciò significa che per un connettivo lineare, e solo nel caso di tale connettivo, per ciascuno dei suoi input, la modifica del valore dell'input si traduce in uno dei due casi seguenti: o il valore di uscita cambia sempre oppure non cambia mai. Per gli scopi attuali, concentrarsi sui connettivi unari e binari e procedere direttamente alla presentazione di un test che può essere utilizzato per determinare se un connettivo è lineare o meno. Ecco come funziona il test: Verifica i casi in cui i connettivi assumono T come valore di verità. Chiamateli i casi T. Allo stesso modo, chiamate gli altri casi F. Quindi conta il numero di variabili di input che accettano T. Se, e solo se, il connettivo è lineare, questo numero è sempre pari per i casi T e dispari per i casi F, oppure è sempre strano per i casi T e anche per i casi F. Si può dimostrare che questo non è il caso dello Sheffer Stroke. Quindi, il colpo Sheffer non è numerabile.

La regola è violata. Le variabili di input che prendono T sono pari quando il connettivo prende T come valore di verità; ma per i casi in cui il connettivo assume F come valore di verità, c'è una miscela di numeri pari e dispari di variabili di input che sono T. Quindi, lo Sheffer Stroke non è un connettivo lineare.

I connettivi lineari unari e binari sono i seguenti, e l'ictus di Sheffer, Ancora, non è tra questi.

Auto-dualità:

Consideriamo il caso dei connettivi unari e binari. Il duale di un connettivo unario o binario, ( e ( rispettivamente, può essere definito come segue:

Interessante, il duale dello Sheffer Stroke è l'altra funzione Sheffer, NÉ.

Ora, un connettivo ha la proprietà dell'autodualità se e solo se è il proprio duale. Come appena visto, il duale dello Sheffer Stroke è l'altra funzione Sheffer, NÉ; quindi, il colpo di Sheffer non ha la proprietà dell'auto-dualità. Non è tra i membri dell'insieme dei connettivi autodualali unari e binari della logica proposizionale standard.

SD(

Preservazione della verità e preservazione della menzogna:

Finalmente, consideriamo le due rimanenti proprietà dei connettivi, di interesse per questi scopi: preservazione della verità e preservazione della menzogna. Si può dimostrare ancora una volta che anche lo Sheffer Stroke è privo di queste proprietà.

Un connettivo preserva la verità se e solo se fornisce il valore di verità T per tutti i casi in cui tutti i suoi input variabili sono T.

Nel caso generale di un connettivo n-ario, uno ha:

Un connettivo preserva la falsità se e solo se fornisce il valore di verità F per tutti i casi in cui tutti i suoi input variabili sono F.

I connettivi unari e binari che preservano la verità e preservano la falsità della logica proposizionale standard sono forniti di seguito, e, Ancora una volta, the Sheffer Stroke is not among them.

TP(
FP(

The same tests could be applied on the other Sheffer function, the NOR connective, to show that this connective is also excluded from all these sets. No other unary or binary connectives would be excluded from all these sets. Perciò, the Sheffer Stroke and NOR are functionally complete and are the only connectives (among unary and binary connectives) that are functionally complete.

It can be shown that any logical connective, regardless of arity, is functionally complete if it has a property that is called complete symmetry. (see Bimbó, 1992)

It can then be ascertained that no unary connectives have this property and that the only binary connectives that have the property are the two Sheffer functions.

Un connettivo logico binario è completamente simmetrico se e solo se valgono le seguenti condizioni. (“” indica il valore di verità.)

Nella letteratura, altri connettivi funzionalmente completi (o, Piuttosto, le relative funzioni booleane) sono chiamate anche funzioni di Sheffer. Ciò vale nel caso di logiche non standard o alternative, ma questi non rientrano nell'ambito di questo articolo. Nel caso della logica proposizionale standard, una funzione di Sheffer è una funzione di qualsiasi arità n (n2) questo è, preso da solo, functionally complete. Il fatto rilevante da considerare è questo: Indipendentemente dall'arietà, un connettivo è funzionalmente completo se è completamente simmetrico. Questo risultato si applica solo nel caso della norma (a due valori) logica proposizionale.

Viene ora data la definizione di connettivo n-ario completamente simmetrico:

Per tutti gli altri casi (questo è, quando non sono tutte T o tutte F):

Ecco uno schizzo suggestivo di una dimostrazione del fatto funzionalmente completa in quanto completamente simmetrica. (see Bimbó, 1992)

Assumere un connettivo n-ario completamente simmetrico, . Ora, prendiamo il caso della tavola di verità per la quale è possibile costruire

. Questa tabella di verità deve avere solo quattro righe, poiché ci sono esattamente due variabili proposizionali; avrà n colonne poiché la funzione è n-aria.

Considera i risultati della tabella di verità sopra.

Poiché il connettivo è completamente simmetrico, deve restituire o produrre gli stessi valori di verità (o T o F) per i valori di input e . Ciò produce esattamente due casi: uno in cui i due valori di verità sono T e un caso in cui i due valori di verità sono entrambi F. Il primo caso ha la tavola di verità per l'ictus di Sheffer; il secondo caso ha la tavola di verità per il connettivo NOR. Così,

UN. , o
b.

In entrambi i casi, il connettivo può essere definito in termini di connettivo funzionalmente completo (o lo Sheffer Stroke o il NOR).

Di conseguenza, ogni funzione definibile può essere definita in termini di poiché è essa stessa definibile in termini di un connettivo funzionalmente completo. Ciò dimostra che è esso stesso funzionalmente completo.

Applicare il Post Test per determinare se un dato insieme di funzioni è funzionalmente completo,il che significa che utilizzando solo le funzioni del set, tutte le funzioni matematicamente possibili del linguaggio formale possono essere definite. Ci sono esempi di insiemi di funzioni della logica proposizionale standard, che sono funzionalmente completi, e si vede come mancano i membri di questi insiemi, presi insieme, le proprietà ereditarie sopra discusse. Il colpo di Sheffer, e la freccia di Peirce, mancano di tutte quelle proprietà; pertanto, i set unipersonali che hanno come singoli membri lo Sheffer Stroke o la Peirce Arrow sono funzionalmente completi. D'altra parte, alcuni insiemi non sono funzionalmente completi perché alcune delle proprietà ereditarie identificate non mancano a nessuna funzione dell’insieme dato. “TP” abbrevia “Preservatività della Verità”, “FP” abbrevia “Falsehood-Preservativeness”, “SD” abbrevia “Self-Duality”, “M” abbrevia “Monotonicità”, e “L” abbrevia “Linearità”. Mancando l'immobile è indicato con “x” mentre avendo l'immobile è indicato con “+”. Così, cercare un insieme che abbia una "x" sotto ogni proprietà sulla riga se questo insieme deve essere funzionalmente completo.

Si può dimostrare che lo Sheffer Stroke possiede la proprietà di completezza funzionale esaminando la sua rappresentazione polinomiale, introdotti nella sezione 1a; e il risultato è:

La linearità può essere definita per le rappresentazioni polinomiali delle funzioni come assenza di prodotti moltiplicativi dal polinomio. (Ciò significa anche che tutte le funzioni unarie definibili sono lineari poiché hanno la forma generale

Così, nessuna funzione unaria può essere funzionalmente completa poiché deve essere lineare.) Esaminando la rappresentazione polinomiale dello Sheffer Stroke vediamo che non è lineare poiché contiene un prodotto moltiplicativo. Perciò, manca della proprietà ereditaria della linearità.

Prossimo, mostrano che manca anche di monotonicità.

Prossimo, stabilire che lo Sheffer Stroke non è auto-duale. Per una funzione binaria in forma polinomiale, la condizione di auto-dualità può essere data come segue.

Infatti, il duale dello Sheffer Stroke è l'altra funzione binaria funzionalmente completa, la freccia di Peirce, la cui rappresentazione polinomiale è infatti:

Finalmente, si può dimostrare che l'ictus di Sheffer non preserva la verità e non preserva la falsità.

5. Importanza del tratto di Sheffer per la logica matematica, Logica filosofica, e Filosofia

Il significato del connettivo Sheffer Stroke per la logica matematica e la metalogica (lo studio dei sistemi logici formali) risulta evidente dalle osservazioni fatte nella sezione precedente riguardo alle proprietà di questo connettivo. Queste proprietà sono condivise dal suo duale, the NOR connective. Questi due connettivi sono gli unici connettivi binari funzionalmente o espressivamente completi. Sono anche i primi connettivi di questo tipo scoperti ad avere questa proprietà quando si ascende da connettivi zeroari o unari. L'esame di tali proprietà appartiene a ciò che è noto come Metalogico (a volte chiamata Metateoria). La possibilità di economizzare nell'uso delle risorse teoriche attrae molto matematici e scienziati. Il principio ampiamente noto come il rasoio di Occam afferma approssimativamente che le entità stabilite non dovrebbero essere moltiplicate oltre il minimo indispensabile affinché una teoria proposta sia pienamente costruibile.. L'economia o la parsimonia rispetto alle risorse di una teoria è considerata una virtù ed è richiesta metodologicamente nel senso che, tra due teorie che hanno uguale potere esplicativo e/o applicazioni, bisognerebbe adottare quello più parsimonioso. Non si sostiene che abbiamo una visione indipendente dell’argomento affrontato dalle teorie (per esempio la “natura” o una struttura pre-teorica della realtà indipendente.) Ciò che si sostiene è semplicemente che la parsimonia o economia delle risorse è un requisito metodologico e teorico che le buone teorie devono soddisfare.

Sistemi logici formali, e linguaggi formali, hanno risorse espressive simboliche. L’uso economico di tali risorse significa utilizzare nella costruzione e nell’implementazione della teoria il minor numero possibile di risorse senza perdere alcun potere di espressione sistemica. Idealmente, L’economia impone che venga utilizzata solo una risorsa di un certo tipo, se tale risorsa è disponibile o definibile ed è efficace nella costruzione di tutte le restanti risorse espressive. Nel caso dei simboli connettivi di un linguaggio formale di logica proposizionale, questa riduzione a un simbolo efficace si rivela fattibile nel caso della logica proposizionale standard: quindi, il significato rivelatore della scoperta di Sheffer (Quale, come visto, era già stato raggiunto da Peirce.) Perché la riduzione sia efficace, Ovviamente, deve essere così anche per tutti gli altri connettivi (di qualsiasi arità ) deve essere definibile in termini di singolo simbolo connettivo; in questo modo tutti gli altri connettivi possono essere eliminati come risorse espressive senza causare una perdita della capacità di esprimere ciò a cui quei simboli si riferiscono. Così, Per esempio, invece di "", si può scrivere “”, e lo stesso per tutti gli altri simboli connettivi.

I vantaggi ottenuti dalla riduzione delle risorse possono essere concreti nel caso di implementazioni o applicazioni di sistemi formali. Per esempio, nella costruzione di porte logiche nei circuiti elettronici, i tipi di gate NAND e NOR sono le interpretazioni elettronico-teoriche delle stesse funzioni booleane che vengono interpretate proposizionalmente come i connettivi Sheffer. Come ci si dovrebbe aspettare, NAND e NOR sono porte universali. Ciò significa che qualsiasi porta teoricamente definibile può essere effettivamente costruita utilizzando solo porte NAND o solo porte NOR. Scoperte di questo tipo segnalano che una riduzione della complessità è fattibile, e questo risultato può avere vantaggi economici e di design.

In pratica, il vantaggio sostenuto da questa riduzione è controbilanciato dal fatto che scrivere espressioni ben formate diventa proibitivamente ingombrante se viene utilizzato solo un tipo di simbolo connettivo. Per esempio, nella storia della logica moderna, La variante notazionale di Gottlob Frege non ha mai avuto la possibilità di essere ampiamente adottata a causa delle esigenze praticamente ingestibili che poneva all’esecuzione tipografica. Si può pensare a questa sfida come a un compromesso tra economia delle risorse e comodità di notazione. Oppure il compromesso è tra la riduzione del tipo di risorsa (per esempio, cancello) usato e necessario, da un lato, e la lunghezza o estensione delle costruzioni che dovranno essere realizzate, dall'altro. Per esempio, per ritornare alla logica proposizionale, per esprimere una formula ben formata come “” in termini di un singolo simbolo connettivo, , è necessario scrivere la formula ben formata equivalente molto più lunga mostrata di seguito. La versione notazionale utilizzata in questo modo è significativamente più ingombrante di una versione notazionale (una grammatica) che consuma di più, non meno, simboli connettivi. Considera la formula

È possibile adottare convenzioni che ne rimuovano in una certa misura la complessità. Per esempio, stabilendo che “” deve essere scritto come “”, consente la semplificazione della formula di cui sopra a

È meno ovvio se vi sia un significato filosofico più profondo nel fatto che un connettivo come il Colpo di Sheffer sia disponibile in un sistema logico.. Whitehead e Russell espressero un entusiasmo sconfinato per la scoperta di Sheffer, accennando solo al significato di fondo di ciò adottando il simbolo connettivo nella seconda edizione dei Principia Mathematica. D'altra parte, altri due scrittori pionieristici di libri di testo di logica, Hilbert e Ackermann, non rimasero impressionati e riferirono dello Sheffer Stroke come se si riferissero a curiosità. Certamente, le funzioni di Sheffer non si aggiungono in alcun modo al sistema logico della logica proposizionale standard. La semplificazione che essi rendono possibile è una questione interna. Se ci sono altre logiche per le quali, ipoteticamente, Le funzioni Sheffer non sono disponibili, ciò non significa automaticamente che ci sia qualcosa di sbagliato in questi altri sistemi nella misura in cui vengono valutati come lingue formalmente costruite.

It was the influential thinker Ludwig Wittgenstein who attributed far-reaching significance to the fact that Sheffer functions are available. He did this in a somewhat obscure fashion in an influential logical-philosophical work.

UN. Il Tractatus di Wittgenstein e il colpo di Sheffer

In his Tractatus Logico-Philosophicus (1922, 5.1311, 6.001) Wittgenstein extolled the significance of the Sheffer functions, hinting that discovery of the functions vindicates some of the seminal claims he was raising in this famous text. It is not clear that Wittgenstein knew that there are two binary functions with the same property of being functionally complete. Wittgenstein’s connective symbol may appear, at first blush, to be the same symbol as NOR, which is the connective used by Sheffer himself in his alternative axiomatization of Huntington’s system. Il connettivo di Wittgenstein è stato scambiato come tale anche da Bertrand Russell, ma questo è un errore. Wittgenstein utilizza una funzione piuttosto eccentrica, noto in letteratura come operatore N, che ha attirato l'attenzione e ha persino portato a controversie. Anche se non è questa la sede per entrare nei dettagli, qualche parola è d’obbligo sull’operatore N di Wittgenstein che non è l’operatore sentenziale NOR anche se ad esso si ispira. Uno studio tecnico dell'argomento è fornito da Soames (1983; vedi anche Ciascuno, 1981.)

L’operatore N di Wittgenstein è definito su un insieme aperto di variabili proposizionali. Perché il linguaggio che serve è quello della logica del primo ordine o dei predicati, un atomo di variabile proposizionale è un simbolo di predicato, di qualsiasi arità n, accompagnati da n costanti individuali, che hanno tutte come referenti specifici membri dell'universo del discorso (o dominio.) È un problema aperto per il linguaggio di Wittgenstein (la cui specificazione grammaticale è rudimentale) che l'insieme del dominio può o meno avere un numero numerabile infinito di soggetti. Assumendo un dominio finitario per questa breve escursione, e tieni presente che qualunque soluzione sia disponibile per risolvere i problemi con l'operatore di Wittgenstein, non sono efficienti nel caso di un dominio infinito. Considera una grammatica che comprende lettere simbolo per 22, costanti individuali, predicato (non logico) costanti, e il simbolo dell'operatore. (Questi non sono i simboli di Wittgenstein. Invece legifera:

dove l'accento circonflesso allude alla modalità ricorsiva di definire quali espressioni siano grammaticalmente corrette. He uses “ξ” instead of “z” for molecular, not necessarily atomic, well-formed formulas.)

Poi, application of the N-operator is, per definizione, to negate all atomic propositions

in the set. This means that the N-operator can be defined through the following logical equivalences (insofar as the additional symbols are allowed in the metalanguage). The symbols for the existential and universal quantifier are “” and “”. These are missing from Wittgenstein’s language which is more parsimonious; Ma, come si vedrà, Wittgenstein’s language, constructed on the N-operator, is expressively incomplete! Prendere, as example, the case of a unary predicate constant:

One could then proceed to iterated applications of the N-operator, which will now give a clue as to how Wittgenstein’s operator is expressively incomplete.

Il linguaggio simbolico non può classificare più di una variabile individuale nell'ambito di un'altra variabile. Può esprimere una formula come la seguente:

Ma il linguaggio non ha le risorse per esprimere formule come la seguente, per i quali è richiesta la differenziazione delle singole variabili all'interno degli ambiti:

Interessante, la lingua manca anche di risorse per esprimersi . Come mostra Soames (1985), il difetto può essere corretto adottando qualche convenzione simbolica aggiuntiva che consenta la differenziazione delle singole variabili all'interno degli ambiti. Così, ironicamente, L’analogo costruito da Wittgenstein a una funzione di Sheffer, il suo operatore N, manca di completezza espressiva. Il set elimina la necessità di altri simboli connettivi, e anche per i simboli quantificatori (di cui Wittgenstein pensa siano definiti attraverso la disgiunzione o congiunzione inclusiva, ancora una volta ignorando la prospettiva di un dominio infinito); Ancora, il linguaggio non può esprimere tutte le formule costruibili della logica del primo ordine. Era Moses Schöfinkel, il creatore della logica combinatoria, (Bimbo, 2010) che ha costruito un linguaggio funzionalmente completo per la logica del primo ordine utilizzando una funzione di Sheffer.

Per concludere, considerare la discussione sulla completezza funzionale, come sostiene Wittgenstein nel Tractatus, mettendo da parte le vicissitudini del suo linguaggio simbolico. Sebbene Wittgenstein sostenesse che l'argomento principale del suo Tractatus è etico, il lavoro esamina una pletora di argomenti filosofici e logici. Uno degli obiettivi principali del lavoro, spesso discusso, è delimitare i limiti del linguaggio; ciò che non può essere espresso dal linguaggio può essere “mostrato”.,”come notoriamente sosteneva Wittgenstein. Il presente argomento si inserisce nella discussione del Tractatus sulla natura della logica proposizionale e sulla sua relazione con il compito di delucidazione del significato. (Vedi Wittgenstein.)

Irrompendo sulla scena sulla scia dei progressi della logica moderna compiuti da Frege e Russell, il Tractatus è notevole per i suoi contributi alla discussione filosofica della nuova logica come strumento per la chiarificazione del significato logico. Wittgenstein in seguito abbandonò l’obiettivo dell’opera di costruire un linguaggio formale ideale che fosse “isomorfo” al mondo dei fatti empiricamente accertabili.; si allontanò anche da una versione della Teoria della Verità per Corrispondenza che sembra essere alla base del Tractatus.

Nel Trattato, Wittgenstein spiega che la logica delle nostre teorie sul mondo non deve essere ricercata nel mondo. Supponiamo che "A" simboleggi la proposizione espressa dalla frase "la neve è bianca" e "B" simboleggia la proposizione "la neve è una specie di precipitazione". Assumiamo anche per i nostri scopi attuali che la verità o la falsità delle proposizioni A e B debbano essere stabilite facendo riferimento a fatti empirici. Accade così in questo esempio che entrambe le proposizioni, espresso dalle due frasi inglesi, sono veri nella nostra realtà, empiricamente accessibile, mondo. Ora forma la proposizione composta “A e B”. Questa nuova proposizione deve essere vera perché entrambe le proposizioni che la compongono sono vere. Ciò è evidente perché il significato di “e”. Ma come si fa a saperlo?? Il mondo empirico stesso non ci viene in aiuto. Lo sappiamo indipendentemente dall’esperienza empirica: quello che sappiamo è che qualsiasi proposizione composta della forma logica “p e q” deve essere vera se, e solo se, entrambi i suoi componenti, le proposizioni individuali o atomiche p e q, sono vere. Così, dati p e q, la conclusione “p e q” segue validamente: è logicamente impossibile avere un caso in cui le premesse date siano tutte vere ma la conclusione sia falsa. Tuttavia, il significato logico di qualsiasi proposizione congiuntiva della forma logica “p e q” è identico alle sue condizioni di verità che comprendono le determinate relazioni tra le assegnazioni di valore di verità ai componenti (se p e q sono veri o falsi) il valore di verità funzionalmente determinato dell’intera congiunzione. Così, il fatto empirico che la frase congiuntiva sia vera nel nostro mondo reale è irrilevante dal punto di vista del significato logico (le condizioni di verità) della forma logica esemplificata dalla frase “la neve è bianca e la neve è una forma di precipitazione”. La dipendenza dalla valutazione

è una delle quattro combinazioni logicamente possibili che comprendono le condizioni di verità della forma logica congiuntiva:

Il mondo reale non è logicamente privilegiato, e la presunzione di Wittgenstein secondo cui è possibile realizzare una mappatura isomorfa, che produrrebbe un linguaggio ideale di ampia applicabilità, era destinato ad essere frustrato. Tralasciando questo aspetto un po’ metafisico, cosa che in seguito anche Wittgenstein ignorò, il Tractatus contiene un'astuta comprensione e analisi dello strumento logico formale che è emerso dai moderni sviluppi matematici. Il contributo di Wittgenstein alla discussione sulla completezza funzionale rientra in questo aspetto del lavoro.

Wittgenstein sottolinea che “interno,” o “strutturale,Le caratteristiche delle forme proposizionali spiegano la preservazione della verità dalle premesse congiunte fino alla conclusione di una forma argomentativa valida. Sono le caratteristiche strutturali che tengono conto, per esempio, per l’equivalenza di significato logico tra due proposizioni qualsiasi. Ciò significa che le proposizioni hanno forme che ricevono gli stessi valori di verità per le stesse valutazioni (assegnazioni di valori di verità ai loro componenti.) Casi o valutazioni (also called interpretations and models) are determined by assigning truth values, true and false, to all the components of a propositional form. Wittgenstein uses the term “truth grounds” and “(logicamente) possible worlds” when referring to truth value assignments or valuations. Wittgenstein says that “these relations are internal and they exist as soon as, and by the very fact, that the propositions exist.” (1922, 5.13) The next thesis in Wittgenstein’s text (5.1311) is the one in which he uses his N-operator. The point made there is now presented roughly: having briefly examined the complications that arise out of Wittgenstein’s definition of an N-operator, one adjusts, Invece, to a propositional language, pretending that Wittgenstein actually used the NOR function to make his case. In questo modo non si perde nulla perché il punto è illustrare le osservazioni di Wittgenstein sul significato degli operatori funzionalmente completi piuttosto che approfondire ulteriormente i dettagli relativi all'operatore N stesso.

Considera una forma argomentativa valida:

Il nome usuale di questa forma argomentativa valida è Sillogismo Disgiuntivo. Questa non è una serie di forme proposizionali; è uno schema, e quindi c'è qualcosa come una ricetta su come procedere correttamente quando si traggono inferenze. Wittgenstein sottolinea che le convenzioni del simbolismo possono creare l'impressione sbagliata che non esista alcun interno, connessione strutturale che attraversa tutte le forme proposizionali; che c'è qualcosa di nuovo produttivo introdotto dal multiplo (connective) simboli. Questo, Tuttavia, sarebbe sbagliato. Il fatto accidentale che vengano utilizzati molti simboli diversi è ciò che è fuorviante. Inoltre, Wittgenstein ha obiezioni filosofiche al lavoro dal lato semantico della costruzione di sistemi logici, e questo ha delle conseguenze per l’argomento in discussione. Wittgenstein considera i tentativi semantici privi di senso: per esempio, per specificare il referente della congiunzione, per ottenere una semantica funzionante, commette l'assurdità di parlare di elementi extra-empirici e, Infatti, su cose di cui non si può parlare. Questo modo di pensare mostra alcuni presupposti filosofici sottostanti, che vanno oltre lo scopo di questo articolo, ma il problema che si pone è questo: The construction of a logical system is to be understood as a matter of specifying formal-grammatical rules for concatenating and transforming the available symbolic resources of the system. Per questo motivo, the failure of the grammatical or syntactical setup to show perspicuously what happens in logical operations is serious. Quindi, it is imperative to show solely by manipulating the symbolic resources that there is an internal structural connection that relates all possible transformations. This is accomplished by using only one functionally complete operator symbol. This is the reason Wittgenstein extols the “discovery”. Even if one opts to multiply connective symbols, because of the greater simplicity and even intuitive appeal gained in that way, è ancora cruciale riuscire a dimostrare che è sufficiente un solo simbolo connettivo. Infatti, come è noto dallo studio di completezza funzionale di cui sopra, si sarebbe potuto optare per l'eliminazione di tutti i simboli connettivi tranne uno, una delle funzioni Sheffer. Consideriamo inoltre come si debba affermare che il simbolismo del connettivo singolo rivela qualcosa di più profondo sulla logica stessa.

Le proprietà logiche sono caratteristiche strutturali delle forme: così, si può avere tautologo, contraddittorio, e indeterminato (detto anche contingente e indefinito) forme proposizionali. Tutte le tautologie dovrebbero avere lo stesso referente che, nell'analisi fregeana, è il valore di verità vero. Se i referenti semantici vengono rifiutati, Tuttavia, ciò lascia i mezzi grammaticali per mostrare il crollo di tutte le tautologie, vale a dire che hanno tutti il significato logico. Lo stesso vale per tutte le forme logiche contraddittorie; controllano come false tutte le assegnazioni di valori logicamente possibili ai loro componenti. Il restante tipo strutturale, la forma proposizionale contingente, fondamentalmente non è affare della logica! Ciò è indicato dalla convenzione di assegnare entrambi i valori di verità a un'unica variabile proposizionale per generare due casi: questi sono due mondi logicamente possibili se si vuole modellare semanticamente la configurazione. La proposizione può logicamente essere vera in un caso e falsa in un altro; come proposizione deve essere l'una o l'altra e non è logicamente possibile che sia sia vera che falsa. Si noti quindi che le due possibilità logiche (pT e pF) hanno lo stesso status. Non importa se uno di quelli, per un'interpretazione del simbolo proposizionale, sembra essere il mondo reale. Logica, non dipende dal funzionamento del mondo empirico, è in sintonia con caratteristiche che sono invariabili in tutti i casi possibili: questo significa, tautologie, che sono vere in tutti i casi logicamente possibili, e contraddizioni, che sono false in tutti i casi logicamente possibili. La validità dello schema inferenziale di cui sopra garantisce, per la logica a due valori, che quanto segue è una tautologia proposizionale:

Di nuovo, la proliferazione di simboli oscura i fatti sulla semplicità strutturale interna della logica. Tutte le forme proposizionali composte sono internamente connesse perché risultano da forme proposizionali elementari mediante connettivi. La logica è determinata da come sono definiti i connettivi logici. A partire dalle elementari (detto anche individuale o atomico) proposizioni, si procede sempre combinandoli mediante connettivi: i composti generati dipendono in ogni caso dal loro significato (verità e menzogna) sui significati (verità e menzogna) dei loro componenti. Se si dovesse procedere nella direzione opposta, dai composti verso le proposizioni elementari, ci sarebbe una scomposizione delle proposizioni composte; il processo terminerebbe con le proposizioni elementari. Ciò è possibile perché tutti i connettivi sono connettivi vero-funzionali. Così, se, per esempio, “p e q” sono dati come veri, si può dissolvere questo in “p è vero” e “q è vero” data la definizione di “e”. Di nuovo, si vede che le forme proposizionali sono in relazione tra loro e, in definitiva, sono legati a due proposizioni fondamentali, il vero e il falso, da cui qualsiasi complesso può essere generato utilizzando connettivi vero-funzionali. Ciò dimostra anche che nulla nella logica delle proposizioni può mai essere arbitrario.

Il simbolismo che utilizza più simboli connettivi lo oscura. Si può fare un punto più forte: C'è qualcosa che non va nell'idioma notazionale, un simbolismo, che non riesce a catturare l’identità dei significati logici (equivalenza logica). Per esempio, considerare le seguenti due espressioni o formule logicamente equivalenti, che sono ben formati, si presume, nell'idioma o nella notazione (e rappresentato qui nel metalinguaggio simbolicamente arricchito):

Anche se le espressioni sono logicamente equivalenti, le formule grammaticalmente corrette che li rappresentano non sono le stesse! Questo può essere considerato un radicale difetto di notazione o di grammatica formale. Diventa ancora peggio. Si ritiene che il formalismo sia fondamentalmente una questione di manipolazione sistematica e specifica di risorse simboliche. Conseguentemente, il difetto affrontato in questo caso va fino alle radici del compito più elementare di tutti: come costruire un sistema simbolico fedele rispetto ad un dato scopo. In quel caso, sembrerebbe che il modo corretto di costruire un sistema formale sia esclusivamente attraverso i suoi insiemi di operatori minimamente funzionalmente completi. Se è necessario passare a idiomi alternativi che contengono operatori ridondanti (operatori che possono essere definiti dagli altri operatori nel sistema), ciò dovrebbe essere giustificato adducendo un motivo come l'opportunità o la convenienza.

La notazione simbolica di un idioma linguistico formale che utilizza un solo simbolo connettivo eliminerebbe questa illusione notazionale, o, per sostenere la tesi più forte, rimedierebbe al profondo difetto formale-grammaticale: allora si potrebbe perspicuamente mostrare che tutto ciò che si ha è un dispiegarsi di connessioni interne che attraversano le forme proposizionali. Wittgenstein procede a scrivere lo schema argomentativo di cui sopra utilizzando un unico simbolo connettivo che consente l'eliminazione dei simboli di disgiunzione e negazione per rendere evidente "la connessione interna". (Il simbolo contemporaneo del connettivo è quello utilizzato da Wittgenstein, che è NOR.)

Per fare questo, sostituire “” con “” (eliminando così il simbolo di disgiunzione inclusiva) e “” per “” (eliminando così il simbolo di negazione). Il simbolo NOR viene utilizzato per effettuare entrambe le eliminazioni. Di conseguenza, abbiamo lo schema mostrato sopra, in cui viene utilizzato un solo simbolo connettivo. Naturalmente,, si sarebbe potuto utilizzare la funzione NAND o Sheffer Stroke per effettuare la stessa eliminazione, nel qual caso il risultato sarebbe:

Inoltre, quando vengono utilizzati più connettivi logici nella costruzione di un sistema formale, si può creare un'impressione di arbitrarietà. Perché, ci si potrebbe chiedere, è un insieme di connettivi logici utilizzato al posto di un altro insieme? La risposta giusta è che nulla dipende da quali connettivi vengono utilizzati perché tutte le formule proposizionali sono internamente correlate in stretto, modo non arbitrario, e la costruzione dipende in ultima analisi dagli elementi costitutivi e dai connettivi di base. Per illustrare questo punto, costruire un sistema formale della logica proposizionale standard utilizzando come insieme di connettivi entrambi

. Fondamentalmente, equivale alla stessa cosa qualunque venga utilizzato. Ciò non è immediatamente evidente per quanto riguarda la pluralità di connettivi vista sopra. Ma ora consideriamo come tutti i connettivi di questi insiemi siano definibili in termini di connettivo in . Così, può essere sostituito da ; e può essere sostituito da ; e può essere sostituito da . Questo fatto rende evidente che nulla dipende da scelte arbitrarie riguardo ai connettivi utilizzati. Questa scoperta può essere usata come prova che esiste una stretta connessione interna che attraversa tutte le risorse espressive.

Lo sottolinea anche Wittgenstein (5.42) che ha connettivi nel sistema formale, che sono interdefinibili, significa che non dovrebbero essere propriamente considerati “primitivi”.
Ora si può rivisitare il tema della banalità delle tautologie (e delle contraddizioni logiche), che è un altro argomento toccato da Wittgenstein. C'è una tautologia, e una contraddizione è la negazione della tautologia (per la definizione standard di negazione.) Naturalmente,, la negazione stessa può essere espressa in termini di una funzione Sheffer. La manifestazione in definitiva evidente dell'interconnessione strutturale interna di tutte le proposizioni logiche può essere mostrata nella misura in cui tutte le tautologie valide possono essere derivate da un unico assioma che utilizza un unico simbolo connettivo. È possibile specificare regole di trasformazione e inferenza, da applicare allo schema degli assiomi, per generare tutte le tautologie valide. Questo è davvero possibile, nel ruolo del logico francese Jean Nicod (1917) dimostrato costruendo producendo un'assiomatizzazione a un postulato della logica proposizionale standard. Il postulato di Nicod, scritto con simboli metalinguistici per scrivere uno schema, È:

Una formulazione alternativa ed equivalente del Postulato Nicod, il che evita che eventuali sottoformule dello schema postulato siano tautologhe, è il seguente. (In particolare, nella formulazione originaria, la sottoformula è tautologa.)

Il Postulato Nicod può essere utilizzato come unico assioma in un sistema formale la cui unica regola di inferenza è data dal seguente schema di regole:

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Informazioni sull'autore

Odisseo Makridis
E-mail: [email protected]
Università Fairleigh Dickinson
U. S. UN.

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