Jules Henri Poincaré (1854-1912)

Poincaré è stato un influente filosofo francese della scienza e della matematica, nonché un illustre scienziato e matematico. Nei fondamenti della matematica sostenne il convenzionalismo, contro il formalismo, contro il Logicismo, e contro il fatto che Cantor tratti i suoi nuovi insiemi infiniti come indipendenti dal pensiero umano. Poincaré sottolineò il ruolo essenziale dell'intuizione per un fondamento costruttivo adeguato della matematica. Credeva che la logica fosse un sistema di verità analitiche, mentre l'aritmetica era sintetica e a priori, nel senso kantiano di questi termini. I matematici possono utilizzare i metodi della logica per verificare una dimostrazione, ma devono usare l'intuizione per creare una prova, credeva.

Sosteneva che le geometrie non euclidee sono altrettanto legittime della geometria euclidea, perché tutte le geometrie sono convenzioni o definizioni “mascherate”.. Sebbene tutte le geometrie riguardino lo spazio fisico, la scelta di una geometria rispetto ad altre è una questione di economia e semplicità, non si tratta di trovare quello vero tra quelli falsi.

Per Poincaré, lo scopo della scienza è la previsione piuttosto che la previsione, Dire, spiegazione. Sebbene ogni teoria scientifica abbia il proprio linguaggio o sintassi, che viene scelto per convenzione, non è una questione di convenzione se le previsioni scientifiche concordano con i fatti. Per esempio, è una questione di convenzione se definire la gravitazione come segue la teoria della gravitazione di Newton, ma non è una convenzione se la gravitazione sia una forza che agisce sui corpi celesti, o è l'unica forza che lo fa. Così, Poincaré credeva che le leggi scientifiche fossero convenzioni ma non convenzioni arbitrarie.

Poincaré aveva una visione particolarmente interessante dell'induzione scientifica. Legislazione, ha detto, non sono generalizzazioni dirette dell'esperienza; non sono semplici riepiloghi dei punti sul grafico. Piuttosto, lo scienziato dichiara che la legge è una curva interpolata più o meno liscia e quindi mancherà alcuni di quei punti. Quindi una teoria scientifica non è direttamente falsificabile dai dati dell'esperienza; Invece, il processo di falsificazione è più indiretto.

Sommario
Vita
Caos e sistema solare
Aritmetica, Intuizione e logica
Convenzionalismo e filosofia della geometria
Scienza e ipotesi
Bibliografia
1. Vita

Poincaré è nato il 29 aprile,1854 a Nancy e morì il 17 luglio, 1912 a Parigi. La famiglia di Poincaré era influente. Suo cugino Raymond era il presidente e il primo ministro francese, e suo padre Leon era professore di medicina all'Università di Nancy. Sua sorella Aline sposò il filosofo spiritista Emile Boutroux.

Poincaré studiò ingegneria mineraria, matematica e fisica a Parigi. A partire dal 1881, ha insegnato all'Università di Parigi. Lì ricoprì le cattedre di Fisica e Meccanica Sperimentale, Fisica matematica e teoria della probabilità, e Meccanica Celeste e Astronomia.

All'inizio della sua carriera scientifica, nella sua tesi di dottorato del 1879, Poincaré ideò un nuovo modo di studiare le proprietà delle funzioni definite da equazioni differenziali. Non solo affrontò la questione della determinazione dell'integrale di tali equazioni, ma fu anche il primo a studiare le proprietà geometriche generali di queste funzioni. Vide chiaramente che questo metodo era utile nella soluzione di problemi come la stabilità del sistema solare, in cui la domanda riguarda le proprietà qualitative delle orbite planetarie (Per esempio, sono orbite regolari o caotiche?) e non sulla soluzione numerica delle equazioni gravitazionali. Durante i suoi studi sulle equazioni differenziali, Poincaré fece uso della geometria non euclidea di Lobachevskij. Dopo, Poincaré applicò alla meccanica celeste i metodi che aveva introdotto nella sua tesi di dottorato. Le sue ricerche sulla stabilità del sistema solare hanno aperto le porte allo studio dei sistemi caotici deterministici; e i metodi da lui utilizzati diedero origine alla topologia algebrica.

Poincaré abbozzò una versione preliminare della teoria della relatività ristretta e affermò che la velocità della luce è una velocità limite e che la massa dipende dalla velocità. Ha formulato il principio di relatività, secondo cui nessun esperimento meccanico o elettromagnetico può discriminare tra uno stato di moto uniforme e uno stato di quiete, e derivò la trasformazione di Lorentz. Il suo teorema fondamentale secondo cui ogni sistema meccanico isolato ritorna dopo un tempo finito [il tempo di ricorrenza di Poincaré] al suo stato iniziale è la fonte di molte analisi filosofiche e scientifiche sull'entropia. Finalmente, aveva capito chiaramente quanto fosse radicale l’allontanamento della teoria quantistica dalla fisica classica.

Poincaré era profondamente interessato alla filosofia della scienza e ai fondamenti della matematica. Sosteneva il convenzionalismo e contro sia il formalismo che il logica. Anche la teoria degli insiemi di Cantor fu oggetto delle sue critiche. Ha scritto diversi articoli sull'interpretazione filosofica della logica matematica. Durante la sua vita, pubblicò tre libri sulla filosofia della scienza e della matematica. Un quarto libro fu pubblicato postumo nel 1913.

2. Caos e sistema solare

Nella sua ricerca sul problema dei tre corpi, Poincaré fu la prima persona a scoprire un sistema caotico deterministico. Data la legge di gravità e le posizioni e velocità iniziali degli unici tre corpi in tutto lo spazio, le posizioni e le velocità successive sono fisse, quindi il sistema dei tre corpi è deterministico. Tuttavia, Poincaré scoprì che l’evoluzione di un tale sistema è spesso caotica, nel senso che una piccola perturbazione nello stato iniziale, come un leggero cambiamento nella posizione iniziale di un corpo, potrebbe portare a uno stato successivo radicalmente diverso da quello prodotto dal sistema imperturbato.. Se il leggero cambiamento non è rilevabile dai nostri strumenti di misurazione, allora non saremo in grado di prevedere quale stato finale si verificherà. Così, La ricerca di Poincaré ha dimostrato che il problema del determinismo e il problema della prevedibilità sono problemi distinti.

Da un punto di vista filosofico, I risultati di Poincaré non ricevettero l’attenzione che meritavano. Anche la linea di ricerca scientifica aperta da Poincaré fu trascurata fino al meteorologo Edward Lorenz, nel 1963, riscoprì un sistema caotico deterministico mentre studiava l'evoluzione di un semplice modello dell'atmosfera. Prima, Poincaré aveva suggerito che le difficoltà di una previsione meteorologica affidabile sono dovute al comportamento caotico intrinseco dell'atmosfera. Un altro aspetto interessante dello studio di Poincaré è la reale natura della distribuzione nello spazio delle fasi dei punti stabili e instabili, che sono così mescolati che non ha provato a fare un'immagine della loro disposizione. Ora sappiamo che la forma di tale distribuzione è simile a un frattale. Tuttavia, lo studio scientifico dei frattali non è iniziato fino al lavoro di Benoit Mandelbrot nel 1975, un secolo dopo la prima intuizione di Poincaré.

Perché la ricerca di Poincaré fu trascurata e sottovalutata?? Il problema è interessante perché Poincaré ha ricevuto per le sue ricerche un importante premio scientifico; e le sue ricerche sulla meccanica celeste furono riconosciute di fondamentale importanza. Probabilmente le cause furono due. Scienziati e filosofi erano interessati principalmente alla nuova fisica rivoluzionaria della relatività e alla meccanica quantistica, ma Poincaré lavorò con la meccanica classica. Anche, il comportamento di un sistema caotico deterministico può essere descritto solo mediante una soluzione numerica la cui complessità è sconcertante. Senza l'aiuto di un computer il compito è quasi senza speranza.

3. Aritmetica, Intuizione e logica

Logicisti come Bertrand Russell e Gottlob Frege credevano che la matematica fosse fondamentalmente una branca della logica simbolica, perché supponevano che la terminologia matematica potesse essere definita utilizzando solo la terminologia della logica e perché, dopo questa traduzione dei termini, si può dimostrare che qualsiasi teorema matematico è una riaffermazione di un teorema logico. Poincaré si oppose a questo programma logico. Era un intuizionista che sottolineava il ruolo essenziale dell'intuizione umana nei fondamenti della matematica. Secondo Poincaré, una definizione di un'entità matematica non è l'esposizione delle proprietà essenziali dell'entità, ma è la costruzione dell'entità stessa; in altre parole, una definizione matematica legittima crea e giustifica il suo oggetto. Per Poincaré, l'aritmetica è una scienza sintetica i cui oggetti non sono indipendenti dal pensiero umano.

Poincaré ha sottolineato questo punto nella sua indagine sull’assiomatizzazione dell’aritmetica di Peano. Italian mathematician Giuseppe Peano (1858-1932) assiomatizzò la teoria matematica dei numeri naturali. Questa è l'aritmetica degli interi non negativi. A parte alcuni principi puramente logici, Peano utilizzò cinque assiomi matematici. Informalmente, questi assiomi sono:

Lo zero è un numero naturale.
Lo zero non è il successore di nessun numero naturale.
Ogni numero naturale ha un successore, che è un numero naturale.
Se il successore del numero naturale a è uguale al successore del numero naturale b, allora a e b sono uguali.
Supponiamo:
(io) zero ha una proprietà P;
(ii) se ogni numero naturale minore di a ha la proprietà P allora anche a ha la proprietà P.
Allora ogni numero naturale ha la proprietà P. (Questo è il principio dell’induzione completa.)

Bertrand Russell ha affermato che gli assiomi di Peano costituiscono una definizione implicita dei numeri naturali, ma Poincaré disse che lo fanno solo se si può dimostrare che sono coerenti. Possono essere dimostrati coerenti solo dimostrando che esiste qualche oggetto che soddisfa questi assiomi. Da un punto di vista generale, un sistema di assiomi può essere concepito come una definizione implicita solo se è possibile dimostrare l'esistenza di almeno un oggetto che soddisfa tutti gli assiomi. Dimostrarlo non è un compito facile, poiché il numero di conseguenze degli assiomi di Peano è infinito e quindi non è possibile un'ispezione diretta di ciascuna conseguenza. Solo un modo sembra adeguato: dobbiamo verificare che se le premesse di un'inferenza nel sistema sono coerenti con gli assiomi della logica, allora lo è anche la conclusione. Perciò, se dopo n inferenze non si produce alcuna contraddizione, allora dopo n+1 inferenze non ci sarà nemmeno alcuna contraddizione. Poincaré sostiene che questo ragionamento è un circolo vizioso, poiché si basa sul principio di induzione completa, la cui consistenza dobbiamo dimostrare. (Nel 1936, Gerhard Gentzen ha dimostrato la coerenza degli assiomi di Peano, ma la sua dimostrazione richiedeva l'uso di una forma limitata di induzione transfinita la cui stessa consistenza è in dubbio.) Come conseguenza, Poincaré afferma che se non riusciamo a stabilire in modo non circolare la coerenza degli assiomi di Peano, allora il principio di induzione completa non è sicuramente dimostrabile mediante leggi logiche generali; quindi non è analitico, ma è un giudizio sintetico, e il Logicismo è confutato. È evidente che Poincaré sostiene il punto di vista epistemologico di Kant sull’aritmetica. Per Poincaré, il principio di induzione completa, che non è dimostrabile tramite inferenze analitiche, è un vero e proprio giudizio sintetico a priori. Quindi l’aritmetica non può essere ridotta alla logica; quest'ultimo è analitico, mentre l'aritmetica è sintetica.

Il carattere sintetico dell'aritmetica risulta evidente anche se si considera la natura del ragionamento matematico. Poincaré suggerisce una distinzione tra due diversi tipi di inferenza matematica: verifica e prova. La verifica o il controllo di prova è una sorta di ragionamento meccanico, mentre la creazione di prove è un'inferenza feconda. Per esempio, l’affermazione “2+2 = 4” è verificabile perché è possibile dimostrarne la verità con l’aiuto delle leggi logiche e della definizione di somma; è un'affermazione analitica che ammette una verifica semplice. Anzi, l'affermazione generale (la legge commutativa dell’addizione)

Per qualsiasi numero naturale x e y, x + y = y + x

non è direttamente verificabile. Possiamo scegliere una coppia arbitraria di numeri naturali a e b, e possiamo verificare che a+b = b+a; ma c'è un numero infinito di scelte ammissibili di coppie, quindi la verifica è sempre incompleta. In altre parole, la verifica della legge commutativa è un metodo analitico mediante il quale possiamo verificare ogni istanza particolare di un teorema generale, ma la dimostrazione stessa del teorema è un ragionamento sintetico che estende realmente la nostra conoscenza, Poincaré credeva.

Un altro aspetto del pensiero matematico analizzato da Poincaré riguarda i diversi ruoli svolti dall'intuizione e dalla logica. I metodi della logica formale sono elementari e certi, e possiamo sicuramente contare su di loro. Tuttavia, la logica non ci insegna come costruire una dimostrazione. È l'intuizione che aiuta i matematici a trovare il modo corretto di assemblare le inferenze di base in una dimostrazione utile. Poincaré offre il seguente esempio. Un giocatore di scacchi inesperto che guarda una partita può verificare se una mossa è legale, ma non capisce perché i giocatori muovono certi pezzi, perché non vede il piano che guida le scelte dei giocatori. In modo simile, un matematico che usa solo metodi logici può verificare ogni inferenza in una data dimostrazione, ma non riesce a trovare una prova originale. In altre parole, ogni inferenza elementare in una dimostrazione è facilmente verificabile attraverso la logica formale, ma l'invenzione di una dimostrazione richiede la comprensione — colta mediante l'intuizione — dello schema generale, che indirizza gli sforzi del matematico verso l’obiettivo finale.

La logica è — secondo Poincaré — lo studio delle proprietà comuni a tutte le classificazioni. Esistono due diversi tipi di classificazioni: classificazioni predicative, che non vengono modificati dall’introduzione di nuovi elementi; e classificazioni impredicative, che vengono modificati da nuovi elementi. Le definizioni e le classificazioni si dividono in predicative e impredicative. Un insieme è definito da una legge secondo la quale ogni elemento viene generato. Nel caso di un insieme infinito, il processo di generazione degli elementi è incompiuto; quindi ci sono sempre nuovi elementi. Se la loro introduzione modifica la classificazione degli oggetti già generati, allora la definizione è impredicativa. Per esempio, guarda le frasi contenenti un numero finito di parole e che definiscono un punto dello spazio. Queste frasi sono disposte in ordine alfabetico e ad ognuna di esse è associato un numero naturale: il primo è associato al numero 1, il secondo con 2, eccetera. Quindi ogni punto definito da tali frasi è associato a un numero naturale. Supponiamo ora che un nuovo punto sia definito da una nuova frase. Per determinare il numero corrispondente è necessario inserire questa frase in ordine alfabetico; ma tale operazione modifica il numero associato ai punti già classificati di cui segue la frase definente, in ordine alfabetico, la nuova frase. Pertanto questa nuova definizione è impredicativa.

Per Poincaré, le definizioni impredicative sono la fonte delle antinomie nella teoria degli insiemi, e il divieto di definizioni impredicative eliminerà tali antinomie. A tal fine, Poincaré enuncia il principio del circolo vizioso: una cosa non può essere definita rispetto ad un insieme che presuppone la cosa stessa. In altre parole, in una definizione di oggetto, non è possibile utilizzare un insieme a cui appartiene l'oggetto, perché così facendo si produce una definizione impredicativa. Poincaré attribuisce il principio del circolo vizioso al matematico francese J. Richard. Nel 1905, Richard ha scoperto un nuovo paradosso nella teoria degli insiemi, e offrì una soluzione provvisoria basata sul principio del circolo vizioso.

Il divieto di Poincaré delle definizioni impredicative è legato anche al suo punto di vista sull’infinito. Secondo Poincaré, ci sono due diverse scuole di pensiero sugli insiemi infiniti; chiamò queste scuole cantoriane e pragmatiste. I cantoriani sono realisti rispetto alle entità matematiche; queste entità hanno una realtà indipendente dalle concezioni umane. Il matematico li scopre ma non li crea. I pragmatisti credono che una cosa esista solo quando è oggetto di un atto di pensiero, e l’infinito non è altro che la possibilità della mente di generare una serie infinita di oggetti finiti. I matematici praticanti tendono ad essere realisti, non pragmatici o intuizionisti. Questa disputa non riguarda il ruolo delle definizioni impredicative nella produzione di antinomie, ma sull'indipendenza delle entità matematiche dal pensiero umano.

4. Convenzionalismo e filosofia della geometria

La scoperta di geometrie non euclidee sconvolge il punto di vista kantiano comunemente accettato secondo cui la vera struttura dello spazio può essere conosciuta a priori. Comprendere il punto di vista di Poincaré sui fondamenti della geometria, aiuta ricordarlo, durante le sue ricerche sulle funzioni definite da equazioni differenziali, in realtà usava la geometria non euclidea. Scoprì che diverse proprietà geometriche sono facilmente dimostrabili mediante la geometria di Lobachevskij, mentre la loro dimostrazione non è semplice nella geometria euclidea. Anche, Poincaré conosceva le ricerche di Beltrami sulla geometria di Lobachevskij. Beltrami (Matematico italiano, 1835-1899) ha dimostrato la coerenza della geometria Lobachevskij rispetto alla geometria euclidea, mediante la traduzione di ogni termine della geometria Lobachevskij in un termine della geometria euclidea. La traduzione è scelta con cura affinché ogni assioma della geometria non euclidea venga tradotto in un teorema della geometria euclidea. La traduzione di Beltrami e lo studio delle funzioni di Poincaré portarono Poincaré ad affermarlo:

Le geometrie non euclidee hanno la stessa legittimità logica e matematica della geometria euclidea.
Tutti i sistemi geometrici sono equivalenti e quindi nessun sistema di assiomi può affermare di essere la vera geometria.
Gli assiomi della geometria non sono né giudizi sintetici a priori né analitici; sono convenzioni o definizioni “mascherate”..

Secondo Poincaré, tutti i sistemi geometrici hanno a che fare con le stesse proprietà dello spazio, sebbene ciascuno di essi utilizzi la propria lingua, la cui sintassi è definita dall'insieme degli assiomi. In altre parole, le geometrie differiscono nella loro lingua, ma si occupano della stessa realtà, poiché una geometria può essere tradotta in un'altra geometria. Esiste un solo criterio in base al quale possiamo selezionare una geometria, vale a dire un criterio di economia e semplicità. Questo è proprio il motivo per cui usiamo comunemente la geometria euclidea: è il più semplice. Tuttavia, rispetto ad un problema specifico, la geometria non euclidea può darci il risultato con meno sforzo. Nel 1915, Albert Einstein lo trovò più conveniente, direbbe il convenzionalista, per sviluppare la sua teoria della relatività generale utilizzando la geometria non euclidea anziché euclidea. L’avversario realista di Poincaré non sarebbe d’accordo e direbbe che Einstein scoprì che lo spazio non è euclideo.

La trattazione della geometria di Poincaré è applicabile anche all’analisi generale delle teorie scientifiche. Ogni teoria scientifica ha il suo linguaggio, che viene scelto per convenzione. Tuttavia, nonostante questa libertà, l'accordo o il disaccordo tra previsioni e fatti non è convenzionale ma è sostanziale e oggettivo. La scienza ha una validità oggettiva. Non è dovuto al caso o alla libertà di scelta se le previsioni scientifiche sono spesso accurate.

Queste considerazioni chiariscono il convenzionalismo di Poincaré. Esiste un criterio oggettivo, indipendente dalla volontà dello scienziato, in base al quale è possibile giudicare la fondatezza della teoria scientifica, vale a dire l'accuratezza delle sue previsioni. Pertanto i principi della scienza non sono fissati da una convenzione arbitraria. Nella misura in cui le previsioni scientifiche sono vere, la scienza ci dà un obiettivo, sebbene incompleto, conoscenza. La libertà di uno scienziato risiede nella scelta del linguaggio, assiomi, e i fatti che meritano attenzione.

Tuttavia, secondo Poincaré, ogni legge scientifica può essere analizzata in due parti, vale a dire un principio, questa è una verità convenzionale, e una legge empirica. L'esempio seguente è dovuto a Poincaré. La legge:

I corpi celesti obbediscono alla legge di gravitazione di Newton

La legge si compone di due elementi:

La gravitazione segue la legge di Newton.
La gravitazione è l'unica forza che agisce sui corpi celesti.

Possiamo considerare la prima affermazione come un principio, come convenzione; quindi diventa la definizione di gravitazione. Ma allora la seconda affermazione è una legge empirica.

L’atteggiamento di Poincaré nei confronti del convenzionalismo è illustrato dalla seguente affermazione, che concluse la sua analisi sulla meccanica classica in Scienza e Ipotesi:

Le leggi dell'accelerazione e della composizione delle forze non sono altro che convenzioni arbitrarie? Convenzioni, SÌ; arbitrario, NO; sembrerebbero arbitrarie se si dimenticassero le esperienze che guidarono i fondatori della scienza alla loro adozione e che lo sono, anche se imperfetto, sufficienti a giustificarli. A volte è utile rivolgere la nostra attenzione all'origine sperimentale di queste convenzioni.

5. Scienza e ipotesi

Secondo Poincaré, sebbene le teorie scientifiche provengano dall'esperienza, non sono né verificabili né falsificabili mediante la sola esperienza. Per esempio, consideriamo il problema di trovare una legge matematica che descriva una data serie di osservazioni. In questo caso, i punti rappresentativi vengono tracciati in un grafico, e poi viene interpolata una curva semplice. La curva scelta dipenderà sia dall'esperienza che determina i punti rappresentativi sia dalla levigatezza desiderata della curva anche se più liscia è la curva più alcuni punti mancheranno la curva. Perciò, la curva interpolata – e quindi la legge provvisoria – non è una generalizzazione diretta dell’esperienza, perché “corregge” l’esperienza. La discrepanza tra i valori osservati e quelli calcolati non è quindi considerata una falsificazione della legge, ma come una correzione che la legge impone alle nostre osservazioni. In questo senso, c'è sempre una differenza necessaria tra fatti e teorie, e quindi una teoria scientifica non è direttamente falsificabile dall'esperienza.

Per Poincaré, lo scopo della scienza è la previsione. Per realizzare questo compito, la scienza fa uso di generalizzazioni che vanno oltre l’esperienza. Infatti, le teorie scientifiche sono ipotesi. Ma ogni ipotesi deve essere continuamente verificata. E quando fallisce in un test empirico, bisogna rinunciarvi. Secondo Poincaré, un'ipotesi scientifica che si è rivelata insostenibile può ancora essere molto utile. Se un'ipotesi non supera un test empirico, allora questo fatto significa che abbiamo trascurato qualche elemento importante e significativo; l'ipotesi ci dà quindi l'opportunità di scoprire l'esistenza di un aspetto imprevisto della realtà. Come conseguenza di questo punto di vista sulla natura delle teorie scientifiche, Poincaré suggerisce che uno scienziato deve utilizzare poche ipotesi, poiché è molto difficile trovare l'ipotesi sbagliata in una teoria che fa uso di molte ipotesi.

Per Poincaré, ci sono molti tipi di ipotesi:

Ipotesi che hanno la massima portata, e che sono comuni a tutte le teorie scientifiche (Per esempio, l'ipotesi secondo la quale l'influenza dei corpi remoti è trascurabile). Tali ipotesi sono le ultime a essere modificate.
Ipotesi indifferenti quella, nonostante il loro ruolo ausiliario nelle teorie scientifiche, non hanno contenuto oggettivo (Per esempio, l’ipotesi che esistano atomi invisibili).
Generalizzazioni, che sono sottoposti a controllo empirico; sono le vere ipotesi scientifiche.

Riguardo al punto di vista di Poincaré sulle teorie scientifiche, i seguenti hanno il valore più duraturo:

Ogni teoria scientifica è un’ipotesi che doveva essere verificata.
L’esperienza suggerisce teorie scientifiche; ma l'esperienza non li giustifica.
L’esperienza da sola non è in grado di falsificare una teoria, poiché la teoria spesso corregge l'esperienza.
Uno scopo centrale della scienza è la previsione.
Il ruolo di un'ipotesi falsificata è molto importante, perché getta luce su condizioni impreviste.
L'esperienza viene giudicata secondo una teoria.
6. Bibliografia

RACCOLTA DI OPERE SCIENTIFICHE (in francese).

Opere, 11 volumi, Parigi : Gauthier-Villars, 1916-1956

OPERE FILOSOFICHE.

1902 Scienza e ipotesi, Parigi : Flammarion (Scienza e ipotesi, 1905)
1905 Il valore della scienza, Parigi : Flammarion (Il valore della scienza, 1907)
1908 Scienza e metodo, Parigi : Flammarion (Scienza e metodo, 1914)
1913 Considerazioni finali, Parigi : Flammarion (Matematica e scienza: ultimi saggi, 1963)
Le prime tre opere sono tradotte in I fondamenti della scienza, Washington, DC. : Stampa universitaria dell'America, 1982 (prima edizione 1946).

PRINCIPALI LAVORI SCIENTIFICI.

Nuovi metodi della meccanica celeste, Parigi : Gauthier-Villars, 1892 vol. IO , 1893 vol. II, 1899 vol. III (Nuovi metodi della meccanica celeste, Istituto Americano di Fisica, 1993)
Lezioni di meccanica celeste, Parigi : Gauthier-Villars, 1905 vol. IO, 1907 vol. II parte I, 1909 vol. Parte II, 1911 vol. III

LAVORA SU POINCARE’.

Il libro che celebra il centenario della nascita di Henri Poincaré, Parigi : Gauthier-Villars, 1955
L'eredità matematica di Henri Poincaré, (a cura di Felix E. Frontalino) Provvidenza, R.I. : Società Matematica Americana, 1983 [Simposio sull'eredità matematica di Henri Poincaré (1980 : Università dell'Indiana, Bloomington)]
Henri Poincaré: Scienza e filosofia. Congresso internazionale : Nancy, Francia, 1994, a cura di Jean-Louis Greffe, Gerhard Heinzmann, Kuno Lorenz, Berlino : Editoria dell'Accademia, 1996 ; Parigi : UN. Blanchard, 1996
Appel, Paolo, Henri Poincaré, Parigi : Guida, 1925
Bartocci, Claudio, “Equazioni e orbite celesti: gli albori della dinamica topologica” in Henri Poincaré. Geometria e caso, Torino : Bollati Boringhieri, 1995
Barrow-Verde, Giugno, Poincaré e il problema dei tre corpi, Provvidenza, RI : Società Matematica Americana ; Londra : Società Matematica di Londra, 1997
Danzica, Tobia, Henri Poincaré. Critico della crisi: riflessioni sul suo universo discorsivo, New York : Scribatore, 1954
Folina, Janet, Poincaré e la filosofia della matematica, Londra : Macmillan, 1992 ; New York : S. La stampa di Martin, 1992
Giedymin, Jerzy, Scienza e convenzione. Saggio sulla filosofia della scienza di Henri Poincaré e sulla tradizione convenzionalista, Oxford : Pergamo Press, 1982
Heinzmann, Gerhard, Tra intuizione e analisi : Poincaré e il concetto di predicatività, Parigi : UN. Blanchard, 1985
Heinzmann, Gerhard, Tra costruzione di oggetti e analisi strutturale. Sulla filosofia della matematica in Poincaré, Vandenhoek & Ruprecht, 1995
di Lorenzo, Javier, La filosofia della matematica di Jules Henri Poincaré, Madrid : Editoriale Tecnos, 1974
Mette, Corinna, La teoria degli invarianti come base del convenzionalismo : Riflessioni sulla filosofia della scienza di Poincaré , Essen : Il gufo blu, 1986, Essen, 1986
Bellissimo, gen, La filosofia della matematica di Henri Poincaré, Parigi : Gauthier-Villars, 1966
Padrini, Paolo, Empirismo logico e convenzionalismo, Milano : Franco Angeli, 1983
Rougier, Luis, La filosofia geometrica di Henri Poincaré, Parigi : Alcan, 1920
Schmid, Anne-Françoise, Una filosofia dotta : Henri Poincaré e la logica matematica, Parigi : F. Maspero, 1978.
Torrette, Roberto, Filosofia della geometria da Riemann a Poincaré, Dordrecth : D. Pub Reidel. Co., 1978
Informazioni sull'autore

Mauro Murzi
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