Spezielle Relativität: Richtige Zeit, Koordinatensystem, und
Lorentz-Transformationen

Diese Ergänzung zum Hauptartikel Zeit erklärt einige der Schlüsselkonzepte der Speziellen Relativitätstheorie (STR). Es zeigt, wie sich die Vorhersagen von STR auf grundlegendste Weise von der klassischen Mechanik unterscheiden. Einige mathematische Grundkenntnisse werden vorausgesetzt.

Inhaltsverzeichnis
Richtige Zeit
Die STR-Beziehung zwischen dem Raum, Zeit, und die richtige Zeit
Koordinatensystem
Koordinaten als mathematische Sprache für Zeit und Raum
Kartesische Koordinaten für den Weltraum
Wahl des Trägheitsbezugssystems
Operationelle Spezifikation von Koordinatensystemen für den klassischen Raum und die Zeit
Operationelle Spezifikation von Koordinatensystemen für STR-Raum und -Zeit
Operationalismus
Koordinatentransformationen und Objekttransformationen
Gültige Transformationen
Geschwindigkeitssteigerungen in STR und klassischer Mechanik
Galileische Transformation des Koordinatensystems
Lorentz-Transformation des Koordinatensystems
Zeit- und Raumdilatation
Die vollständige spezielle Relativitätstheorie
Referenzen und weiterführende Literatur
1. Richtige Zeit

Das Wesen der Speziellen Relativitätstheorie (STR) ist, dass es drei verschiedene Größen miteinander verbindet: Raum, Zeit, und die richtige Zeit. "Zeit" wird auch als Koordinatenzeit oder Echtzeit bezeichnet, um es von der "richtigen Zeit" zu unterscheiden. Die richtige Zeit wird auch als Uhrzeit bezeichnet, oder Prozesszeit, Und es ist ein Maß für die Menge an physikalischen Prozessen, die ein System durchläuft. Zum Beispiel, Die richtige Zeit für eine gewöhnliche mechanische Uhr wird durch die Anzahl der Umdrehungen der Zeiger der Uhr aufgezeichnet. Alternativ, Wir könnten ein Gyroskop nehmen, oder ein frei drehendes Rad, und messen Sie die Anzahl der Umdrehungen in einem bestimmten Zeitraum. Wir könnten auch einen chemischen Prozess mit einer natürlichen Rate nehmen, wie das Abbrennen einer Kerze, und messen Sie den Anteil der Kerze, der über einen bestimmten Zeitraum gebrannt wird.

Beachten Sie, dass diese Prozesse durch "absolute Größen" gemessen werden: die Häufigkeit, mit der sich ein Rad um seine Achse dreht, oder der Anteil der Kerze, die gebrannt hat. Diese geben absolute physikalische Größen an und hängen nicht von der Zuweisung eines Koordinatensystems ab, ebenso wie eine numerische Darstellung von Raum oder Echtzeit. Die numerischen Koordinatensysteme, die wir verwenden, erfordern zunächst eine Auswahl an Maßeinheiten (Meter und Sekunden, Zum Beispiel). Noch wichtiger, Die Messung von Raum und Echtzeit in STR ist relativ zur Wahl eines Trägheitssystems. Diese Wahl ist teilweise willkürlich.

Unsere numerische Darstellung der richtigen Zeit erfordert auch eine Auswahl von Einheiten, Und wir verwenden die gleichen Einheiten, die wir für Echtzeit verwenden (Nachschlag). Aber die Wahl eines Koordinatensystems, basierend auf einem Trägheitssystem, hat keinen Einfluss auf die Messung der richtigen Zeit. Wir werden uns in Kürze mit dem Konzept der Koordinatensysteme und Maßeinheiten befassen.

Die richtige Zeit kann in der klassischen Mechanik durch zyklische Prozesse definiert werden, die natürliche Perioden haben – zum Beispiel, Pendeluhren basieren auf dem Zählen der Anzahl der Schwünge eines Pendels. Allgemeiner, Jeder natürliche Prozess in einem klassischen System durchläuft eine Abfolge von physikalischen Zuständen mit einer bestimmten absoluten Geschwindigkeit, Und das ist der "richtige Zeitsatz" für das System.

In der klassischen Physik, Zwei identische Arten von Systemen (mit identischen Arten der Innenkonstruktion, und identische Anfangszustände) Es wird prognostiziert, dass sie die gleichen richtigen Zeitraten haben. Das heißt, Sie werden ihre physischen Zustände in perfekter Korrelation zueinander durchlaufen.

Dies gilt auch dann, wenn sich zwei identische Systeme relativ konstant zueinander bewegen. Zum Beispiel, Zwei identische klassische Uhren würden mit der gleichen Geschwindigkeit laufen, auch wenn man in einem Labor stationär gehalten wird, während der andere in einem Raumschiff platziert ist, das mit hoher Geschwindigkeit fährt.

Dieses Invarianzprinzip ist grundlegend für die klassische Physik, Und es bedeutet, dass wir in der klassischen Physik definieren können: Koordinatenzeit = Richtige Zeit für alle natürlichen Systeme. Aus diesem Grund, Die Unterscheidung zwischen diesen beiden Zeitbegriffen wurde in der klassischen Physik kaum erkannt (obwohl Newton sie konzeptionell unterschied, "Echtzeit" als absoluten zeitlichen Fluss betrachten, und "richtige Zeit" als bloßes "vernünftiges Maß" der Echtzeit; siehe sein Scholium).

Aber, Wirkliche Bedeutung erlangte die Unterscheidung erst in der Speziellen Relativitätstheorie, was der klassischen Physik widerspricht, indem es voraussagt, dass die Rate der Eigenzeit für ein System mit seiner Geschwindigkeit variiert, oder Bewegung durch den Raum. Die Beziehung ist sehr einfach: desto schneller bewegt sich ein System durch den Weltraum, desto langsamer laufen seine internen Prozesse ab. Mit maximal möglicher Geschwindigkeit, die Lichtgeschwindigkeit, c, die internen Prozesse in einem physikalischen System würden vollständig zum Erliegen kommen. In der Tat, für das Licht selbst, die Rate der Eigenzeit ist Null: im Licht findet kein „innerer Prozess“ statt. Es ist, als ob Licht in einem bestimmten inneren Zustand "eingefroren" wäre.

An dieser Stelle, Wir sollten erwähnen, dass das Konzept der Eigenzeit in der Quantenmechanik stärker vorkommt als in der klassischen Mechanik, durch die intrinsisch "wellenartige" Natur von Quantenteilchen. In der klassischen Physik, Einzelpunkt-Partikel sind einfache Dinge, und haben keinen "inneren Zustand", der die richtige Zeit darstellt, aber in der Quantenmechanik, Die elementarsten Teilchen haben eine intrinsische Eigenzeit, dargestellt durch eine interne Frequenz. Dies hängt direkt mit der wellenartigen Natur von Quantenteilchen zusammen. Für radioaktive Systeme, Die Geschwindigkeit des radioaktiven Zerfalls ist ein Maß für die Eigenzeit. Beachten Sie, dass das Ausmaß des Zerfalls einer Substanz im absoluten Sinne gemessen werden kann. Für Licht, als quantenmechanisches Teilchen behandelt (das Photon), die Rate der Eigenzeit ist Null, und das liegt daran, dass es keine Masse hat. Aber für quantenmechanische Teilchen mit Masse, es gibt immer eine endliche „intrinsische“ Eigenzeitrate, dargestellt durch die „Phase“ der Quantenwelle. Klassische Teilchen haben kein Korrelat dieses Merkmals, die für Quanteninterferenzeffekte und anderes nicht-klassisches "wellenartiges" Verhalten verantwortlich ist.

2. Die STR-Beziehung zwischen dem Raum, Zeit, und die richtige Zeit

STR sagt voraus, dass die Bewegung eines Systems durch den Raum direkt durch eine Abnahme der realen internen Prozesse kompensiert wird, oder richtige Zeittarife. So, Eine Uhr läuft am schnellsten, wenn sie stationär ist. Wenn wir es im Raum bewegen, Die Rate der internen Prozesse wird abnehmen, und es läuft langsamer als eine identische Art von stationärer Uhr. Die Beziehung wird durch die tiefste Gleichung von STR genau spezifiziert, Wird normalerweise als metrische Gleichung bezeichnet (oder metrische Liniengleichung). Die metrische Gleichung lautet:

(1)

Dies gilt für die Flugbahn eines physikalischen Systems. Es handelt sich um Mengen::

D ist der Differenzoperator.

Dt ist die richtige Zeit, die zwischen zwei Punkten auf der Trajektorie verstrichen ist.

Dt ist die Echtzeitzeit, die zwischen zwei Punkten auf der Trajektorie verstrichen ist.

Dr ist das Ausmaß der Bewegung durch den Raum zwischen zwei Punkten auf der Flugbahn.

c ist die Lichtgeschwindigkeit, und hängt von den Einheiten ab, die wir für Raum und Zeit wählen.

Die Bedeutung dieser Gleichung wird durch die Betrachtung einfacher Trajektorien veranschaulicht, die in einem Raum-Zeit-Diagramm dargestellt sind.

Figure 1. Zwei einfache Raum-Zeit-Trajektorien.

Wenn wir an einem Anfangspunkt auf der Flugbahn eines physikalischen Systems beginnen, und folgen Sie ihm zu einem späteren Zeitpunkt, Wir stellen fest, dass das System einen bestimmten physischen Raum abgedeckt hat, Dr, über eine bestimmte Zeitspanne, Dt, und einen bestimmten internen Prozess oder eine bestimmte Zeit durchlaufen hat, Dt. Solange wir die gleichen Einheiten verwenden (Nachschlag) um die richtige Zeit und Echtzeit darzustellen, Diese Größen sind wie in Gleichung beschrieben miteinander verbunden (1). Proper time intervals are shown in Figure 1 by blue dots along the trajectories. Wenn dies Flugbahnen von Uhren wären, Zum Beispiel, Dann würden die blauen Punkte Sekunden darstellen, die vom Uhrwerk abgehakt wurden.

In Figure 1, we have chosen to set the speed of light as 1. Dies entspricht der Verwendung unserer normalen Zeiteinheiten, d.h. Nachschlag, aber wählen Sie die Einheiten für den Raum als C-Meter (instead of 1 meter), wobei c die Lichtgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde ist. Dieses Einheitensystem wird häufig von Physikern aus Gründen der Bequemlichkeit verwendet, und es scheint, dass die Größe C aus den Gleichungen herausfällt, since c = 1. Aber, Es ist wichtig zu beachten, dass C eine dimensionale Konstante ist, and even if its numerical value is set equal to 1 by choosing appropriate units, it is still logically necessary in Equation 1 for the equation to balance dimensionally. Zum Multiplizieren eines Zeitintervalls, Dt, durch die Größe c wandelt sich von einer zeitlichen Größe in eine räumliche Größe um. Gleichungen der Physik, genau wie gewöhnliche Vorschläge, kann nur Objekte oder Größen gleicher physikalischer Art miteinander identifizieren, und die Rolle von c als dimensionale Konstante bleibt in der Gleichung entscheidend (1), damit die Identität, die es angibt, irgendeinen Sinn ergibt.

Trajectories in Figure 1

Trajectory 1 (grün) steht für ein stationäres Teilchen, hence Dr = 0 (Es hat keine Bewegung durch den Raum), und setzen Sie diesen Wert in Gleichung ein (1), Wir finden, dass: Dt = Dt. Für ein stationäres Teilchen, Die Menge der Eigenzeit ist gleich der Menge der Koordinatenzeit.
Trajectory 2 (rot) steht für ein sich bewegendes Teilchen, and Dr > 0. Wir haben die Geschwindigkeit in diesem Beispiel wie folgt gewählt:: v = c/2, halbe Lichtgeschwindigkeit. Aber: v = Dr/Dt (im Zeitintervall zurückgelegte Strecke). Daher: Dr = 1/2cDt. Setzen Sie diesen Wert in die Gleichung ein (1), Wir bekommen: c²Dt² = c²Dt²-(1/2cDt)², oder: Dt = Ö(¾)Dt » 0.87Dt. Hence the amount of proper time is only about 87% of coordinate time. Auch wenn diese Flugbahn sehr schnell ist, Die richtige Zeit wird immer noch nur ein wenig verlangsamt.
Trajectory 3 (schwarz) steht für ein Teilchen, das sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, mit v = c, gebend: Dr = cDt. Dies in Gleichung setzen (1), Wir bekommen: c²Dt² = c²Dt²-(Cdt)² = 0. Also für ein lichtähnliches Teilchen, the amount of proper time is equal to 0.

Nun aus klassischer Sicht, Gleichung (1) ist eine Überraschung – in der Tat, es scheint bizarr! Denn wie kann eine bloße Bewegung durch den Raum direkt und präzise die Geschwindigkeit physikalischer Prozesse beeinflussen, die in einem System ablaufen?? Wir sind an das Gegenteil gewöhnt, diese Bewegung durch den Raum, von selbst, hat keine intrinsische Auswirkung auf Prozesse. Dies ist das Herzstück der klassischen Galileischen Invarianz oder Symmetrie. Aber STR bricht diese Regel.

Wir können diese Situation mit der klassischen Physik vergleichen, wo (für lineare Trajektorien) Wir haben zwei unabhängige Gleichungen:

(2.a) Dt = Dt

(2.b) Dr = vDt für einige (Reelle Zahlen)

Gleichung (2.a) bedeutet nur, dass die Rate der Eigenzeit in einem System invariant ist – und wir messen sie in den gleichen Einheiten wie die Koordinatenzeit, t.
Gleichung (2.b) bedeutet nur, dass jedes Teilchen oder System eine endliche Geschwindigkeit oder Geschwindigkeit hat, v, durch den Weltraum, mit v definiert durch: v = Dr/Dt.

Es gibt hier keinen Zusammenhang zwischen der richtigen Zeit und der räumlichen Bewegung des Systems.

Die Tatsache, dass (2) wird ersetzt durch (1) in STR ist in der Tat sehr eigenartig. Es bedeutet, dass die Geschwindigkeit des internen Prozesses in einem System wie eine Uhr ist (ob es ein mechanischer ist, chemisch, oder radioaktive Uhr) ist automatisch mit der Bewegung der Uhr im Raum verbunden. Wenn wir eine Uhr beschleunigen, die sich durch den Weltraum bewegt, Die Geschwindigkeit des internen Prozesses verlangsamt sich auf präzise Weise, um die Bewegung durch den Raum zu kompensieren.

Das große Rätsel ist, dass es keinen offensichtlichen Mechanismus für diesen Effekt gibt, Zeitdilatation genannt. In der klassischen Physik, eine Uhr verlangsamen, Wir müssen eine Kraft wie Reibung auf seinen internen Mechanismus anwenden. In STR, Der physikalische Prozess eines Systems wird verlangsamt, indem man es nur bewegt. Dies gilt gleichermaßen für alle physikalischen Prozesse. Zum Beispiel, Ein radioaktives Isotop zerfällt mit hoher Geschwindigkeit langsamer. Und sogar Tiere, einschließlich des Menschen, sollten langsamer altern, wenn sie sich mit hoher Geschwindigkeit bewegen, was zum Zwillingsparadoxon führt.

Tatsächlich, Die Zeitdilatation wurde bereits von Lorentz und Poincaré erkannt, der die meisten der wesentlichen mathematischen Beziehungen von STR vor Einstein entwickelt hat. Aber Einstein formulierte eine umfassendere Theorie, und, mit wichtigen Beiträgen von Minkowski, Er lieferte eine Erklärung für die Auswirkungen. Die Einstein-Minkowski-Erklärung beruft sich auf das neue Konzept einer Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit, und interpretiert Gleichung (1) als eine Art "geometrisches" Merkmal der Raumzeit. Diese Ansicht ist in der Physik des 20. Jahrhunderts weit verbreitet. Dagegen, Lorentz weigerte sich, an die "geometrische" Erklärung zu glauben, Und er dachte, dass die Bewegung durch den Raum eine Art "mechanische" Wirkung auf Teilchen hat, was dazu führt, dass sich Prozesse verlangsamen. Während Lorentz' Ansicht von den meisten Physikern abgelehnt wird, Einige Autoren haben auf ähnlichen Ideen beharrt, und die Probleme, die mit der Erklärung der Gleichung verbunden sind (1) sind weiterhin von großem Interesse, zumindest für Philosophen.

Aber bevor wir zur Erklärung übergehen, Wir müssen die Konzepte von Koordinatensystemen für Raum und Zeit diskutieren, was wir bisher ohne Erklärung angenommen haben.

3. Koordinatensystem

In der Physik gehen wir im Allgemeinen davon aus, dass der Raum eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit und die Zeit ein eindimensionales Kontinuum ist. Ein Koordinatensystem ist eine Möglichkeit, Raum und Zeit darzustellen, indem Zahlen verwendet werden, um Punkte darzustellen. Wir weisen einen Satz von drei Nummern zu, (X,und,z), Punkte im Raum zu charakterisieren, und eine Zahl, t, einen Zeitpunkt zu charakterisieren. Kombinieren Sie diese, wir haben allgemeine Raum-Zeit-Koordinaten: (X,und,z,t). Die Idee ist, dass jedes physikalische Ereignis im Universum einen „Raum-Zeit-Ort“ hat., und ein Koordinatensystem liefert eine numerische Beschreibung des Systems dieser möglichen „Orte“.

Klassische Koordinatensysteme wurden von Descartes verwendet, Galileo, Newton, Leibniz, und andere klassische Physiker, um den Weltraum zu beschreiben. Es wird angenommen, dass der klassische Raum eine dreidimensionale euklidische Mannigfaltigkeit ist. Klassische Physiker fügten Zeitkoordinaten hinzu, t, als zusätzlicher Parameter zur Charakterisierung von Ereignissen. Die Prinzipien hinter Koordinatensystemen schienen bis Anfang des 20. Jahrhunderts sehr intuitiv und natürlich, aber die Dinge änderten sich dramatisch mit dem STR. Eine der ersten großen Errungenschaften Einsteins war die Überprüfung des Konzepts eines Koordinatensystems, und ein neues, für STR geeignetes System vorzuschlagen, was sich vom System der klassischen Physik unterscheidet. Dabei, Einstein erkannte, dass der Begriff eines Koordinatensystems theorieabhängig ist. Das klassische System beruht auf der Übernahme bestimmter physikalischer Annahmen der klassischen Physik – zum Beispiel, dass Uhren ihre Geschwindigkeit nicht ändern, wenn sie im Raum bewegt werden. In STR, Einige der Gesetze, die diesen klassischen Annahmen zugrunde liegen, ändern sich, Und das verändert unsere Annahmen darüber, wie wir Raum und Zeit messen können. STR erfolgreich formulieren, Einstein konnte nicht einfach eine neue Reihe physikalischer Gesetze innerhalb des bestehenden klassischen Rahmens von Ideen über Raum und Zeit vorschlagen: Er musste gleichzeitig die Darstellung von Raum und Zeit neu formulieren. Er tat dies vor allem durch die Neuformulierung der Regeln für die Zuweisung von Koordinatensystemen für Raum und Zeit. Er gab ein neues Regelsystem, das den neuen physikalischen Prinzipien von STR entsprach, und überprüfte die Gültigkeit der alten Regeln der klassischen Physik innerhalb dieses neuen Systems.

Ein Schlüsselmerkmal, auf das sich Einstein konzentrierte, ist, dass ein Koordinatensystem ein System von Funktionsprinzipien beinhaltet, die die Eigenschaften von Raum und Zeit mit physikalischen Prozessen oder „Operationen“ verbinden, mit denen wir diese Eigenschaften messen können. Zum Beispiel, Die Theorie des klassischen Raums geht von einer intrinsischen Distanz aus (oder Länge) zwischen Raumpunkten. Wir können die Distanz selbst als ein zugrunde liegendes Merkmal des „leeren Raums“ betrachten. Geometrische Linien können als Ansammlungen von Punkten im Raum definiert werden, und Liniensegmente haben intrinsische Längen, bevor physische Objekte im Weltraum platziert werden. Aber natürlich, Wir messen nur (oder wahrnehmen) die zugrunde liegende Struktur des Raumes durch die Verwendung physischer Objekte oder physikalischer Prozesse zur Durchführung von Messungen. Typischerweise, Wir verwenden "gerade starre Lineale", um die Abstände zwischen den Punkten des Raums zu messen; oder wir verwenden "Uniform", Standarduhren, um die Zeitintervalle zwischen den Zeitmomenten zu messen. Lineale und Uhren sind bestimmte physische Objekte oder Prozesse, und damit sie ihre Messfunktionen adäquat ausführen können, Sie müssen geeignete physikalische Eigenschaften aufweisen.

Aber diese physikalischen Eigenschaften sind Gegenstand der Theorien der Physik selbst. Klassische Physik, Zum Beispiel, geht davon aus, dass gewöhnliche starre Lineale die gleiche Länge beibehalten (oder Abstand zwischen den Endpunkten) wenn sie im Raum bewegt werden. Es wird auch davon ausgegangen, dass es bestimmte Arten von Systemen gibt (Bereitstellung von "idealisierten Uhren") die zyklische physikalische Prozesse erzeugen, und die gleichen zeitlichen Intervalle zwischen den Zyklen im Laufe der Zeit beibehalten, auch wenn wir diese Systeme im Weltraum bewegen.

Diese Annahmen stimmen in sich mit den Messprinzipien der klassischen Physik überein. Aber ihnen wird in STR widersprochen, und Einstein musste die Funktionsprinzipien für die Messung von Raum und Zeit neu formulieren, in einer Weise, die intern mit den neuen physikalischen Prinzipien von STR übereinstimmt.

Wir werden diese neuen Funktionsprinzipien in Kürze kurz beschreiben, Es gibt jedoch einige Merkmale von Koordinatensystemen, die zuerst zu schätzen sind.

An. Koordinaten als mathematische Sprache für Zeit und Raum

Die Zuweisung eines numerischen Koordinatensystems für Zeit oder Raum wird als Bereitstellung einer mathematischen Sprache angesehen (Verwenden von Zahlen als Namen) zur Darstellung physischer Dinge (Zeit und Raum). In gewisser Weise, Diese Sprache könnte "willkürlich gewählt" werden: Es gibt keine Gesetze darüber, welche Namen verwendet werden können, um Dinge darzustellen. Aber natürlich gibt es Merkmale, die ein Koordinatensystem widerspiegeln soll. Besonders, Wir möchten, dass die Zuweisung von Zahlen die Konzepte der Entfernung zwischen Raumpunkten direkt widerspiegelt, und die Größe der Intervalle zwischen den Momenten der Zeit.

Wir führen mathematische Operationen mit Zahlen durch, Und wir können zwei Zahlen subtrahieren, um den "numerischen Abstand" zwischen ihnen zu ermitteln. Denn Zahlen sind wirklich definiert als bestimmte Strukturen, mit Merkmalen wie Kontinuität, Und wir wollen die Strukturen von Zahlensystemen nutzen, um strukturelle Merkmale von Raum und Zeit darzustellen.

Zum Beispiel, Wir gehen in unserer fundamentalen physikalischen Theorie davon aus, dass zwei beliebige Zeitintervalle intrinsische Größen haben, die miteinander verglichen werden können. Die "intrinsische zeitliche Distanz" zwischen zwei Momenten, T1 und T2, kann das gleiche sein wie das zwischen zwei ganz unterschiedlichen Momenten, T3 und T4. Wir wollen natürlich den Zeiten Zahlen zuweisen, so dass die gewöhnliche numerische Subtraktion der "intrinsischen zeitlichen Distanz" zwischen Ereignissen entspricht. Um dies zu erreichen, wählen wir ein "einheitliches" Koordinatensystem für die Zeit.

Figure 2. Ein Koordinatensystem für die Zeit gibt eine mathematische Sprache für eine physikalische Sache.
Zahlen werden als Namen für Momente der Zeit verwendet.

4. Kartesische Koordinaten für den Weltraum

Zeit ist einfach, weil sie eindimensional ist. Der dreidimensionale Raum ist viel komplexer. Weil der Raum dreidimensional ist, Wir brauchen drei separate reelle Zahlen, um einen einzigen Punkt darzustellen. Physiker wählen normalerweise ein kartesisches Koordinatensystem, um den Raum darzustellen. Wir stellen Punkte in diesem System dar als: r = (X,und,z), wobei x, und, und z sind separate numerische Koordinaten, in drei orthogonalen (senkrecht) Wegbeschreibungen.

Die numerische Struktur mit reellen Zahlenpunkten wird in der Mathematik bezeichnet als (X,und,z). Der dreidimensionale Raum selbst (eine physische Sache) wird bezeichnet als:. Ein kartesisches Koordinatensystem ist eine spezielle Art der Abbildung zwischen Punkten dieser beiden Strukturen. Dadurch wird der intrinsische räumliche Abstand zwischen zwei Punkten in E3 direkt durch den "numerischen Abstand" zwischen ihren numerischen Koordinaten in.

Die numerischen Abstände werden durch eine numerische Funktion für die Länge bestimmt. Eine Linie vom Ursprung: (0,0,0), auf den Punkt r = (X,und,z), was als Vektor R bezeichnet wird, hat seine Länge durch die pythagoreische Formel gegeben:

|die| = √(x²+y²+z²).

Allgemeiner, für zwei beliebige Punkte, r1 = (x1, y1, Z1), und: R2 = (x2, Y2, Z2), Die Distanzfunktion ist:

|R2 – R1| = √((x2 – x1)²+ (Y2 – Y1)²+ (Z2 – Z1)²)

Das Besondere an diesem System ist, dass die Längen der Linien im x, und, oder z Richtungen allein werden direkt durch die Werte der Koordinaten gegeben. Zum Beispiel. wenn: r = (X,0,0), dann ist der Vektor zu R eine Linie rein in x-Richtung, und seine Länge ist einfach: |die| = x. Wenn r1 = (x1,0,0), und: R2 = (x2,0,0), dann ist der Abstand zwischen ihnen gerade: |R2 – R1| = (x2 – x1 ). Auch, ein kartesisches Koordinatensystem behandelt die drei Richtungen, X, und, und z, auf symmetrische Weise: Die Winkel zwischen jedem Paar dieser Richtungen sind gleich, 900. Aus diesem Grund, ein kartesisches System kann gedreht werden, und die gleiche Form der allgemeinen Abstandsfunktion wird im gedrehten System beibehalten.

Tatsächlich, es gibt räumliche Mannigfaltigkeiten, die kein mögliches kartesisches Koordinatensystem haben – z. Die Oberfläche einer Kugel, betrachtet als zweidimensionale Mannigfaltigkeit, kann nicht mit kartesischen Koordinaten dargestellt werden. Solche Räume wurden erstmals im 19. Jahrhundert als geometrische Systeme untersucht, und werden als nicht-klassische oder nicht-euklidische Geometrien bezeichnet. Aber, klassischer Raum ist euklidisch, und per Definition:

Der euklidische Raum kann durch kartesische Koordinatensysteme dargestellt werden.

Wir können eine Alternative definieren, nicht-kartesisch, Koordinatensysteme für den euklidischen Raum; Zum Beispiel, Zylindrische und sphärische Koordinatensysteme sind in der Physik sehr nützlich, und sie verwenden Mischungen aus linearen oder radialen Abständen, und Winkel, als Zahlen zur Angabe von Raumpunkten. Die numerischen Formeln für die Entfernung in diesen Koordinatensystemen scheinen sich stark von der kartesischen Formel zu unterscheiden. Sie sind jedoch so definiert, dass sie für die Abstände zwischen physischen Punkten die gleichen Ergebnisse liefern. Dies ist das wichtigste Merkmal des Distanzkonzepts in der klassischen Physik:

Abstand zwischen Punkten im klassischen Raum (oder zwischen zwei Ereignissen, die zum selben Zeitpunkt auftreten) ist eine physikalische Invariante. Es ändert sich nicht mit der Wahl des Koordinatensystems.

Die Form der numerischen Gleichung für Entfernungsänderungen ändert sich mit der Wahl des Koordinatensystems; Dies geschieht jedoch absichtlich, um das physische Konzept der Distanz zu bewahren.

5. Wahl des Trägheitsbezugssystems

Ein zweites entscheidendes Konzept ist die Idee eines Referenzrahmens. Ein Bezugssystem gibt alle Trajektorien an, die als stationär betrachtet werden, oder im Weltraum ruhen. Dies definiert die Eigenschaft, durch die Zeit am selben Ort zu bleiben. Das Hauptmerkmal sowohl der klassischen Mechanik als auch der STR ist jedoch, dass kein eindeutiger Referenzrahmen bestimmt wird. Jedes Objekt, das nicht beschleunigt, kann als stationär „in seinem eigenen Trägheitssystem“ betrachtet werden.. Es definiert einen gültigen Referenzrahmen für das gesamte Universum. Dies ist der natürliche Bezugsrahmen "aus der Sicht" des Objekts, oder "relativ zum Objekt". Aber es gibt viele mögliche Möglichkeiten, da ein bestimmter Bezugsrahmen gegeben ist, Jeder andere Rahmen, definiert, um alles eine konstante Geschwindigkeit relativ zum ersten Frame zu geben, ist ebenfalls eine gültige Wahl.

Die Klasse der möglichen (Physikalisch gültig) Bezugsrahmen werden objektiv bestimmt, Denn Beschleunigung unterscheidet sich absolut von konstanter Bewegung. Jedes Objekt, das nicht beschleunigt, kann als Definition eines gültigen Bezugssystems angesehen werden. Aber die gezielte Wahl eines Bezugssystems aus dem Spektrum der Möglichkeiten wird als willkürlich oder konventionell angesehen. Diese Auswahl muss getroffen werden, bevor ein Koordinatensystem definiert werden kann, um Entfernungen in Raum und Zeit darzustellen. Auch nachdem wir uns für ein Bezugssystem entschieden haben, Es gibt immer noch unzählige Möglichkeiten von Koordinatensystemen. Aber der Bezugsrahmen legt die Definition von Abständen zwischen Ereignissen fest, die in jedem Koordinatensystem relativ zu einem gegebenen Bezugssystem als gleich definiert sein müssen.

Der Gedanke der Konventionalität des Bezugssystems zeigt sich teilweise schon in der Wahl eines kartesischen Koordinatensystems: denn es ist eine willkürliche Sache, wo wir den Ursprung wählen, oder Punkt: 0 = (0,0,0), für ein solches System. Es ist auch beliebig, welche Richtungen wir für x wählen, und, und z-Achsen – solange wir sie zueinander senkrecht machen. Wir sind frei, einen gegebenen Satz von Achsen zu drehen, X, und, z, einen neuen Satz zu produzieren, X', du, und z’, und dies ergibt ein weiteres kartesisches Koordinatensystem. So, Übersetzungen und Drehungen kartesischer Koordinatensysteme für den Raum lassen uns immer noch mit kartesischen Systemen zurück.

Aber es gibt noch eine weitere Verwandlung, die für die klassische Physik absolut zentral ist, und beinhaltet sowohl Zeit als auch Raum. Dies ist die Galileische Geschwindigkeitstransformation, oder Geschwindigkeitsschub. Der wesentliche Punkt ist, dass wir ein räumliches Koordinatensystem durch die Zeit anwenden müssen. In reiner klassischer Geometrie, wir müssen keine Zeit berücksichtigen: wir weisen nur ein einziges Koordinatensystem zu, zu einem einzigen Zeitpunkt. Aber in der Physik müssen wir ein Koordinatensystem für den Raum zu verschiedenen Zeitpunkten anwenden. Woher wissen wir, ob das Koordinatensystem, das wir zu einem bestimmten Zeitpunkt anwenden, dasselbe Koordinatensystem darstellt, das wir zu einem späteren Zeitpunkt verwenden??

Die Prinzipien der klassischen Physik bedeuten, dass wir den „absoluten Ort im Raum“ nicht über die Zeit messen können. Der Grund dafür ist das grundlegende klassische Prinzip, dass die Naturgesetze nicht zwischen zwei Trägheitssystemen unterscheiden, die sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. Dies ist das klassische galiläische Prinzip der "Relativität der Bewegung". Grob gesagt, Das bedeutet, dass eine gleichmäßige Bewegung durch den Raum keinen Einfluss auf physikalische Prozesse hat. Und wenn Bewegung an sich keine Prozesse beeinflusst, Dann können wir keine Prozesse verwenden, um Bewegungen zu erkennen.

Newton glaubte, dass die klassische Auffassung von Raum dennoch absolute räumliche Orte im Laufe der Zeit erfordert, und dass sich einige spezielle Koordinatensysteme oder physische Objekte tatsächlich im Weltraum in "absoluter Ruhe" befinden werden. Aber im Kontext der klassischen Physik, Es ist unmöglich zu messen, ob sich ein Objekt in absoluter Ruhe befindet, oder sich in gleichmäßiger Bewegung im Raum befindet. Aus diesem Grund, Leibniz leugnete, dass die klassische Physik irgendein Konzept der absoluten Position im Raum erfordert, und argumentierte, dass nur der Begriff des "relativen" oder "relationalen" Raums erforderlich sei. In dieser Ansicht, Nur die relativen Positionen von Objekten zueinander werden als real betrachtet. Für Newton, Die Unmöglichkeit, den absoluten Raum zu messen, hindert ihn nicht daran, ein praktikables Konzept zu sein, und sogar ein logisch notwendiges Konzept. Es gibt immer noch keine allgemeine Übereinstimmung über diese Debatte zwischen "absoluten" und "relativen" oder "relationalen" Raumvorstellungen. Es ist eine der großen historischen Debatten in der Philosophie sowohl der klassischen als auch der relativistischen Physik. Aber, Es ist allgemein anerkannt, dass die klassische Physik den absoluten Raum nicht nachweisbar macht. Das bedeutet:, Mindestens, dass es im Kontext der klassischen Physik keine Möglichkeit gibt, ein operatives Verfahren zur Bestimmung der absoluten Position anzugeben (oder absolute Ruhe) Im Laufe der Zeit.

Eine absolute Beschleunigung ist jedoch nachweisbar. Beschleunigungen gehen immer mit Kräften einher. Dies bedeutet, dass wir sicherlich die Klasse der Koordinatensysteme angeben können, die sich in gleichförmiger Bewegung befinden, oder die nicht beschleunigen. Diese speziellen Systeme werden als Inertialsysteme bezeichnet, oder Trägheitsrahmen, oder galiläische Rahmen. Die Existenz von Trägheitssystemen ist eine Grundannahme der klassischen Physik. Es ist auch in STR von grundlegender Bedeutung, Und der Begriff eines Trägheitssystems ist in beiden Theorien sehr ähnlich.

Die Gesetze der klassischen Physik sind daher für Trägheitskoordinatensysteme spezifiziert. Sie sind in jedem Trägheitssystem gleichermaßen gültig. Gleiches gilt für die Gesetze von STR. Aber, Die Gesetze für die Transformation von einem Trägheitssystem in ein anderes sind für die beiden Theorien unterschiedlich. Um zu sehen, wie das funktioniert, Wir betrachten nun die operationelle Spezifikation von Koordinatensystemen.

6. Operationelle Spezifikation von Koordinatensystemen für den klassischen Raum und die Zeit

In der klassischen Physik, Wir können ein "operatives" Messsystem definieren, Dies ermöglicht es uns, Ereignissen in Raum und Zeit Koordinaten zuzuordnen.

Klassische Zeit. Wir stellen uns vor, die Zeit zu messen, indem wir eine Reihe von einheitlichen Uhren herstellen, Synchronisieren Sie sie zu einem bestimmten Zeitpunkt, Überprüfen, ob sie alle mit genau der gleichen Geschwindigkeit laufen (Richtige Zeitsätze), und dann Uhren an verschiedene Punkte des Raums zu bewegen, wo wir sie "stationär" in einem ausgewählten Trägheitssystem halten. Anschließend messen wir die Zeiten von Ereignissen, die an den verschiedenen Orten auftreten, wie von den verschiedenen Uhren an diesen Orten aufgezeichnet.

Natürlich, Wir können nicht davon ausgehen, dass unser Uhrensystem wirklich stationär ist. Das gesamte System von Uhren, die in gleichmäßiger Bewegung angeordnet sind, würde auch einen gültigen Trägheitsrahmen definieren. Aber die Gesetze der klassischen Physik bedeuten, dass Uhren in gleichförmiger Trägheitsbewegung mit genau der gleichen Geschwindigkeit laufen, und so stellen sich heraus, dass die Zeiten, die für bestimmte Ereignisse rekodiert wurden, genau gleich sind, auf den Annahmen der klassischen Theorie, für jedes solche System von Uhren.

Klassischer Raum. Wir stellen uns vor, den Raum zu messen, indem wir einen Satz starrer Messstäbe oder Lineale gleicher Länge konstruieren, was wir können (zumindest fantasievoll) als Raster im Raum aufgestellt, in einem Inertialsystem. Wir halten alle Lineale relativ zueinander stationär, Und wir verwenden sie, um die Entfernungen zwischen verschiedenen Ereignissen zu messen. Wieder, Die Hauptkomplikation besteht darin, dass wir keinen absolut stationären Rahmen für das Linealgitter bestimmen können, Und wir können ein alternatives System von Herrschern einrichten, das in relativer Bewegung ist. Dies führt dazu, dass Objekten unterschiedliche "absolute Geschwindigkeiten" zugewiesen werden, gemessen in zwei verschiedenen Rahmen. Aber, auf den Annahmen der klassischen Theorie, die relativen Abstände zwischen zwei beliebigen Objekten oder Ereignissen, zu einem bestimmten Zeitpunkt aufgenommen, wird in jedem Trägheitssystem gleich gemessen. Das liegt daran, dass, in der klassischen Physik, Eine gleichmäßige Bewegung an sich verändert nicht die Längen materieller Objekte, oder die Kräfte zwischen Systemen von Objekten. (Beschleunigungen verändern die Längen).

7. Operationelle Spezifikation von Koordinatensystemen für STR-Raum und -Zeit

In STR, Die Situation ist in vielerlei Hinsicht der klassischen Physik sehr ähnlich: Es gibt immer noch ein spezielles Konzept von Trägheitsrahmen, Beschleunigung ist absolut nachweisbar, und eine gleichmäßige Geschwindigkeit ist nicht nachweisbar. Laut STR, Die Gesetze der Physik sind immer noch unveränderlich in Bezug auf die gleichmäßige Bewegung im Raum, sehr ähnlich wie die klassischen Gesetze.

Wir spezifizieren auch operationelle Definitionen von Trägheitskoordinatensystemen in STR in ähnlicher Weise wie in der klassischen Physik. Aber, Wir spezifizieren auch operationelle Definitionen von Trägheitskoordinatensystemen in STR in ähnlicher Weise wie in der klassischen Physik, weil es mit den physikalischen Prinzipien von STR nicht vereinbar ist. Einstein war gezwungen, das klassische Maßsystem zu rekonstruieren, um ein System zu erhalten, das intern mit STR übereinstimmt.

STR-Zeit. In STR, Wir können immer noch einheitliche Uhren herstellen, die mit den gleichen Geschwindigkeiten laufen, wenn sie relativ zueinander stationär gehalten werden. Aber jetzt gibt es ein Problem, sie an verschiedenen Punkten des Raums zu synchronisieren. Wir können sie synchronisiert an einem bestimmten gemeinsamen Punkt starten; Aber das Verschieben an verschiedene Punkte des Raums stört bereits ihre Synchronisation, nach Gleichung (1).

Aber, während das Synchronisieren entfernter Uhren ein Problem darstellt, Sie laufen jedoch mit den gleichen intrinsischen Raten wie die anderen, wenn sie im selben Trägheitssystem gehalten werden. Und wir können sicherstellen, dass sich zwei Uhren in einem gemeinsamen Trägheitssystem befinden, solange wir sicherstellen können, dass sie den gleichen Abstand zueinander einhalten. Wir sehen, wie das als nächstes geht.

Vorausgesetzt, wir haben zwei Uhren, die in gleichem Abstand voneinander gehalten werden, Einstein zeigte, dass es tatsächlich ein einfaches operatives Verfahren gibt, um eine Synchronisation herzustellen. We send a light signal from Clock 1 to Clock 2, and reflect it back to Clock 1. We record the time it was sent on Clock 1 as t0, und die Zeit, in der es als spätere Zeit wieder empfangen wurde, T2. We also record the time it was received at Clock 2 as t1’ on Clock 2. Die Symmetrie der Situation erfordert nun, dass, in the inertial frame of Clock 1, we must assume that the light signal reached Clock 2 at a moment halfway between t0 and t1, d.h. zu der Zeit: t1 = 1/2(T2 – T0). Das liegt daran, dass, durch Symmetrie, Das Lichtsignal muss die gleiche Zeit in beide Richtungen zwischen den Uhren benötigen, vorausgesetzt, dass sie während des gesamten Prozesses in einem konstanten Abstand gehalten werden, und sie beschleunigen nicht. (Wenn das Lichtsignal länger brauchte, um sich in eine Richtung zu bewegen als in die andere, Dann müsste sich das Licht mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten in verschiedene Richtungen bewegen, was STR widerspricht).

Daher, we must resynchronize Clock 2 to make: t1' = t1. We simply set the hands on Clock 2 forwards by: (T1 – T1'), d.h. bis: ½(T2 – T0) – t1'. (Daher, the coordinate time on Clock 2 at t1’ is changed to: t1’ + (½(T2 – T0) – t1') = ½(T2 – T0) = t1.)

Dies wird manchmal als "Uhrsynchronisierungskonvention" bezeichnet, Und einige Philosophen haben darüber gestritten, ob es gerechtfertigt ist. Es ist jedoch unbestritten, dass dies erfolgreich das einzige System zur Zuweisung von Gleichzeitigkeit in der Zeit definiert, im gewählten Bezugssystem, was mit STR übereinstimmt.

Einige tiefere Probleme ergeben sich aus dem Begriff der Gleichzeitigkeit, den es zu beinhalten scheint. From the point of view of Clock 1, Der Moment, der bei: t1 = 1/2(T2 – T0) must be judged as ‘simultaneous’ with the moment recorded at t1’ on Clock 2. Aber in einem anderen Trägheitsrahmen, Das natürliche Koordinatensystem verändert die scheinbare Gleichzeitigkeit dieser beiden Ereignisse, so dass die Gleichzeitigkeit selbst in STR nicht "objektiv" ist, außer in Bezug auf die Wahl des Trägheitsrahmens. Wir werden dies später betrachten.

STR-Raum. In STR, Wir können den Raum auf sehr ähnliche Weise messen wie in der klassischen Physik. Wir stellen uns vor, einen Satz starrer Messstäbe oder Lineale zu konstruieren, which are checked to be the same length in the inertial frame of Clock 1, Und wir dehnen dies in ein Raster über den Raum aus. Wir müssen zunächst die Herrscher bewegen, Aber wenn wir das Netz eingerichtet haben, we keep them all stationary in the chosen inertial frame of Clock 1.

Dieses Raster aus stationären Messstäben verwenden wir dann, um die Abstände zwischen verschiedenen Ereignissen zu messen. Die Hauptannahme ist, dass identische Arten von Messstäben (which are the same lengths when we originally compare them at rest with Clock 1), Behalten Sie die gleichen Längen bei, nachdem Sie an verschiedene Orte bewegt wurden (and being made stationary again with regard to Clock 1). Diese Funktion wird von STR benötigt.

Die Hauptkomplikation, Noch einmal, ist, dass wir keinen absolut stationären Rahmen für das Linealgitter bestimmen können. Wir können ein alternatives System von Herrschern einrichten, die sich alle in einem anderen Trägheitssystem in relativer Bewegung befinden. Wie in der klassischen Physik, Dies führt dazu, dass den meisten Trajektorien in den beiden unterschiedlichen Frames unterschiedliche "absolute Geschwindigkeiten" zugewiesen werden. Aber in diesem Fall gibt es einen tieferen Unterschied: zu den Annahmen von STR, Die Längen der Messstäbe ändern sich entsprechend ihrer Geschwindigkeiten. Dies wird als Raumdilatation bezeichnet, Und es ist das Gegenstück zur Zeitdilatation.

Trotzdem, Einstein zeigte, dass vollkommen sinnvolle operationelle Definitionen von Koordinatenmessungen für die Länge, sowie die Zeit, sind in STR verfügbar. Aber sowohl die Gleichzeitigkeit als auch die Länge werden relativ zu bestimmten Trägheitssystemen.

Es ist dieses verwirrende konzeptionelle Problem, was die Theorieabhängigkeit der Messung beinhaltet, die Einstein zuerst enträtseln konnte, als Auftakt zur radikalen Rekonstruktion der klassischen Physik.

8. Operationalismus

Um dieses Problem zu lösen, müssen wir die "Funktionsprinzipien" der Messung spezifizieren, Dies erfordert jedoch nicht, dass wir uns eine operative Bedeutungstheorie zu eigen machen. Letzteres ist eine Form des Positivismus, und es besagt, dass die Bedeutung von "Zeit" oder "Raum" in der Physik vollständig durch die Angabe der Verfahren zur Messung von Zeit oder Raum bestimmt wird. Diese Theorie wird von Philosophen und Logikern im Allgemeinen abgelehnt, und es wurde von Einstein selbst in seinem reifen Werk abgelehnt. Nach dem Operationalismus, STR verändert die Bedeutung der Konzepte von Raum und Zeit von der klassischen Konzeption. Aber, Viele Philosophen würden argumentieren, dass "Zeit" und "Raum" für uns eine Bedeutung haben, die im Wesentlichen die gleiche ist wie für Galileo und Newton, weil wir die gleichen Dinge wie Zeit und Raum identifizieren; Aber die Relativitätstheorie hat unsere wissenschaftlichen Überzeugungen über diese Dinge verändert – so wie die Entdeckung, dass Wasser H2O ist, unser Verständnis der Natur des Wassers verändert hat, ohne notwendigerweise die Bedeutung des Begriffs "Wasser" zu verändern. Dieser semantische Streit ist in der Wissenschaftsphilosophie im Gange. Nachdem diese Grundgedanken von Koordinatensystemen und Inertialsystemen geklärt wurden, Wir wenden uns nun wieder dem Begriff der Transformationen zwischen Koordinatensystemen für verschiedene Trägheitssysteme zu.

9. Koordinatentransformationen und Objekttransformationen

Die Physik verwendet zwei verschiedene Konzepte von Transformationen. Es ist wichtig, diese sorgfältig zu unterscheiden.

Transformationen koordinieren: Nehmen Sie die Beschreibung eines bestimmten Prozesses (wie z.B. eine Trajektorie), in einem Koordinatensystem beschrieben, und Transformieren in seine Beschreibung in einem alternativen Koordinatensystem.
Objekt-Transformationen: Nehmen Sie einen bestimmten Prozess, in einem gegebenen Koordinatensystem beschrieben, und es in einen anderen Prozess umzuwandeln, beschrieben im gleichen Koordinatensystem wie der ursprüngliche Prozess.

Der Unterschied wird im folgenden Diagramm für die einfachste Art der Transformation veranschaulicht, Übersetzung des Raumes.

Figure 3. Objekt, Koordinate, und kombinierte Transformationen.

The transformations in Figure 3 are simple space translations.
Figure 3 (B) zeigt eine Objekttransformation an. Die ursprüngliche Flugbahn (Ein) wird im Raum nach rechts verschoben, by 4 units. Die neuen Koordinaten werden mit den ursprünglichen Koordinaten in Beziehung gesetzt, indem sie: xnew particle ® xoriginal particle + 4.
Figure 3 (C) zeigt eine Koordinatentransformation an: the coordinate system is moved to the left by 4 units. Das neue Koordinatensystem, X', bezieht sich auf das ursprüngliche System, X, bis: x’original particle = xoriginal particle + 4. Das Ergebnis "sieht" genauso aus wie (B).
Figure 3 (D) zeigt eine Kombination der Objekttransformation (B) und eine Koordinatentransformation, was das Gegenteil von dem in ist (C), definiert durch: x’’original particle = xoriginal particle – 4. Das Ergebnis sieht genauso aus wie die ursprüngliche Flugbahn in (Ein), weil die Koordinatentransformation den Effekt der Objekttransformation "rückgängig zu machen" scheint.
10. Gültige Transformationen

Es gibt eine enge Verbindung zwischen diesen beiden Arten von Transformationen. Diese Verbindung stellt den wichtigsten konzeptionellen Apparat der modernen Physik dar, durch das Konzept der physikalischen Symmetrien, oder Invarianzprinzipien, und gültige Transformationen.

Die tiefsten Merkmale von Gesetzen oder Theorien der Physik spiegeln sich in ihren Symmetrieeigenschaften wider, die auch als Invarianzen unter Symmetrietransformationen bezeichnet werden. Gesetze oder Theorien können als Beschreibung von Klassen physikalischer Prozesse verstanden werden. Physikalische Prozesse, die einer Theorie entsprechen, sind gültige physikalische Prozesse dieser Theorie. Natürlich, Nicht alle (logisch) Mögliche Prozesse, die wir uns vorstellen können, sind gültige physikalische Prozesse einer gegebenen Theorie. Andernfalls würde die Theorie alle möglichen Prozesse umfassen, und sagen uns nichts darüber, was physikalisch möglich ist, im Gegensatz zu dem, was logisch denkbar ist.

Symmetrien einer Theorie werden durch Transformationen beschrieben, die gültige Prozesse der Theorie bewahren. Zum Beispiel, Die Zeitübersetzung ist eine Symmetrie fast aller Theorien. Dies bedeutet, dass, wenn wir einen gültigen Prozess nehmen, und transformieren Sie es, intakt, zu einem früheren oder späteren Zeitpunkt, Wir haben immer noch einen gültigen Prozess. Dies ist gleichbedeutend damit, den "zeitlichen Ursprung" des Prozesses einfach auf einen späteren oder früheren Zeitpunkt zu setzen.

Andere gebräuchliche Symmetrien sind::

Rotationen im Raum (wenn wir einen gültigen Prozess nehmen, und drehen Sie es in eine andere Richtung im Raum, Am Ende haben wir einen weiteren gültigen Prozess).
Übersetzungen im Weltraum (wenn wir einen gültigen Prozess nehmen, und verschieben Sie es an eine andere Position im Raum, Am Ende haben wir einen weiteren gültigen Prozess).
Velocity-Transformationen (wenn wir einen gültigen Prozess nehmen, und geben Sie ihm einen gleichmäßigen Geschwindigkeitsschub in eine Richtung im Raum, Am Ende haben wir einen weiteren gültigen Prozess).

Diese Symmetrien gelten sowohl in der klassischen Physik als auch in der STR. In der klassischen Physik, sie werden galiläische Symmetrien oder Transformationen genannt. In STR werden sie Lorentz-Transformationen genannt. Aber, obwohl die Symmetrien in beiden Theorien sehr ähnlich sind, Die Lorentz-Transformationen in STR beinhalten Merkmale, die in der klassischen Theorie nicht offensichtlich sind. Tatsächlich, Dieser Unterschied tritt nur bei Velocity-Boosts auf. Translationen und Rotationen sind in beiden Theorien identisch. Dies liegt im Wesentlichen daran, dass Geschwindigkeitssteigerungen in STR Transformationen der Verbindung zwischen Eigenzeit und gewöhnlichem Raum und Zeit beinhalten, was in der klassischen Theorie nicht vorkommt.

Das Konzept der gültigen Koordinatentransformationen folgt direkt aus dem der gültigen Objekttransformationen. Der Punkt ist, dass, wenn wir eine Objekttransformation vornehmen, Wir beginnen mit der Beschreibung eines Prozesses in einem Koordinatensystem, und am Ende eine andere Beschreibung, eines anderen Prozesses, im gleichen Koordinatensystem angegeben. Anstatt die beteiligten Prozesse zu transformieren, Wir können das Gegenteil tun, und führen Sie eine Transformation des Koordinatensystems durch, so dass wir am Ende eine neue Koordinatenbeschreibung des ursprünglichen Prozesses erhalten, die genau so aussieht wie die Beschreibung des transformierten Prozesses im ursprünglichen Koordinatensystem.

Dies gibt eine alternative Möglichkeit, den Prozess zu betrachten, und sein transformiertes Image: anstatt sie als zwei verschiedene Prozesse zu betrachten, Wir können sie als zwei verschiedene Koordinatenbeschreibungen desselben Prozesses betrachten.

Dies hängt mit der Idee zusammen, dass bestimmte Aspekte des Koordinatensystems willkürlich oder konventionell sind. Zum Beispiel, Die Wahl eines bestimmten Ursprungs für Zeit oder Raum wird als konventionell angesehen: Wir können die Ursprünge in unserer Koordinatenbeschreibung verschieben, Und wir haben immer noch ein gültiges System. Dies ist nur möglich, weil die entsprechenden Objekttransformationen (Zeit- und Raumübersetzungen) sind gültige physikalische Transformationen.

Physiker neigen dazu, Koordinatentransformationen und gültige Objekttransformationen austauschbar und etwas mehrdeutig zu betrachten, Und die Unterscheidung zwischen den beiden ist in der angewandten Physik oft verschwommen. Dies verursacht zwar keine praktischen Probleme, Beim Erlernen der Konzepte der Theorie ist es wichtig, die beiden Arten von Transformationen klar zu unterscheiden.

11. Geschwindigkeitssteigerungen in STR und klassischer Mechanik

STR und klassische Mechanik haben genau die gleichen Symmetrien unter Übersetzungen von Zeit und Raum, und Rotationen des Raumes. Sie haben auch beide Symmetrien unter Velocity-Boosts: beide Theorien halten das, wenn wir einen gültigen physikalischen Prozess nehmen, und geben Sie ihm eine gleichmäßige zusätzliche Geschwindigkeit in eine Richtung, wir enden mit einem weiteren gültigen physikalischen Prozess. Aber die Transformation von Raum und Zeitkoordinaten, und zur richtigen Zeit, unterscheiden sich für die beiden Theorien unter einem Geschwindigkeitsschub. In der klassischen Physik, es wird eine Galilei-Transformation genannt, während es für STR eine Lorentz-Transformation genannt wird.

Um zu sehen, wie der Unterschied aussieht, wir können eine stationäre Flugbahn nehmen, und überlegen Sie, was passiert, wenn wir in beiden Theorien einen Geschwindigkeitsschub anwenden.

Figure 4. Klassische und STR Velocity Boosts führen zu unterschiedlichen Ergebnissen.

In beiden Diagrammen, Die grüne Linie ist die ursprüngliche Flugbahn eines stationären Teilchens, und es sieht in STR und klassischer Mechanik genau gleich aus. Richtige Zeitereignisse (blau markiert) sind in beiden Fällen gleichmäßig mit den Koordinatenzeitintervallen beabstandet.

Wenn wir die klassische Flugbahn transformieren, indem wir dem Teilchen eine Geschwindigkeit geben (In diesem Beispiel, v = c/2) nach rechts, Das Ergebnis (Rote Linie) ist sehr einfach: Die richtigen Zeitereignisse bleiben gleichmäßig mit Koordinatenzeitintervallen beabstandet. Die gleiche Sequenz von Eigenzeitereignissen benötigt die gleiche Koordinatenzeit. Das klassische Teilchen bewegt sich eine Strecke: Dx = v.Dt nach rechts, wobei Dt die Koordinatenzeitdauer des ursprünglichen Prozesses ist.

Aber wenn wir das STR-Teilchen umwandeln, Es passiert etwas Seltsames: Die richtigen Zeitereignisse werden weiter voneinander entfernt als die Koordinatenzeitintervalle, und die gleiche Sequenz von Eigenzeitereignissen benötigt mehr Koordinatenzeit, um abgeschlossen zu werden. Das STR-Teilchen bewegt sich eine Strecke: Dx' = v.Dt' nach rechts, wo: Dt’ > Dt, und damit: Dx’ > Dx.

Die Transformationen der Koordinaten der (Richtige Zeit) Punkte der ursprünglichen Prozesse sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Table 1. Beispiel für eine Geschwindigkeitstransformation.

Wir können die allgemeine Formel für die STR-Transformationen von t' und x' in diesem Beispiel mit Equation ausarbeiten (1). Dies erfordert die Suche nach einer Formel für die Transformation von Zeit-Raum-Koordinaten:

(t, 0) ® (t', X')

Wir erhalten dies, indem wir Gleichung anwenden (1) im (t',X') Koordinatensystem, gebend:

(1’)

Es ist entscheidend, dass diese Gleichung unter der Lorentz-Gleichung die gleiche Form beibehält. In diesem speziellen Fall, Wir haben die zusätzlichen Fakten, die:

(Ich) Dt = Dt, und:(Ii) Dx' = vDt'

Wir ersetzen (Ich) und (Ii) in (1’) zu erhalten:

Dies ordnet sich neu an, um zu geben:

und:

Das können wir sehen: Dx'/Dt' = v. Dies ist ein Spezialfall einer Lorentz-Transformation für diese einfachste Art der Trajektorie. Beachten Sie, dass, wenn wir uns dies als eine Koordinatentransformation vorstellen, die das Erscheinungsbild dieser Objekttransformation erzeugt, Wir müssen das neue Koordinatensystem in die entgegengesetzte Richtung zur Bewegung des Objekts verschieben. D.h. Wenn wir ein neues Koordinatensystem definieren, (X',t'), Bewegen bei –v (d.h. auf der linken Seite) in Bezug auf das Original (X,t) System, dann die ursprüngliche Flugbahn (die stationär erschien in (X,t)) scheint sich mit Geschwindigkeit +v zu bewegen (auf der linken Seite) in (X',t'). Im allgemeinen, Objekttransformationen entsprechen den inversen Koordinatentransformationen.

12. Lorentz-Transformationen für Velocity Boost V in x-Richtung

Die vorherigen Transformationen gelten nur für Punkte auf der speziellen Linie, in der: x = 0. Allgemeiner, Wir wollen die Formeln für die Transformation von Punkten an einer beliebigen Stelle im Koordinatensystem ausarbeiten:

(t, X) ® (t', X')

Die klassischen Formeln sind galiläische Transformationen, Und sie sind sehr einfach.

Galiläische Geschwindigkeitssteigerung:

(t, X) ® (t, X+VT)t' = t

x' = x+vt

Die STR-Formeln sind allgemeinere Lorentz-Transformationen. Die galiläische Transformation ist einfach, da die Zeitkoordinaten unverändert bleiben, Sodass: t = t'. Dies bedeutet, dass die zeitliche Gleichzeitigkeit in der klassischen Physik absolut ist: Es kommt nicht auf die Wahl des Koordinatensystems an. Wir haben auch, dass der Abstand zwischen zwei Punkten zu einem bestimmten Zeitpunkt unveränderlich ist, Denn wenn: x2 -x1 = Dx, dann: x'2 -x'1 = (X2+VT) – (X1-VT) = Dx. Die gewöhnliche Entfernung im Raum ist die entscheidende invariante Größe in der klassischen Physik.

Aber in STR, Wir haben eine komplexe Interdependenz von Zeit- und Raumkoordinaten. Dies ist darauf zurückzuführen, dass die Transformationsformeln für t' und x' Funktionen von x und t sind. D.h. Es gibt Funktionen f und g, so dass:

t' = f(X,t) und: x' = g(X,t)

Diese Funktionen stellen die Lorentz-Transformationen dar. Um stationären Objekten eine Geschwindigkeit V in x-Richtung zu geben, these general functions are found to be Lorentz Transformation, und der Faktor heißt γ, Lassen Sie uns diese Gleichungen einfacher schreiben als:

Lorentz-Transformationen: t' = γ(t+Vx/c2) und: x' = γ(x+Vt)

Wir können auch die entsprechende Koordinatentransformation betrachten, Dies würde das Erscheinungsbild dieser Objekttransformation in einem neuen Koordinatensystem erzeugen. Es ist im Wesentlichen dasselbe wie die Objekttransformation – außer dass es in die entgegengesetzte Richtung gehen muss. Für die Objekttransformation, die die Geschwindigkeit ruhender Teilchen um die Geschwindigkeit V in x-Richtung erhöht, entspricht einer Bewegung des Koordinatensystems in die entgegengesetzte Richtung. D.h. Wenn wir ein neues Koordinatensystem definieren, und ruf es an (X',t'), und setze diese mit einer Geschwindigkeit –V in Bewegung (d.h. V in negativer x-Richtung), im Verhältnis zu (X,t) Koordinatensystem, dann die ursprünglichen stationären Trajektorien hinein (X,t)-coordinates will appear to have speed V in the new (X',t') Koordinaten.

Denn die Lorentz-Transformation von Prozessen hinterlässt valide STR-Prozesse, Die Lorentz-Transformation eines STR-Koordinatensystems hinterlässt ein gültiges Koordinatensystem. Besonders, die Form der Gleichung (1) bleibt durch die Lorentz-Transformation erhalten, damit wir:. Dies kann überprüft werden, indem die Formeln für t' und x' wieder in diese Gleichung eingesetzt werden, und Vereinfachung; Es stellt sich heraus, dass die resultierende Gleichung identisch mit der Gleichung ist (1).

13. Galileische Transformation des Koordinatensystems

Eine nützliche Möglichkeit, den Effekt einer Transformation zu visualisieren, besteht darin, ein gewöhnliches Raum-Zeit-Diagramm zu erstellen, wobei die Raum- und Zeitachsen wie gewohnt senkrecht zueinander gezogen sind, und dann, um den neuen Koordinatensatz in diesem Diagramm zu zeichnen. In diesen Diagrammen, Die Raumachsen stellen Punkte dar, die gemessen werden, um die gleichen Zeitkoordinaten zu haben, und ähnlich, Die Zeitachsen stellen Punkte dar, die gemessen werden, um die gleichen Raumkoordinaten zu haben. Wenn wir einen Geschwindigkeitsschub machen, diese Linien der Gleichzeitigkeit und Gleichstellung werden verändert.

Dies wird zuerst für einen Galileischen Geschwindigkeitsschub gezeigt, wobei die Gleichzeitigkeitslinien tatsächlich dieselben bleiben, aber die Linien, die die Position darstellen, sind gedreht:

Figure 5. Galiläische Geschwindigkeitssteigerung.

In Figure 5, Die (grün) horizontale Linien sind Linien absoluter Gleichzeitigkeit. Sie haben die gleichen Koordinaten in t und t’.
Der (Blau) vertikale Linien sind Linien mit gleichen x-Koordinaten.
Der (grau) schräge Linien sind Linien mit gleichen x’-Koordinaten.
Der Abstand der x’-Koordinaten ist derselbe wie der x-Koordinaten, Das bedeutet, dass die relativen Abstände zwischen den Punkten nicht beeinflusst werden.
Der durchgezogene schwarze Pfeil stellt eine stationäre Trajektorie in (X,t).
Eine Objekttransformation von +V verschiebt es auf den grünen Pfeil, mit Geschwindigkeit: v = c/2 in der (X,t)-system.
Eine Koordinatentransformation von +V, zu einem System (X',t') Bewegung bei +V in Bezug auf (X,t), bewirkt, dass dieser grüne Pfeil in der (X',t') System.
Diese Koordinatentransformation lässt den schwarzen Pfeil so aussehen, als würde er sich bei –V in (X',t') Koordinaten.
14. Lorentz-Transformation des Koordinatensystems

In einem Lorentz-Geschwindigkeitsschub, Sowohl die Zeit- als auch die Raumachse sind gedreht, und auch der Abstand wird geändert.

Figure 6. Rotation von Raum- und Zeitkoordinatenachsen durch einen Lorentz-Geschwindigkeitsschub. Einige Eigenzeitereignisse sind blau markiert.

Um die zu erhalten (X',t')-coordinates of a point defined in (X,t)-coordinates, Wir beginnen an diesem Punkt, und: (Ich) Bewegen Sie sich parallel zu den grünen Linien, um den Schnittpunkt mit dem zu finden (rot) Taxen, die mit den x’-Koordinaten markiert ist; und: (Ii) Bewegen Sie sich parallel zu den roten Linien, um den Schnittpunkt mit dem zu finden (grün) x’-Achse, die mit den t’-Koordinaten markiert ist. Die Auswirkungen dieser Transformation auf einen festen Stab oder Lineal, der sich von x = 0 bis x = 1 erstreckt, und stationär drin (X,t), wird unten detaillierter gezeigt.

Figure 7. Lorentz-Geschwindigkeitssteigerung. Magnified view of Figure 6 shows time and space dilation. Das graue Rechteck stellt eine Einheit des Raum-Zeit-Weges eines Stabes dar (Rod 1) stationär in (X,t). Die dunkelgrünen Linien stellen einen Lorentz dar (Objekt) Transformation dieser Flugbahn, das ist eine zweite Rute (Rod 2) Umzug bei V in (X,t) Koordinaten. Dies ist eine Einheit des Raum-Zeit-Weges eines stationären Stabes in (X',t').

15. Zeit- und Raumdilatation

Figure 7 shows how both time and space dilation effects work. Um dies klar zu sehen, Wir müssen die Raumzeitvolumina berücksichtigen, die ein Objekt wie ein Stab nachzeichnet.

Der (grau) Rechteck PQRS stellt ein Raum-Zeit-Volumen dar, für eine stationäre Stange oder ein Lineal im Originalrahmen. Es ist 1 Meter lang in ursprünglichen Koordinaten (Dx = 1), and is shown over 1 unit of proper time, Dies entspricht einer Einheit der Koordinatenzeit (Dt = 1).
Das Rechteck PQ'R'S' (Grüne Ränder) stellt ein zweites Raum-Zeit-Volumen dar, für eine Stange, die sich im Originalrahmen zu bewegen scheint. So wandelt sich das Raum-Zeit-Volumen des ersten Stabes unter einer Lorentz-Transformation um.
Wir können die Transformation wie folgt interpretieren:: (Ich) eine Lorentz-Geschwindigkeitserhöhung des Stabs um die Geschwindigkeit +V (Objekttransformation), oder gleich: (Ii) eine Lorentz-Transformation in ein neues Koordinatensystem, (X',t'), bewegt sich bei –V in Bezug auf (X,t). Beachten Sie, dass:
Die in x gemessene Länge der bewegten Stange ist nun kürzer als die der stationären Stange: Dx = 1/γ. Das ist Raumdilatation.
Die in t gemessene Koordinatenzeit zwischen Eigenzeitereignissen auf dem bewegten Stab ist nun länger als für den stationären Stab (Dt = γ). Das ist Zeitdilatation.

Die Notwendigkeit, das neue Koordinatensystem auf diese Weise zu fixieren, lässt sich erarbeiten, indem man den sich bewegenden Stab aus der Sicht seines eigenen Inertialsystems betrachtet.

Betrachtet in seinem eigenen Trägheitskoordinatensystem, das grüne Rechteck PQ’R’S’ erscheint als Raum-Zeit-Grenze für einen stationären Stab. In diesem Rahmen:
PS’ erscheint stationär: es ist eine Linie wo: x’ = 0.
PQ’ erscheint als Linie der Gleichzeitigkeit, d.h. es ist eine Linie wo: t’=0.
R’S’ ist auch eine Gleichzeitigkeitslinie in t’.
Punkte auf R’S’ müssen die Zeitkoordinate haben: t’=1, denn zum Zeitpunkt t’ ist eine Einheit der Eigenzeit verstrichen, und für das stationäre Objekt, Dt’ = Dt.
Die Länge von PQ’ muss eine Einheit von x’ sein, da der sich bewegende Stab in seinem eigenen Trägheitsrahmen genauso lang erscheint wie der ursprüngliche stationäre Stab.

Zeit- und Raumdilatation werden in Diskussionen über STR oft als „perspektivische Effekte“ bezeichnet. Es wird gesagt, dass Objekte und Prozesse kürzer oder länger „aussehen“, wenn sie in einem Trägheitssystem statt in einem anderen betrachtet werden. Es ist üblich, diesen Effekt als ein rein „konventionelles“ Merkmal zu betrachten, was lediglich eine herkömmliche Wahl des Referenzrahmens widerspiegelt. Aber das ist eher irreführend, weil Zeit- und Raumausdehnung sehr reale physikalische Effekte sind, und sie führen zu völlig anderen Arten von physikalischen Vorhersagen als die klassische Physik.

Aber, Die symmetrischen Eigenschaften der Lorentz-Transformation machen es unmöglich, diese Merkmale zu verwenden, um festzustellen, ob sich ein Rahmen „wirklich bewegt“ und ein anderer „wirklich stationär“ ist.. Zum Beispiel, wenn Gegenstände kürzer werden, wenn sie in Bewegung gesetzt werden, Warum messen wir dann nicht einfach, wie lang Objekte sind?, und verwenden Sie dies, um festzustellen, ob sie „wirklich stationär“ sind? The details in Figure 7 reveal why this does not work: Der Raumdilatationseffekt wird umgekehrt, wenn wir Referenzrahmen ändern. Das heißt:

Measured in Frame 1, d.h. in (X,t)-coordinates, das stationäre Objekt (Rod 1) erscheint länger als das sich bewegende Objekt (Rod 2). Aber:
Measured in Frame 2, verwenden (X',t')-coordinates, das bewegte Objekt (Rod 2) scheint stationär, während das ursprünglich stationäre Objekt (Rod 1) bewegt. Aber jetzt erscheint der Raumerweiterungseffekt umgekehrt, and Rod 2 appears longer than Rod 1!

The reason this is not a real paradox or inconsistency can be seen from the point of view of Frame 2, because now Rod 1 at the moment of time t’ = 0 stretches from the point P to Q’’, statt von P nach Q, as in Frame 1. Die Linie der Gleichzeitigkeit verändert sich im neuen Rahmen, so dass wir den Abstand zwischen einem anderen Paar von Raum-Zeit-Ereignissen messen. Und PQ’’ ist jetzt kürzer als PQ’, which is the length of Rod 2 in Frame 2.

Es gibt keine Antwort, innerhalb von STR, welche Rute „wirklich kürzer wird“. Similarly there is no answer as to which rod ‘really has faster proper time’ – when we switch to Frame 2, we find that Rod 2 has a faster rate of proper time with regard to coordinate time, reversing the time dilation effect apparent in Frame 1. In diesem Sinne, Wir könnten diese Effekte als eine Frage der „Perspektive“ betrachten – obwohl es genauer ist, dies in STR zu sagen, in seiner üblichen Deutung, es gibt einfach keine Fakten über die absolute Länge, oder absolute Zeit, oder absolute Gleichzeitigkeit, überhaupt.

Aber, dies bedeutet nicht, dass Zeit- und Raumdilatation keine realen Effekte sind. Sie werden in anderen Situationen angezeigt, in denen es keine Mehrdeutigkeit gibt. Ein Beispiel ist das Zwillingsparadoxon, wo die Eigenzeit für einen sich bewegenden Zwilling absolut verlangsamt wird. Und es gibt ebenso reale physikalische Effekte, die sich aus der Raumdilatation ergeben. Nur lassen sich diese Effekte nicht zur Bestimmung eines absoluten Ruherahmens heranziehen.

16. Die vollständige spezielle Relativitätstheorie

Bis jetzt, Wir haben nur den grundlegendsten Teil von STR untersucht: die gültigen STR-Transformationen für den Raum, Zeit, und die richtige Zeit, und die Art und Weise, wie diese drei Größen miteinander verbunden sind. Dies ist der grundlegendste Teil der Theorie. Es repräsentiert die relativistische Kinematik. Es hat bereits sehr starke Auswirkungen. Aber die ausgereifte Theorie ist weitaus umfangreicher: sie resultiert aus Einsteins Idee, dass die Lorentz-Transformationen eine universelle Invarianz darstellen, gilt für alle Physik. Einstein formulated this in 1905: „Die Gesetze der Physik sind bei Lorentz-Transformationen unveränderlich (beim Übergang von einem Inertialsystem zu einem anderen willkürlich gewählten Inertialsystem)”. Annahme dieses allgemeinen Prinzips, Er untersuchte die Auswirkungen auf die Konzepte der Masse, Energie, Schwung, und Kraft.

Das bekannteste Ergebnis ist Einsteins Energiegleichung: E = mc². Dabei geht es um die Erweiterung der Lorentz-Transformation auf Masse. Einstein fand, dass, wenn wir Lorentz transformieren, ein stationäres Teilchen mit ursprünglicher Ruhemasse m0, mit einer Geschwindigkeit V in Bewegung setzen, wir können es nicht als Beibehaltung der gleichen Gesamtmasse betrachten. Stattdessen, seine Masse wird größer: m = γm0, wobei γ wie oben definiert ist. Dies ist ein weiterer tiefer Widerspruch zur klassischen Physik.

Einstein zeigte, dass wir dafür unser Energiekonzept neu formulieren müssen. In der klassischen Physik, kinetische Energie ist gegeben durch: E = ½ mv². In STR, Es gibt eine allgemeinere Definition von Energie, als: E = mc². Ein stationäres Teilchen hat dann eine grundlegende „Ruhemassenenergie“ von m0c². Wenn es in Gang gesetzt wird, seine Energie wird allein durch die Massenzunahme erhöht, und das ist kinetische energie. Das finden wir also in STR:

Kinetische Energie = mc²-m0c² = (c-1)m0c²

Für niedrige Geschwindigkeiten, mit: v << c, it is easily shown that: (γ-1)c² is very close to ½v², so this corresponds to the classical result in the classical limit of low energies. But for high energies, the behavior of particles is very different. The discovery that there is an underlying energy of m0c² simply from rest-mass is what made nuclear reactors and nuclear bombs possible: they convert tiny amounts of rest mass into vast amounts of thermal energy. The main application Einstein explored first was the theory of electromagnetism, and his most famous paper, in which he defined STR in 1905, is called “Electrodynamics of Moving Bodies”. In fact, Lorentz, Poincaré and others already knew that they needed to apply the Lorentz transformation to Maxwell’s theory of classical electromagnetism, and had succeeded a few years earlier in formulating a theory which is extremely similar to Einstein’s in its predictions. Some important experimental verification of this was also available before Einstein’s work (most famously, the Michelson-Morley experiment). But his theory went much further. He radically reformulated the concepts that we use to analyse force, energy, momentum, and so forth. In this sense, his new theory was primarily a philosophical and conceptual achievement, rather than a new experimental discovery of the kind traditionally regarded as the epitome of empirical science. He also attributed his universal ‘principle of relativity’ to the very nature of space and time itself. With important contributions by Minkowski, this gave rise to the modern view that physics is based on an inseparable combination of space and time, called space-time. Minkowski treated this as a kind of ‘geometric’ entity, based on regarding our Equation (1) as a ‘metric equation’ describing the geometric nature of space-time. This view is called the ‘geometric explanation’ of relativity theory, and this approach led Einstein even deeper into modern physics, when he applied this new conception to the theory of gravity, and discovered a generalised theory of space-time. The nature of this ‘geometric explanation’ of the connection between space, time, and proper time is one of the most fascinating topics in the philosophy of physics. But it involves the General Theory of Relativity, which goes beyond STR. 17. References and Further Reading The literature on relativity and its philosophical implications is enormous – and still growing rapidly. The following short selection illustrates some of the range of material available. Original publication dates are in brackets. Bondi, Hermann. 1962. Relativity and Common Sense. Heinemann Educational Books. A clear exposition of basic relativity theory for beginners, with a minimum of equations. Contains useful discussions of the Twins Paradox and other topics. Einstein, Albert. 1956 (1921). The Meaning of Relativity. (The Stafford Little Lectures of Princeton University.) Princeton University Press. Einstein’s account of the principles of his famous theory. Simple in parts, but mainly a fairly technical summary, requiring a good knowledge of physics. Epstein, Lewis Carroll. 1983. Relativity Visualized. Insight Press. San Francisco. A clear, simple, and rather unique introduction to relativity theory for beginners. Epstein illustrates the functional relationships between space, time, and proper time in a clear and direct way, using novel geometric presentations. Grunbaum, Adolf. 1963. Philosophical Problems of Space and Time. Knopf, New York. A collection of original studies by one of the seminal philosophers of relativity theory, this covers an impressive range of issues, and remains an important starting place for many recent philosophical studies. Lorentz, H. A., A. Einstein, H. Minkowski and H. Weyl. 1923. The Principle of Relativity. A Collection of Original Memoirs on the Special and General Theory of Relativity. Trans. W. Perrett and G.B. Jeffery. Methuen. London. These are the major figures in the early development of relativity theory, apart from Poincare, who simultaneously with Lorentz formulated the ‘pre-relativistic’ version of electromagnetic theory, which contains most of the mathematical basis of STR, shortly before Einstein’s paper of 1905. While Einstein deeply admired Lorentz – despite their permanent disagreements about STR – he paid no attention to Poincare. Newton, Isaac. 1686. Mathematical Principles of Natural Philosophy. Every serious student should read Newton’s “Definitions” and “Scholium”, where he introduces his concepts of time and space. Planck, Max. 1998 (1909). Eight Lectures on Theoretical Physics. Planck elegantly summarizes the revolutionary discoveries that characterized the first decade of 20th Century physics. Lecture 8 is one of the earliest accounts of relativity theory. This classic work shows Planck’s penetrating vision of many fundamental themes that soon came to dominate physics. Reichenbach, Hans. 1958 (1928). The Philosophy of Space and Time. Dover, New York. An influential early study of the concepts of space and time, and the relativistic revolution. Although Reichenbach’s approach is underpinned by his positivistic program, which is rejected today by philosophers, the central issues are of continuing interest. Russell, Bertrand. 1977 (1925). ABC of Relativity. Unwin Paperbacks, London. A early popular exposition of the meaning of relativity theory by one of the most influential 20th century philosophers, this presents key philosophical issues with Russell’s characteristic simplicity. Schlipp, P.A. (Ed.) 1949. Albert Einstein: Philosopher-Scientist. The Library of Living Philosophers. A classic collection of papers on Einstein and relativity theory. Spivak, M. 1979. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Publish or Perish. Berkeley. An advanced mathematical introduction to the modern approach to differentiable manifolds, which developed in the 1960’s. Philosophical interest lies in the detailed semantics for coordinate systems, and the generalizations of concepts of geometry, such as the tangent vector. Tipler, Paul A. 1982. Physics. Worth Publishers Ltd. An extended introductory textbook for undergraduates, Chapter 35, “Relativity Theory”, is a typical modern introduction to relativity theory. Torretti, Roberto. 1983/1996. Relativity and Geometry. Dover, New York. An excellent source for the specialist philosopher, summarizing history and concepts of both the Special and General Theories, with extended bibliography. Combines excellent technical summaries with detailed historical surveys. Wangsness, Roald K. 1979. Electromagnetic Fields. John Wiley & Sons Ltd. This is a typical advanced modern undergraduate textbook on electromagnetism. The final chapter explains how the structure of electrodynamics is derived from the principles of STR. Back to the main “Time” article. Author Information Andrew Holster Email: [email protected] New Zealand