Lewis Carroll: Logik

Charles L. Dodgson (auch bekannt als Lewis Carroll), 1832-1898, war ein britischer Mathematiker, Logiker, und der Autor der „Alice“-Bücher, Alices Abenteuer im Wunderland und hinter den Spiegeln und was Alice dort fand. Seinen Ruhm verdankt er vor allem seinen literarischen Werken, doch im 20. Jahrhundert fanden einige seiner mathematischen und logischen Ideen wichtige Anwendungen. Seine Herangehensweise an sie führte dazu, dass er verschiedene Methoden erfand, die sich für mechanisches Denken eignen. Er war kein traditioneller Mathematiker. Eher, Er wandte mathematische und logische Lösungen auf Probleme an, die ihn interessierten. Als natürlicher Logiker zu einer Zeit, als Logik noch nicht als Teil der Mathematik betrachtet wurde, er war in beiden Bereichen erfolgreich tätig. Alles, was er über Mathematik veröffentlichte, spiegelte eine logische Denkweise wider, insbesondere seine Arbeiten zur Geometrie. Dodgson hatte ein anhaltendes Interesse an Euklids Geometrie. Von den zehn Büchern über Mathematik, die er geschrieben hat, einschließlich seiner beiden Logikbücher, fünf befassten sich mit Geometrie. Aus seinem Studium der Geometrie, Er entwickelte eine starke Affinität zur Bestimmung der Gültigkeit von Argumenten nicht nur in der Mathematik, sondern auch im täglichen Leben. Dodgson legte großen Wert auf Logik als Grundlage für überzeugendes Denken in allen Lebensbereichen – doch war ihm nicht bewusst, dass er Konzepte entwickelt hatte, die im 20. Jahrhundert erforscht oder erweitert werden würden. Dodgsons Ansatz zur Lösung logischer Probleme veranlasste ihn, verschiedene Methoden zu erfinden, insbesondere die Methode der Diagramme und die Methode der Bäume. Als Methode für eine große Anzahl von Mengen, Carroll-Diagramme sind einfacher zu zeichnen als Venn-Diagramme, da sie selbstähnlich sind. Seine ungewöhnliche Darstellung elementarer Logik hat moderne Autoren amüsiert, die weiterhin Zitate aus seinen Logikbüchern übernehmen. Die Ansichten des Mathematikers und Logikers Hugh MacColl zur Logik wurden durch die Lektüre von Dodgsons Symbolischer Logik beeinflusst, Teil I. Ihr Austausch zeigt, dass beide ein großes Interesse an der präzisen Verwendung von Wörtern hatten. Und beide sahen keinen Schaden darin, Wörtern willkürliche Bedeutungen zuzuschreiben, solange diese Bedeutung präzise ist und die Zuschreibung vereinbart ist. Dodgsons Ruf als Autor der „Alice“-Bücher machte ihn vor allem zum Autor von Kinderbüchern und verhinderte, dass seine Logikbücher ernst genommen wurden. Die Barriere entstand durch den Ruhm, den Carroll verdientermaßen durch seine „Alice“-Bücher erlangte, kombiniert mit einem eher literarischen als mathematischen Schreibstil, verhinderte, dass die Gemeinschaft der britischen Logiker ihn zu seinen Lebzeiten richtig als bedeutenden Logiker anerkennen konnte.

Inhaltsverzeichnis
Dodgsons Leben
Das logische Setting seiner Zeit
Logik und Geometrie
Syllogismen, In Sorites, und Puzzle-Probleme
Venn- und Carroll-Diagramme
Dodgsons „Methoden“
Die Automatisierung des Abzugs
Dodgsons Logikkreis
Der „Alice“-Effekt
Logische Paradoxien
Das Barbershop-Paradoxon
Achilles und die Schildkröte
Dodgson und die moderne Mathematik
Carroll als Popularisierer
Abschluss
Referenzen und weiterführende Literatur
Primär
Sekundär
1. Dodgsons Leben

Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898), besser bekannt unter seinem Pseudonym Lewis Carroll, das er 1856 annahm, betrat die Christuskirche, Universität Oxford in England im Jahr 1852. Nach bestandener Antwort, die erste der drei erforderlichen Prüfungen und das Erreichen einer ersten Klasse in Mathematik und einer zweiten Klasse in Klassikern in Moderationen, die zweite Pflichtprüfung, 1854 erwarb er einen Bachelor-Abschluss, Platz eins auf der Liste der erstklassigen Auszeichnungen in Mathematik, und das Verdienen von Auszeichnungen der dritten Klasse in den erforderlichen Klassikern. Er erhielt 1857 den Master of Arts. Er blieb für den Rest seines Lebens am Christ Church College.

Er begann, einzelne Schüler privat in Differentialrechnung zu unterrichten, Kegel, Euklidische Geometrie, Algebra, und Trigonometrie. Im Jahr 1856 wurde er Dekan der Christ Church, der Reverend Henry Liddell, ernannte ihn zum Dozenten für Mathematik, ein Amt, das er 25 Jahre lang innehatte, bevor er es 1881 aufgab.

1856 begann er mit der Fotografie, schließlich dauert es ungefähr 3,000 Fotos, viele bedeutende Persönlichkeiten in der Regierung, Wissenschaft, die Künste, und Theater. Premierminister Salisbury, Michael Faraday, und John Ruskin waren einige seiner Themen. Er wurde zu einem der bedeutendsten Fotografen seiner Zeit. Er war auch ein produktiver Briefschreiber, Führen eines Verzeichnisses der Briefe, die er erhielt und verschickte, 98,721 davon, in den letzten fünfunddreißig Jahren seines Lebens.

Die Annahme heiliger Weihen war eine Voraussetzung für alle Fakultätsmitglieder. Er entschied sich dafür, Diakon statt Priester zu werden, damit er seine Zeit dem Unterrichten widmen und weiterhin in London ins Theater gehen konnte, was seine Lieblingsbeschäftigung war. 1861 wurde er zum Diakon geweiht. Dodgson entwickelte in seinem Leben eine zutiefst religiöse Sichtweise. Sein Vater, Erzdiakon Charles Dodgson, galt vor seiner Heirat als starker Kandidat für das Amt des Erzbischofs von Canterbury.

Seine ersten Veröffentlichungen (Broschüren und Bücher von 1860 bis 1864) wurden entwickelt, um Schülern zu helfen: Ein Lehrplan der ebenen algebraischen Geometrie, Systematisch geordnet mit formalen Definitionen, Postulate und Axiome; Anmerkungen zu den ersten beiden Büchern von Euklid; Anmerkungen zum ersten Teil der Algebra; Die Formeln der ebenen Trigonometrie; Die Verkündigungen Euklids I, II; Allgemeine Liste von [Mathematisch] Themen, und Zyklus für Arbeitsbeispiele; Ein Leitfaden für den Mathematikstudenten.

Mitte der 1860er Jahre wurde Dodgson im Collegeleben aktiv, Verfassen humorvoller mathematischer „Estriche“, um über verschiedene Themen in der Christ Church zu diskutieren, Abstimmung über die Wahl der Studierenden (Gefährten), und zu baulichen Veränderungen an den Gebäuden und dem Gelände des Colleges. Diese Aktivitäten weckten sein Interesse an Ranking- und Abstimmungsmethoden. Er wurde 1867 Mitglied des Verwaltungsrates und blieb dort sein ganzes Leben lang. 1868 erwarb er eine Wohnung in der nordwestlichen Ecke von Tom Quad, Teil der Christuskirche, wo er auf dem Dach ein Studio für seine Fotografie errichtete. Seine Wohnung war die erlesenste, das teuerste im College.

In den 1880er Jahren engagierte er sich in politischen Angelegenheiten außerhalb des Colleges, Er schickte viele Briefe an die Herausgeber von The St. James’s Gazette, die Pall Mall Gazette, und andere Zeitungen, in denen er seine Position zu verschiedenen Themen von nationaler Bedeutung darlegte. Durch seine Fotografie, er freundete sich mit Lord Salisbury an, der 1881 Premierminister wurde. Ihre soziale Beziehung, 1870 begonnen, hielt Dodgsons Leben lang an und spornte ihn an, über das Problem der Gerechtigkeit sowohl bei der Vertretung als auch bei der Aufteilung nachzudenken, gipfelte in seiner Broschüre von 1884, Die Grundsätze der parlamentarischen Repräsentation.

Seine Veröffentlichungen, Broschüren und zwei Bücher, im weiteren Verlauf der 1860er Jahre spiegeln diese Interessen sowie die der Mathematik wider, und solche, die seine beträchtlichen literarischen Fähigkeiten belegen: Die Dynamik eines Teilchens mit einem Exkurs über die neue Bewertungsmethode in ihrer Anwendung auf Π; Alices Abenteuer im Wunderland; Eine grundlegende Abhandlung über Determinanten mit ihren Anwendungen auf simultane lineare Gleichungen und algebraische Geometrie; Das fünfte Buch Euklid algebraisch behandelt, soweit es sich auf vergleichbare Größen bezieht, mit Notizen; Algebraische Formeln für die Verwendung von Kandidaten für Antworten; Phantasmagorie und andere Gedichte.

Seine Veröffentlichungen in den 1870er Jahren setzten diese Richtung fort: Algebraische Formeln und Regeln für die Verwendung von Kandidaten für Antworten; Arithmetische Formeln und Regeln für die Verwendung von Kandidaten für Antworten; Durch den Spiegel, Und was Alice dort gefunden hat; Die Verkündigungen des Euklid, Bücher I–VI; Beispiele in der Arithmetik; Eine Diskussion der verschiedenen Verfahrensweisen bei der Durchführung von Wahlen; Vorschläge zur besten Abstimmungsmethode; Euklid Buch V, Algebraisch bewiesen, soweit es sich auf vergleichbare Größen bezieht, mit Notizen; Die Jagd auf den Snark; Eine Methode zur Abstimmung über mehr als zwei Themen; Euklid und seine modernen Rivalen.

Nach seinem Rücktritt von seiner Position als Mathematikdozent, Dodgson hatte nun mehr Zeit zum Schreiben. In der ersten Hälfte der 1880er Jahre veröffentlichte Dodgson Lawn Tennis Tournaments, Die Grundsätze der parlamentarischen Repräsentation, Eine verworrene Geschichte, Alice’s Adventures Underground (Faksimile-Ausgabe).

Doch in der zweiten Hälfte der 1880er Jahre kam es mit seinem ersten Buch über Logik zu einem tektonischen Wandel: Das Spiel der Logik, sowie seine Chiffre, Memoria Technica, zwei weitere Bücher, Neugierige Mathematik, Teil I: Eine neue Theorie der Parallelen, und Sylvie und Bruno. 1887 veröffentlichte er den ersten von drei Artikeln in Nature, „Um den Wochentag für ein beliebiges Datum zu finden“.

Im letzten Jahrzehnt seines Lebens wurden weitere Bücher veröffentlicht. Die Kinderstube Alice erschien 1890. Neugierige Mathematik, Teil II: Kissenprobleme, und Sylvie and Bruno Concluded erschien 1893. Seine einzigen weiteren Veröffentlichungen zur Logik erschienen zwischen 1894 und 1896. Dies waren die beiden Artikel in Mind, „Ein logisches Paradoxon“, „Was die Schildkröte zu Achilles sagte“, und ein Buch, Symbolische Logik, Teil I: Grundschule. Von 1892 bis 1897 arbeitete er an einem Kapitel eines geplanten Buches über Spiele und Rätsel, das nie veröffentlicht wurde. Es enthielt seine „Regel zum Finden des Ostertages für jedes Datum bis A.“. D. 2499“. Seine letzten Veröffentlichungen waren: „Kurze Methode zum Teilen einer gegebenen Zahl durch 9 oder 11“, (1897) und „Abgekürzte lange Division“ (1898). Beide erschienen in der Zeitschrift Nature.

2. Das logische Setting seiner Zeit

Die Behandlung der Logik in England begann sich grundlegend zu ändern, als George Boole 1847 ein kurzes Buch mit dem Titel „The Mathematical Analysis of Logic“ veröffentlichte. Darin entwickelte er die Vorstellung, dass logische Beziehungen durch algebraische Formeln ausgedrückt werden könnten. Boolescher Wert, unter Verwendung seiner Rechengesetze, war in der Lage, alle Argumentationsmethoden der traditionellen klassischen Logik algebraisch darzustellen. Und in einem Buch, das er 1854 veröffentlichte, Eine Untersuchung der Gesetze des Denkens, Boole hat sich zum Ziel gesetzt, eine völlig allgemeine Methode in der Logik zu schaffen.

Parallel zu Booles Werk war das von De Morgan, dessen Buch, Formale Logik, erschien ungefähr zur gleichen Zeit wie Booles im Jahr 1847. De Morgan interessierte sich für die Entwicklung der Beziehungslogik als Ergänzung zu Booles Klassenlogik. Sein Ziel war es, die allgemeinste Form eines Syllogismus darzustellen. Sein Glaube, dass die Gesetze der Algebra formal dargelegt werden können, ohne eine bestimmte Interpretation wie das Zahlensystem vorzunehmen, Boole beeinflusst.

Obwohl Boole und seine Anhänger verstanden, dass sie nur die Logik algebraisierten, das ist, Syllogismen in einem neuen Notationssystem umzuschreiben, anstatt einen neuen logischen Kalkül zu erfinden, Sie behaupteten zu Recht, dass sich nicht alle gültigen Argumente auf diese Formen reduzieren lassen. Venn verstand das; Er veröffentlichte 1876 einen Artikel in Mind, der das folgende Problem als Veranschaulichung der Unzulänglichkeiten der aristotelischen Argumentationsformen und der Überlegenheit der booleschen Methoden enthielt. Venn hatte das Problem angegeben, dessen Schlussfolgerung lautet: Kein Aktionär ist Anleihegläubiger, als Testfrage für Studenten der Universität Cambridge. Er bemerkte das von den etwa 150 Studenten, Nur fünf oder sechs konnten das folgende einfache Problem lösen:

Ein bestimmtes Unternehmen hatte einen Vorstand. Jeder Direktor hielt entweder Anleihen oder Aktien; aber kein Direktor hatte beides inne. Jeder Anleihegläubiger war im Vorstand. Leiten Sie alles ab, was sich logisch ableiten lässt, in möglichst wenigen Sätzen.

Für Dodgson und seine Zeitgenossen, das zentrale Problem der Klassenlogik, bekannt als Eliminierungsproblem, bestand darin, die maximale Menge an Informationen zu bestimmen, die aus einer bestimmten Menge von Vorschlägen gewonnen werden kann. In seinem Buch von 1854, Boole machte die Lösung dieses Problems erheblich komplexer, als er den Mechanismus einer rein symbolischen Behandlung bereitstellte, der es erlaubte, Sätze beliebig viele Terme zu haben, Dadurch besteht die Möglichkeit einer überwältigenden Anzahl von Berechnungen.

Logische Argumente unter Verwendung von Inferenzregeln sind ein wichtiger Bestandteil sowohl der Geometrie als auch der Logik. An Dodgson, Logik und Geometrie teilten die Merkmale von Wahrheit und Gewissheit, Eigenschaften, die ihn faszinierten. Ab Mitte der 1880er Jahre, Er verlagerte seinen Fokus von der Wahrheit, die durch geometrische Theoreme gegeben wurde (wahre Aussagen) zur Gültigkeit logischer Argumente, die Regeln, die garantieren, dass nur wahre Schlussfolgerungen aus wahren Prämissen abgeleitet werden können, und er ging bis an die Grenzen der Standardformen der vorherrschenden Logik seiner Zeit, das war Aristotelisch.

Dodgson begann in den 1870er Jahren, als er sein Hauptwerk begann, explizit über Logik zu schreiben, Symbolische Logik, Der erste Teil erschien 1896. Dodgsons Formulierung der formalen Logik erfolgte erst spät in seinem Leben, nach seinen Veröffentlichungen über Euklids Geometrie in den 1860er und 1870er Jahren. In der Mathematik allgemein, und insbesondere in der Geometrie, Man beginnt mit einer Reihe von Axiomen und bestimmten Inferenzregeln, um daraus zu schließen, ob eine Aussage wahr ist, dann ist das auch ein anderer Vorschlag. An Dodgson, Geometrie und Logik teilten das Merkmal der Gewissheit, eine Eigenschaft, die ihn schon immer interessierte. Doch in den frühen 1890er Jahren verlagerte er seinen Fokus weg von der Wahrheit geometrischer Theoreme und hin zur Gültigkeit logischer Argumente.

Dodgson arbeitete allein, war aber keineswegs isoliert von der Gemeinschaft der Logiker seiner Zeit. Er korrespondierte mit einer Reihe britischer Logiker, darunter auch: James Welton, Autor der beiden Bände A Manual of Logic; John Cook Wilson, Von 1889 bis zu seinem Tod 1915 Professor für Logik in Oxford; Thomas Fowler, Wykeham-Professor für Logik in Oxford (1873 bis 1889) und Autor von „Die Elemente der deduktiven Logik“.; William Ernest Johnson, ein Mitarbeiter von John Neville Keynes in Cambridge und Autor von „The Logical Calculus“.,„Eine Serie von drei Artikeln, die 1892 in Mind erschien; Herbert William Blunt; Henry Sidgwick, Professor für Moralphilosophie in Cambridge; John Venn, Autor des einflussreichen Buches, Symbolische Logik; sowie F. H. Bradley, Autor von „Die Prinzipien der Logik“.; und Stewart. Er zitierte auch das Buch, Studium der Logik, herausgegeben von Peirce und enthält Stücke von Peirces Schülern: Marquand, Ladd – Franklin, Oscar Howard Mitchell, und B. ICH. Gilman. Wir wissen es aus Venns Rezension von Studies in Logic, die in der Oktoberausgabe 1883 von Mind erschien, kurz nachdem Peirces Buch veröffentlicht wurde, dass Peirce den britischen Symbolisten gut bekannt war, und dass sie von Peirces Veröffentlichungen wussten.

Marquands Beiträge, ein kurzer Artikel, „Eine Maschine zur Erzeugung syllogistischer Variationen“, und seine „Anmerkung zu einer Acht-Term-Logikmaschine“, enthalten Ideen, die Dodgson in seinem Register of Attributes festgehalten hat, ein Werkzeug, das er konstruierte, um die Räumlichkeiten zu organisieren, als er seine Baummethode auf Soritesen anwandte, (Eine Sorites ist ein Argument mit vielen Prämissen und einer einzigen Schlussfolgerung. Es kann als Liste von Syllogismen aufgelöst werden, Die Schlussfolgerung jedes einzelnen wird zur Prämisse des nächsten Syllogismus.) Dodgson hatte schon früher in „The Game of Logic“ Ideen verwendet, die mit einer Logikmaschine in Verbindung stehen.

Der Verkauf von Dodgsons Bibliothek nach seinem Tod umfasste auch Werke über Logik von Boole, Venn, Alan Marquand, Mitchell, Ladd-Franklin, Benjamin Ives Gilman, Peirce, John Neville Keynes, Rudolf Hermann Lotze (in englischer Übersetzung von Bernard Bosanquet) James William Gilbart, De Morgan, Bernard Bosanquet, Francis H. Bradley, John Stuart Mill, William Stirling Hamilton, William Whewell, und Jevons, unter anderen. Einige dieser Werke beeinflussten sein eigenes Schreiben und lieferten ihm auch Material, das er im Umgang mit Oxford-Gegnern benötigte,

3. Logik und Geometrie

Auf einer impliziten Ebene, Dodgson schrieb während seiner gesamten beruflichen Laufbahn über Logik. Alles, was er über Mathematik veröffentlichte, spiegelte eine logische Denkweise wider, insbesondere seine Arbeiten zur Geometrie. Dodgsons verstärkte Beschäftigung mit der Logik folgte auf seine Veröffentlichungen über Euklids Geometrie aus den 1860er und 1870er Jahren.

Ab Mitte der 1880er Jahre, Er verlagerte seinen Fokus von der Wahrheit, die durch geometrische Theoreme gegeben wurde (wahre Aussagen) zur Gültigkeit logischer Argumente, die Regeln, die garantieren, dass nur wahre Schlussfolgerungen aus wahren Prämissen abgeleitet werden können. Auf S. xi des Vorworts zur dritten Auflage (1890) seines Buches über Geometrie, Curiosa Mathematica Teil I: Eine neue Theorie der Parallelen, Er wies darauf hin, dass die Gültigkeit eines Syllogismus unabhängig von der Wahrheit seiner Prämissen ist. Er gab dieses Beispiel:

Ich habe nach dir geschickt, meine lieben Enten, sagte die würdige Frau. Bindung, „um zu fragen, mit welcher Soße Sie gegessen werden möchten.“?„Aber wir wollen nicht getötet werden.“!“, riefen die Enten. „Sie irren vom Punkt ab“, war Frau. Bonds völlig logische Antwort.

Dodgson hatte ein anhaltendes Interesse an Euklids Geometrie. Von den zehn Büchern über Mathematik, die er geschrieben hat, einschließlich seiner beiden Logikbücher, fünf befassten sich mit Geometrie. Aus seinem Studium der Geometrie, Er entwickelte eine starke Affinität zur Bestimmung der Gültigkeit von Argumenten nicht nur in der Mathematik, sondern auch im täglichen Leben. Wohl, Dodgsons Formulierung der formalen Logik erfolgte spät in seinem Leben als Höhepunkt seiner Veröffentlichungen über Euklids Geometrie in den 1860er und 1870er Jahren. Genau einen Monat bevor er starb, In einem unveröffentlichten Brief schrieb Dodgson an Dugald Stewart und kritisierte ein Manuskript, das Stewart ihm für seine Meinung gegeben hatte, er kommentierte:

Logik, unter dieser Ansicht, würde für mich werden, eine Wissenschaft von solcher Ungewissheit, dass ich sie nicht kennen würde [sollen] interessiere mich nicht weiter dafür. Es ist seine absolute Gewissheit, die mich derzeit fasziniert. (Dodgson, Berol-Sammlung, New Yorker Universität, 14. Dezember 1897)

Wir wissen auch, dass Dodgson in seinen zahlreichen Veröffentlichungen zur Geometrie geschickt darin war, Theoreme mit der Widerspruchsmethode zu beweisen. So wie die Logik sein geometrisches Werk prägte, so prägte die Geometrie seine logischen Schriften. In seinem Logikbuch, er verwendete geometrische Notationen und Begriffe, Zum Beispiel, das umgekehrte Absatzsymbol für den Hauptkonnektiv, ein Syllogismus, die Implikationsrelation, und das entsprechende Symbol ∴ für „deshalb“.

An. Syllogismen, In Sorites, und Puzzle-Probleme

In der klassischen aristotelischen Logik gibt es vier Formen von Sätzen:

Ein: Alles x ist y
E: Nein, x ist y
ICH: Ein x ist y
Ö: Einige x sind nicht y.

Diese Boole schrieb als:

X(1 – J) = 0
xy = 0
xy ≠ 0
X(1 – J) ≠ 0.

Das x, und, z-Symbole bezeichnen Klassen; und Boole verwendete gewöhnliche algebraische Gesetze, die Berechnungen mit Zahlen regeln, um sein Klassensystem und die zulässigen Operationen darauf zu interpretieren. Er ging davon aus, dass jedes dieser Gesetze xy = yx ist, drückt eine Aussage aus, die wahr ist. Boole entwickelte auch Regeln zur Lösung von Eliminierungsproblemen. Wenn die Gleichung f(X) = 0 bezeichnet die verfügbaren Informationen über eine Klasse x, und wir wollen die Beziehungen finden, die zwischen x und den anderen Klassen bestehen (und, z, und so weiter) zu dem x in Beziehung steht, was durch den Ausdruck f symbolisiert wird(X), Boolescher Wert, unter Verwendung seiner Rechengesetze, war in der Lage, alle Argumentationsmethoden der traditionellen klassischen Logik algebraisch darzustellen. Zum Beispiel, Beim syllogistischen Denken geht es darum, zwei Klassengleichungen zu reduzieren (Firmengelände) zu einer Gleichung (Abschluss), Eliminierung der Mittelfrist, und dann die Gleichung der Schlussfolgerung für den Subjektterm lösen. Die mechanische Natur dieser Schritte ist offensichtlich.

Dodgson, wie die meisten seiner Kollegen, klassische Formen verwendet, wie der Syllogismus und Soriten, um logische Probleme zu lösen. Diese Formen der traditionellen aristotelischen Logik bildeten die Grundlage des Systems logischen Denkens, das in England bis zum ersten Viertel des 20. Jahrhunderts vorherrschte. Aber Dodgson ging noch viel weiter, Erstellen logischer Rätselprobleme, Einige davon enthielten Argumente, die den Leser verwirren sollten, während andere als paradox bezeichnet werden könnten, weil sie zu beweisen schienen, was als falsch galt. Mit diesen Zielen im Hinterkopf, er wollte zeigen, dass die klassische syllogistische Form, das vorherrschende Logiksystem seiner Zeit, lässt weitaus allgemeinere Überlegungen zu, als allgemein angenommen wird.

Mittelalterliche aristotelische Logiker hatten Klassifikationen von fünfzehn formuliert, neunzehn, oder vierundzwanzig gültige Syllogismen, abhängig von einer Reihe von Annahmen. Und in Teil II der Symbolischen Logik, Bartley schließt drei weitere gültige syllogistische Formeln ein, die Dodgson hauptsächlich für den Umgang mit Syllogismen entwickelt hatte, die „nicht-alle“-Aussagen enthalten.

Syllogistisches Denken, von der Zeit des Aristoteles bis zu George Booles Werk der Logik in der Mitte des 19. Jahrhunderts, war die wesentliche Methode allen logischen Denkens. In einem Syllogismus, es gibt drei Begriffe (Klassen) in seinen drei Aussagen: Thema, Prädikat (ein Ausdruck, der Eigenschaften zuschreibt), und der Mittelbegriff, der in jeder Prämisse einmal vorkommt. Es gibt verschiedene Klassifizierungssysteme für Syllogismen, die die relative Position des wiederholten Mittelbegriffs berücksichtigen (was seine Figur bestimmt, oder Fall – es gibt vier Fälle) und die Art und Weise, wie ein Syllogismus innerhalb einer Figur konstruiert werden kann (was seine Stimmung bestimmt).

Dodgson erstellte den ersten Teil seines visuellen Beweissystems, ein schematisches System, beginnend im Jahr 1887 in einem kleinen Buch mit dem Titel The Game of Logic. Sein Diagrammsystem konnte Irrtümer erkennen, ein Thema, das ihn sehr interessierte. Er definierte einen Trugschluss als „ein Argument, das uns täuscht“., indem es scheinbar beweist, was es nicht wirklich beweist …“ (Bartley 1977, P. 129)

Das „Spiel“ verwendet nur Zwei- und Dreisatzdiagramme. Seine Diagramme können sowohl universelle als auch existenzielle Aussagen darstellen. Dieses Lehrbuch, für junge Leute gedacht, hat viele Beispiele und ihre Lösungen.

Im Hinblick auf die Erweiterung seiner Beweismethode, Dodgson erweiterte seinen Diagrammsatz, schließlich erstellte er Diagramme für acht Sätze (Klassen), und Beschreibung der Konstruktion von Neun-Mengen- und Zehn-Mengen-Diagrammen.

Er glaubte an geistige Aktivitäten und geistige Erholung, wie Spiele und insbesondere Puzzles, waren unterhaltsam und vermittelten denen, die sich die Mühe machten, sie zu lösen, ein Gefühl der Macht. In einer Werbung für die vierte Ausgabe von Symbolic Logic, Teil I. Er schrieb ein an Lehrer gerichtetes Grundschulbuch:

Ich behaupte, für Symbolische Logik, ein sehr hoher Platz unter den Freizeitaktivitäten, die den Charakter von Spielen oder Rätseln haben … Symbolische Logik hat ein einzigartiges Merkmal, im Vergleich zu Spielen und Puzzles, was dazu berechtigt, Ich halte, um über ihnen allen zu stehen ... Er kann seine Fähigkeiten auf jedes einzelne Thema des menschlichen Denkens anwenden; In jedem einzelnen von ihnen wird es ihm helfen, klare Vorstellungen zu bekommen, sein Wissen geordnet zu ordnen, und wichtiger als alles andere, um die Irrtümer zu erkennen und zu enträtseln, auf die er in jedem Thema stoßen wird, an dem er sich interessiert. (Bartley 1977, P. 46)

Dodgson legte großen Wert auf Logik als Grundlage für überzeugendes Denken in allen Lebensbereichen – doch war ihm nicht bewusst, dass er Konzepte entwickelt hatte, die im 20. Jahrhundert erforscht oder erweitert werden würden. Obwohl er seine Innovationen als bedeutsam ansah, die Tatsache, dass er sie vor allem in einem didaktischen Kontext präsentierte, im Gegensatz zu einem Forschungskontext, hat beeinflusst, wie sie zu seiner Zeit und sogar nach Bartleys Veröffentlichung wahrgenommen und bewertet wurden.

Carrolls Vorstellung von der syllogistischen Konstruktion unterschied sich sowohl von der Klassik und dem Mittelalter als auch von der seiner Zeitgenossen. Er nannte unter anderem die folgenden Gründe für die Konsolidierung der neunzehn verschiedenen Formen, die in aktuellen Lehrbüchern vorkommen: die syllogistischen Regeln waren zu speziell; Viele Schlussfolgerungen waren unvollständig; und viele legitime Syllogistikformen wurden ignoriert. Obwohl Boole glaubte, dass die Lösungen, die durch die Anwendung seiner Methoden gefunden wurden, vollständig waren, Es hat sich gezeigt, dass dies nicht immer der Fall war.

Carroll nahm im Vergleich zu dem, was zu seiner Zeit derzeit akzeptiert wurde, mehrere Änderungen an syllogistischen Konstruktionen vor. Das Ergebnis sind die fünfzehn gültigen Syllogismen, obwohl er sie nicht wirklich auflistete, das erkannte Carroll. Ein Syllogismus ist ein Argument mit zwei Prämissen und einer einzigen Schlussfolgerung, wobei jeder Satz eine von vier Arten ist, Ein: „Alle…sind…“; E: „Nein… ist…“; ICH: „einige…sind…“; Ö: „manche…sind nicht…“. Es gibt drei Begriffe (Klassen) in den drei Aussagen: Thema, Prädikat (ein Ausdruck, der Eigenschaften zuschreibt) und der Mittelbegriff, der in jeder Prämisse einmal vorkommt. Die Zahl seiner gültigen Syllogismen schwankt zwischen achtzehn und vierundzwanzig.

In seinem früheren Buch, Das Spiel der Logik, Carroll entwickelte ein Diagrammsystem zur Lösung von Syllogismen. Zehn Jahre später, in der symbolischen Logik, Teil I, Er erweiterte die Diagrammmethode, um die Konstruktion von bis zu zehn Klassen zu ermöglichen (Sätze) Darstellung ihrer Beziehungen und der entsprechenden Aussagen. Diese visuelle Logikmethode, das triliterale und biliterale Diagramme verwendet, ist ein Beweissystem für kategoriale Syllogismen, deren Sätze vom Typ A sind, E, Ich tippe. Er subsumierte den O-Typ unter I, das ist, „einige x sind nicht-y“ ist äquivalent zu „einige x sind y und einige x sind nicht-y“. Aber er verwendete die Methode nicht als Beweissystem über Syllogismen hinaus. Für die komplexeren Soritesen, er entschied sich für die „Methoden der abgesperrten Räumlichkeiten und abgesperrten Gruppen“.,“ und seine letzte visuelle Methode, die Methode der Bäume, das bis 1977 unveröffentlicht blieb, als es in W. erschien. W. Das Buch von Bartley III, Lewis Carrolls symbolische Logik. In Bartleys Konstruktion von Teil II der Symbolischen Logik, unter Verwendung der vorhandenen Dokumente von Dodgson, Buchstaben, und Manuskripte, Die Hauptthemen in den acht Büchern sind: Trugschlüsse, logische Diagramme, die beiden Methoden der vergitterten Räumlichkeiten und der Bäume, und Rätselprobleme. In Teil I der Symbolischen Logik verwendete Dodgson nur drei Formeln, die er Figuren oder Formen nannte, um die klassischen Syllogismen zu bezeichnen. In der vierten Auflage von Symbolic Logic, Teil I. Grundschule, Dodgson wies in einem Anhang darauf hin, An die Lehrer gerichtet, wo er geschrieben hat:

Was Syllogismen betrifft, Ich finde ihre [in Lehrbüchern] neunzehn Formen, mit etwa zwanzig anderen, die sie ignoriert haben, können alle in drei Formen angeordnet werden, jedes mit einer sehr einfachen eigenen Regel. (Bartley 1977, P. 250)

In der symbolischen Logik, Teil I, der 1896 in vier Auflagen erschien, Dodgson, dargestellte Syllogismen wie in diesem Beispiel:

Keine x sind m;

Alle m sind y.

∴ Keine x sind yʹ

in Form von bedingten Anweisungen unter Verwendung einer tiefgestellten Form, die symbolisch geschrieben wird als: xmʹ0 † m1yʹ0 (umkehren ¶) xyʹ0 (Bartley 1977, P. 122) wobei das umgekehrte Absatzzeichen die verbindende Implikationsbeziehung angibt, was er als definierte: die Sätze auf der linken Seite „würde, Wenn wahr, „Beweisen“ Sie den Satz auf der rechten Seite. (Bartley 1977, P. 119) Dodgsons algebraische Notation ist eine Modifikation der Booleschen Notation, die er für unhandlich hielt.

Warum entschied sich Dodgson, seine Logikbücher unter seinem Pseudonym zu schreiben?? Bartley schlägt eine Kombination von Motiven vor: Er wollte, dass der Stoff ein breites Publikum ansprach, vor allem an junge Leute, Eine Aufgabe, die durch die große Anerkennung, die ihm als Autor zuteil wurde, erleichtert wurde, Lewis Carroll. Dann auch, da war das finanzielle Motiv; Von Lewis Carroll verfasste Bücher könnten größere Einnahmen generieren als Bücher des Mathematikers Charles Dodgson. Bis 1896, Dodgson war sehr besorgt über seine Sterblichkeit und die Verantwortung, die er für die zukünftige Fürsorge seiner Familie trug, besonders seine unverheirateten Schwestern. Aber es gab noch andere Gründe, warum er die Bekanntheit wollte, die sein Pseudonym bieten würde. Ein zutiefst religiöser Mann, Dodgson betrachtete seine mathematischen Fähigkeiten als eine Gabe, die er im Dienste Gottes einsetzen sollte. In einem Brief an seine mathematisch begabte Schwester, Louisa, vom 28. September 1896, er schrieb:

[W]Hier gibt es keinen lebenden Menschen, der das könnte (oder würde sich jedenfalls die Mühe machen) & beenden, & veröffentlichen, der 2. Teil der Logik. Außerdem habe ich das Logik-Buch im Kopf … Deshalb habe ich beschlossen, zuerst Teil II fertigzustellen … Das Buch wird eine großartige Neuheit sein, & wird helfen, Ich glaube voll und ganz, um das Studium der Logik viel einfacher zu machen, als es jetzt ist: & das wird es, Ich glaube auch, eine Hilfe für religiöse Gedanken sein, indem man klare Vorstellungen vermittelt & des Ausdrucks, was es vielen Menschen ermöglichen kann, sich damit auseinanderzusetzen, & erobern, viele religiöse Schwierigkeiten für sich. Ich betrachte es also wirklich als Arbeit für Gott. (Bartley 1977, pp. 366-371)

b. Venn- und Carroll-Diagramme

In ihren schematischen Methoden, Sowohl Venn als auch Carroll verwendeten einfache symmetrische Figuren, und sie schätzten visuelle Klarheit und einfache Zeichnung als die wichtigsten Attribute. Wie Boole und Jevons, beide standen in der Tradition der Infinitesimalrechnung, das ist, mechanischer Abzug. Jeder von ihnen verwendete ein System symbolischer Formen, die isomorph zu seinen schematischen Formen waren.

Sowohl Venn-Diagramme als auch Carroll-Diagramme sind maximal, in dem Sinne, dass durch sie keine zusätzlichen logischen Informationen wie inklusive Disjunktionen darstellbar sind. Aufgrund ihrer Selbstähnlichkeit und algorithmischen Konstruktion sind Carroll-Diagramme jedoch für eine große Anzahl von Mengen einfacher zu zeichnen. Diese Regelmäßigkeit macht es einfacher, Zellen zu finden und dadurch zu löschen, die Klassen entsprechen, die durch die Prämissen eines Arguments zerstört wurden. Obwohl sowohl Venn- als auch Carroll-Diagramme existenzielle Aussagen darstellen können, Carroll-Diagramme sind in der Lage, komplexere Probleme einfacher zu bewältigen als Venns System, ohne die visuelle Klarheit des Diagramms zu beeinträchtigen. Carroll deutete die Überlegenheit seiner Methode nur an, als er seine eigene Lösung für einen Syllogismus mit einer verglich, die Venn geliefert hatte. (Carroll 1958, pp. 182-183)

Sowohl im Dodgson- als auch im Venn-System, Es können existentielle Aussagen dargestellt werden. Die Verwendung eines kleinen Pluszeichens, „+“ in einer Region, um anzuzeigen, dass sie nicht leer ist, erschien erst 1894, und Dodgson berichtete darüber in seinem Buch über symbolische Logik. Aber, Dodgson war möglicherweise der Erste, der es benutzte. Ein MS-Arbeitsblatt zu Logikproblemen, vermutlich aus dem Jahr 1885, enthält eine Variante eines triliteralen Diagramms, bei dem ein „+“ einen nicht leeren Bereich darstellt. Aber in seiner veröffentlichten Arbeit, Dodgson bevorzugte das Symbol „1“ für eine nicht leere Region und das Symbol „0“ zur Bezeichnung einer leeren Region.

Sowohl Venn- als auch Carroll-Diagramme können exklusive Disjunktionen darstellen; keiner kann inklusive disjunktive Aussagen wie x + y darstellen, wenn x und y etwas gemeinsam haben. Ausschließliche Disjunktionen sind in der syllogistischen Logik wichtig, weil existentielle Aussagen wie, „einige x sind y“ kann als Disjunktion geschrieben werden, xyz oder xyz¢; und die Aussage, „einige y sind z¢“ kann als Disjunktion geschrieben werden, xyz¢ oder x¢yz¢. Eigentlich, Es ist nicht möglich, allgemeine disjunktive Informationen in einem Diagramm darzustellen, ohne ein beliebiges zusätzliches syntaktisches Gerät hinzuzufügen, und dieser Zusatz würde zu einem Verlust an visueller Kraft des Diagramms führen. Carroll stellte auch die Universalmenge dar, indem er das Diagramm beifügte, Eine Funktion, die Venn nicht für wichtig genug hielt, um sich damit zu befassen, aber eine, die für die Darstellung des Universums des Diskurses von wesentlicher Bedeutung ist, ein Schlüsselkonzept der modernen Logik, das von Boole diskutiert und von ihm weiterentwickelt wurde.

Carrolls fünfzehn Syllogismen können durch Venn- und sogar Euler-Diagramme dargestellt werden, aber nicht mit der visuellen Klarheit von Carroll-Diagrammen. Carroll selbst zeigte dies, als er eine Lösung für einen Syllogismus nach Eulers Methode vorlegte, eines, das achtzehn Diagramme umfasst, und eine Lösung, die Venn für denselben Syllogismus bereitstellte, möglicherweise zum ersten Mal, da es in der zweiten Auflage seines symbolischen Logikbuchs nicht erscheint, Venn verwendete ein kleines „+“, um einen nicht leeren Bereich anzuzeigen. (Carroll 1958, pp. 180-182)

Anthony Macula entwickelte eine iterative Methode zur Erstellung neuer Carroll-Diagramme, dass er anrief (k+n)-grams where k > 4 and a multiple of four and n = 1, 2, 3, 4, indem man die 2k Partitionen eines k-Gramms in jede der Partitionen eines n-Gramms einfügt, bzw.. Der Algorithmus konstruiert a (k+n)-gram für jedes solche k durch Iteration. Es ist jetzt leicht zu erkennen, dass Dodgsons Beschreibung in Teil I der Symbolischen Logik ein 9-Satz-Diagramm aus zwei 8-Satz-Diagrammen zusammensetzt, eine für die Innenseite und eine für die Außenseite des achten Satzes, ist das Ergebnis der Unterteilung der Partitionen eines 8-Gramms in jede der beiden Partitionen eines 1-Gramms. Und das 10-Satz-Diagramm, dass er als eine Anordnung von vier Okto-Literal-Diagrammen in einem Quadrat beschrieb, ist das Ergebnis, wenn man die Partitionen eines 8-Gramms in jede der vier Partitionen eines 2-Gramms einfügt. We observe that when k > 4, der Bau eines neuen (k+n)-gram kehrt die Reihenfolge der Einfügung der Partitionen um, da die Einfügungen ein Vielfaches von 4-Gramm in n-Gramm sind. (Carroll 1958, pp. 178-9; Makula 1995, pp. 269-274)

Obwohl Venns System isomorph zu Booles Klassenlogik ist, Es ist nicht isomorph zu einer Booleschen Algebra, da es keine Möglichkeit gibt, inklusive disjunktive Aussagen zu veranschaulichen, das ist, andere Aussagen als diejenigen, die wie im vorherigen Beispiel durch das Entfernen von Klassen ausgedrückt werden können, und in anderen exklusiven disjunktiven Ausdrücken wie: x'w(yz’ + y’z),das heißt, was nicht x, sondern w ist, und ist auch entweder, y, aber nicht z, oder z, aber nicht y. (Venn 1881, P. 102) Existenzielle Aussagen können in Venn-Diagrammen dargestellt werden, und er lieferte den Mechanismus in der zweiten Auflage von Symbolic Logic (eigentlich zwei unterschiedliche Darstellungen: horizontale Linienschattierung, ganze Zahlen). Die Wahl eines kleinen Pluszeichens in einem Bereich „+“, um anzuzeigen, dass er nicht leer ist, scheint nach 1894 getroffen worden zu sein und wurde von Carroll in seinem Buch über symbolische Logik beschrieben. (Venn 1971, S. 131-132; Carroll 1958, P. 174)

Im Jahr 1959, Trenchard Mehr, Jr. bewies, was Venn als wahr wusste, dass Venn-Diagramme für eine beliebige Anzahl einfach zusammenhängender Regionen erstellt werden können. Sein Bau bewahrt das Eigentum, das Venn als wesentlich erachtete, dass jede Unterregion einfach verbunden ist und eine andere Kombination der Überlappung aller einfach verbundenen Regionen darstellt, die durch die Jordan-Kurven begrenzt werden. Die aus Mores Konstruktion resultierenden Diagramme sind jedoch recht komplex und beinhalten das, was More eine „Webkurve“ nannte.. (Mehr 1959, pp. 303-304)

Für eine große Anzahl an Sets, Carroll-Diagramme sind einfacher zu zeichnen, da sie selbstähnlich sind, das ist, Jedes Diagramm bleibt bei einer Änderung des Maßstabs invariant, diskontinuierlich, und algorithmisch konstruierbar. Ihre Regelmäßigkeit erleichtert das Auffinden und Löschen von Zellen, die durch die Prämissen eines syllogistischen Arguments zerstört werden müssen, Eine Aufgabe, die in Venn-Diagrammen für fünf oder mehr Klassen schwer zu lösen ist. Zum Beispiel, Ein Diagramm mit fünf Sätzen ergibt sich aus der Platzierung eines vertikalen Liniensegments in jeder der sechzehn Partitionen eines Diagramms mit vier Sätzen, und ein Diagramm mit sechs Sätzen wird erhalten, indem die 22 Partitionen eines entsprechend reduzierten Diagramms mit zwei Sätzen in jede der sechzehn Partitionen eines Diagramms mit vier Sätzen eingefügt werden. Sieben-Satz- und Acht-Satz-Diagramme sind ähnlich aufgebaut. Wir sehen, dass jedes k-Gramm (ein k-Set-Diagramm) hat 2k Partitionen, Zum Beispiel, Ein Fünf-Mengen-Diagramm hat zweiunddreißig Partitionen, während ein 8-Satz-Diagramm zweihundertsechsundfünfzig hat.

c. Dodgsons „Methoden“

Dodgsons Ansatz zur Lösung logischer Probleme veranlasste ihn, verschiedene Methoden zu erfinden. In der symbolischen Logik, Teil I: Dies ist die Methode der Unterstreichung, die Methode der Indizes, und die Methode der Diagramme. In Teil II handelt es sich um die Methoden der Sperrräume und Sperrgruppen, obwohl er sie nicht als „Methoden“ bezeichnete, und, am wichtigsten, die Methode der Bäume. Im Buch (Kapitel) XII des zweiten Teils der Symbolischen Logik, Anstatt den Lösungsbaum für ein bestimmtes Problem nur Stück für Stück vorzustellen, hält er ein „Monolog“, während er es durcharbeitet, begleitet von „Regieanweisungen“, die zeigen, was er tut, um dem Leser die Möglichkeit zu geben, den Baum auf unterhaltsame Weise zu konstruieren. Bartley liefert in Buch xii von Teil II der symbolischen Logik viele Beispiele für Sorites-Probleme, die mit der Baummethode gelöst werden. Und mehrere komplizierte Rätselprobleme, die mit der Baummethode gelöst werden, erscheinen in Buch xiii von Teil II der Symbolischen Logik.

Während seine Auszeichnung als Logiker auf diesen visuellen Innovationen beruht, Dodgsons Methoden basieren im Wesentlichen auf seiner eigenwilligen algebraischen Notation, die er die Methode der Indizes nannte. Er verwendete Buchstaben für Begriffe, die Klassen oder Attribute darstellen können. (In Teil II der Symbolischen Logik, Buchstaben werden auch zur Darstellung von Aussagen verwendet.) Der Index 0 auf einem Buchstaben bezeichnet die Negation der Existenz des Objekts; Der Index 1 bezeichnet die Existenz des Objekts. Wenn ein Ausdruck zwei Buchstaben enthält, Es spielt keine Rolle, welcher von ihnen zuerst oder welcher tiefgestellt ist, da jeder tiefgestellte Index ab dem Anfang des Ausdrucks wirksam wird, das ist, von rechts nach links.

Bartley stellte fest, dass Dodgsons Methode der Indizes eine existenzielle Bedeutung impliziert. Mit dieser Notation, Dodgson hatte keine andere Möglichkeit, Subjekt und Prädikat zu trennen, Zum Beispiel, xy1z′0, was ausdrückt, dass alle xy z sind, impliziert, dass es einige xy gibt. Aber wir können dies so interpretieren, dass entweder kein xy oder kein z ist, oder alle xy sind z, die im modernen Logikgebrauch gleichwertig sind. Aber, Dodgson hat diese Idee möglicherweise nicht als philosophischen Glauben angesehen.

Wie George Englebretsen betont, „Eine gute Notation macht verborgene Dinge offensichtlich … Carroll hielt seine eigene Notation für zumindest einfacher als die von Boole.“ (Englebretsen 2007, P. 145)

Wann hat Dodgson seine Baummethode zum ersten Mal angewendet?? Sicherlich, vor dem 16. Juli 1894, als er in sein Tagebuch schrieb, dass er ein Problem von vierzig Räumlichkeiten bearbeitet hatte. Zu diesem Zeitpunkt entwickelte er seine letzte formale Methode, die er „Methode der Bäume“ nannte. Das wesentliche Merkmal dieser Methode ist, dass sie einen reductio ad absurdum-Ansatz verwendet, eine Standardbeweismethode in der Geometrie, wo, um zu beweisen, dass eine Reihe von Retinends (die Begriffe im Fazit) ist eine Nichtigkeit (leer), Wir gehen stattdessen zunächst davon aus, dass es sich um eine Entität handelt, dann durch einen Abzugsprozess, Wir gelangen zu einem Widerspruch zu dieser Annahme, der beweist, dass die Menge der Retinenden tatsächlich eine Nichtigkeit ist. Er brauchte die neue formale Methode, um diese komplizierteren Probleme zu lösen, weil er erkannte, dass seine Diagrammmethode nicht mehr ausreichen würde. Das wesentliche Merkmal der Baummethode besteht darin, dass angenommen wird, dass eine Schlussfolgerung, die sich aus einer Reihe von Prämissen ergibt, falsch ist, dann, wenn die Schlussfolgerung daraus zusammen mit allen Prämissen zu einem Widerspruch führt, Das ursprüngliche Argument hat sich als gültig erwiesen. Dies ist die früheste moderne Verwendung eines Wahrheitsbaums, der zur effizienten Schlussfolgerung in der Logik von Klassen eingesetzt wird.

Am 4. August 1894 verband er seine Baummethode mit seiner Methode der Unterstreichung, schreibt in sein Tagebuch, „Ich habe gerade herausgefunden, wie man eine Genealogie in eine Sorites-Bewertung umwandelt.“ (Abeles 1990, P. 30) Es scheint, dass er vorhatte, weitere Arbeiten mit dieser Methode und ihren natürlichen Erweiterungen durchzuführen, versperrte Räumlichkeiten, und gesperrte Gruppen.

Drei Monate später, er hat aufgenommen:

Habe eine Entdeckung in der Logik gemacht,…die Umwandlung eines „genealogischen“ Beweises in eine reguläre Reihe von Sorites….Heute bin ich auf den Plan gekommen, jede Spalte bis zur Kreuzung durchzuarbeiten – und dann von vorne mit dem Prem zu beginnen. direkt darüber und arbeiten Sie die Ergebnisse der Spalten ein, in welcher Reihenfolge auch immer am besten funktioniert ... Dies ist die einzige mir bekannte Möglichkeit zum Anordnen, als Sorites, Jahr. von Prems weit über der Nr. von Elims, wobei jedes Attribut zwei- oder dreimal in jeder Spalte der Tabelle vorkommt. Mein Beispiel war das letzte in der neuen Ausgabe von Keynes. (Wakeling 2005, S.155)

In einem anderen Brief an Louisa Dodgson, vom 13. November 1896, in dem er Fragen beantwortete, die sie zu einem seiner Probleme gestellt hatte, das sie zu lösen versuchte, Wir sehen erneut, dass Dodgsons Verwendung seiner visuellen Methoden von der Diagrammmethode zur Baummethode überging. Er schrieb:

Zu deinen 4 Fragen,… Der beste Weg, die Sache zu betrachten, besteht darin, anzunehmen, dass die Retinends Attribute der Universität sind. Dann stellen Sie sich ein Diagramm vor, dieser Univ. zugeordnet., und geteilt, durch wiederholte Dichotomie, für alle Attribute, um 2n Zellen zu haben, für n Attribute. (Ein fröhliches Diagramm zum Zeichnen, mit, sagen, 50 Attribute!

(Es wären etwa 1000,000,000,000 Zellen.) Wenn der Baum verschwindet, es zeigt, dass es jede Zelle gibt: leer. (Weaver-Sammlung, reproduziert in Abeles 2005, P. 40)

Dodgson hielt die Baummethode für überlegen gegenüber der Barred-Premises-Methode.. Er schrieb:

Wir werden feststellen, dass uns die Methode der Bäume einen Großteil der Mühe erspart, die der frühere Prozess mit sich brachte. In diesem früheren Prozess waren wir verpflichtet, alle verbotenen Prämissen sorgfältig zu überwachen, um sicherzustellen, dass wir keine solchen Prämissen verwenden, bis alle ihre „Bars“ in diesen Sorites erschienen waren. In dieser neuen Methode, Die Barred Premises kümmern sich alle um sich selbst. (Bartley 1977, P. 287)

Bevor er seine Baummethode erstellt, Dodson nutzte seine „Methode“ der Barred Premises, um die Generation der vielversprechendsten zu leiten (bestellt) Listen der Prämissen und Teilschlüsse, um den vollständigen Schluss eines Sorites zu erstellen. Er erkannte, dass zu viele dieser Listen nicht zu einer richtigen Schlussfolgerung führen würden, Deshalb gab er diesen Ansatz zugunsten seiner Baummethode auf. Moderne automatisierte Argumentationsprogramme können jedoch einen direkten Ansatz verwenden, geeignet geführt, um den Nachweis falscher Teilergebnisse zu verhindern, die für die Erlangung des Gesamtergebnisses irrelevant sind.

Als Dodgson seine „Methode“ der Barred Premises verwendete, um einen Baum zu verifizieren, Er steuerte die Generierung der geordneten Listen, indem er eine Ordnungsstrategie anwandte, die heute als Einheitspräferenz bekannt ist und bei der zuerst die Sätze mit der geringsten Anzahl von Begriffen ausgewählt werden. Mit seinen eigenen Worten:

„[W]Dann gibt es zwei Zweige, von denen eines mit einem einzigen Buchstaben überschrieben ist, und das andere durch ein Paar, Nehmen Sie zuerst den einzelnen Buchstaben, Verwandle es in einen Sorites, und notieren Sie die teilweise Schlussfolgerung: Nehmen Sie dann den Zweig mit dem doppelten Buchstaben: Verwandle es auch in einen Sorites.“ (Bartley 1977, P. 295)

Bei der Verifizierung eines Baumes, Er wandte auch eine Regel an, um überflüssige Prämissen zu eliminieren (jene Prämissen, die nichts beseitigen). Seine Regel bestand darin, eine solche Prämisse zu ignorieren, auch wenn es eine Verzweigung des Baumes verursachte. Aber in Ermangelung leistungsfähigerer Inferenzregeln und zusätzlicher Strategien wurden diese erst im 20. Jahrhundert entwickelt, Er hatte keine Möglichkeit, die Lösung dieser multiliteralen Probleme effizienter anzugehen.

Die Baummethode ist eine Erweiterung der Wahrheitstabellen, Die Migration von den Tabellen zu Bäumen ist einfach. (Für eine vollständige Diskussion dieses Themas, siehe Anellis 2004.) Die Verwendung von Wahrheitstabellen zur Überprüfung von Inkonsistenzen ist einfach, aber sehr ineffizient, Wie jeder weiß, der mit Wahrheitstabellen mit acht oder mehr Fällen gearbeitet hat. Stattdessen, Die Wahrheitsbaummethode untersucht Fallmengen gleichzeitig, Dadurch ist es effizient, die Gültigkeit von Argumenten mit einer sehr großen Anzahl von Sätzen manuell oder am Computer zu testen. Um die Gültigkeit eines Arguments zu testen, das aus zwei Prämissen und einer Schlussfolgerung besteht, äquivalentes Bestimmen, ob die Menge der beiden Prämissensätze und die Ablehnung des Schlusssatzes inkonsistent sind, nach der Methode der Wahrheitstabellen mit sagen, drei Begriffe, erfordert die Berechnung der Wahrheitswerte in acht Fällen, um festzustellen, ob es einen Fall gibt, in dem die Werte aller drei Begriffe wahr sind. Aber ein fertiger geschlossener Baum beweist die Gültigkeit des Arguments, indem er zeigt, dass es keine Fälle gibt, in denen die drei Sätze wahr sind. Aber, wenn ein Pfad in einem fertigen Baum nicht geschlossen werden kann, Das Argument ist ungültig, da ein offener Pfad eine Reihe von Gegenbeispielen darstellt.

Die moderne Baummethode, als Entscheidungsverfahren für die klassische Aussagenlogik und für die Logik erster Ordnung, hat seinen Ursprung in Gentzens Arbeit zur natürlichen Deduktion, insbesondere seine Formulierung des als LK bekannten Sequenzkalküls. Aber der Weg ist kein direkter; Die Hauptmitwirkenden sind Evert W. Beth, Jaakko Hintikka, Raymond Smullyan, und Richard Jeffrey.

Am 16. Juli 1894 verband Dodgson seine Baummethode mit seiner früheren Arbeit, die Methode der Diagramme. Er schrieb, „Mir kam der Gedanke, ein komplexes Sorites-Verfahren mit der Methode auszuprobieren, die ich zur Bestimmung der Zellen verwendet habe, wenn überhaupt, für eine mögliche Besetzung überleben, wenn bestimmte Nichtigkeiten gegeben sind. (Bartley 1977, P. 279)

Der Zeitschriftenredakteur, in einer Anmerkung zum Artikel, Lewis Carrolls Methode der Bäume: Seine Ursprünge liegen in „Studien zur Logik“.,“ bemerkte:

Die Bäume wurden 1894 von Carroll entwickelt, die Konzepte vorwegnehmen, die Beth später in seiner Entwicklung deduktiver und semantischer Tableaus artikulierte, haben ihre Wurzeln im Werk von Charles Peirce, Peirces Schüler und Kollegen, und insbesondere in Peirces eigenen existenziellen Diagrammen.“ (Anellis 1990, P. 22)

In einem umfassenden eigenen Artikel, Er schlug vor: „Vielleicht dieser wertvolle Beitrag zur Beweistheorie.“ [Dodgsons Baummethode] sollte als Hintikka-Smullyan-Baummethode bezeichnet werden, oder sogar der Dodgson-Hintikka-Smullyan-Baum…“ (Anellis 1990, P. 62).

In den acht Büchern oder Kapiteln der Symbolischen Logik, Teil I. Grundschule, Carroll stellt die Konzepte der Dinge und ihrer Eigenschaften vor, Sätze und ihre Typen, Diagramme und die Diagrammmethode, Syllogismen und ihre Typen, die komplexeren Soritesen, und die beiden Methoden der Indizes und der Unterstreichung.

Als Dodgson die Methode „Barred Premises“ zur Verifizierung eines Baumes verwendete, Er steuerte die Generierung der geordneten Listen, indem er eine Ordnungsstrategie anwandte, die heute als Einheitspräferenz bekannt ist und bei der zunächst die Sätze mit der geringsten Anzahl von Begriffen ausgewählt werden. Er wendete auch eine Regel an, um überflüssige Prämissen zu eliminieren (jene Prämissen, die nichts beseitigen) bei der Verifizierung eines Baumes. Seine Regel bestand darin, eine solche Prämisse zu ignorieren, auch wenn es eine Verzweigung des Baumes verursachte. Da jedoch leistungsfähigere Inferenzregeln und zusätzliche Strategien fehlten, hatte er keine Möglichkeit, die Lösung dieser mehrwörtlichen Probleme effizienter anzugehen.

Während Zeitgenossen wie Venn Diagramme zur Darstellung logischer Probleme in der Logik verwendeten, Mit „Method of Trees“ hat Dodgson einen visuellen Ansatz auf eine neue Ebene gehoben. Es war eine von zwei zusätzlichen Methoden der formalen Logik, die er in Teil II der Symbolischen Logik vorstellte. Der erste, ein direkter Ansatz zur Lösung mehrwörtlicher Soritesen, die er als „Barred Premises“ bezeichnete, ist eine Erweiterung seiner Unterstreichungsmethode. Eine gesperrte Prämisse ist eine Prämisse, bei der ein Term t in einer Prämisse und sein negatives tN in zwei oder mehr Prämissen vorkommt, und umgekehrt. Zum Beispiel, wenn eine Prämisse den Term a und die beiden Eliminandenterme bc enthält, dann ist abc eine Nullität, die impliziert, dass a das Attributpaar hat: bcN oder bNc oder bNcN, das ist, a ist aufgrund der Nichtigkeit daran gehindert, die Attribute bc zu haben.

Dodgson erweiterte diese Idee auf das, was er eine gesperrte Gruppe nannte: wenn ein Term t in zwei oder mehr Prämissen vorkommt und tN auch in zwei oder mehr Prämissen vorkommt. Seine Regel für die Arbeit mit gesperrten Räumlichkeiten verlangt, dass zunächst alle Räumlichkeiten genutzt werden, die von einem bestimmten Gebäude ausgenommen sind. Dodgson hat diese Methode nicht explizit definiert, Deshalb nennen wir diese Definitionen und die Regel für die Arbeit mit ihnen seine Methode der ausgeschlossenen Prämissen. Es handelt sich um eine frühe formale Technik, um die Reihenfolge der Verwendung der Prämissen einer Sorites festzulegen, um zu der Schlussfolgerung zu gelangen.

Es scheint, dass er vorhatte, weitere Arbeiten mit seiner Baummethode und der Methode der Balkengruppen durchzuführen. In einem unveröffentlichten Brief, dessen erste Seite fehlt, wahrscheinlich Ende 1896 oder Anfang 1897, er schrieb, höchstwahrscheinlich an seine Schwester Louisa:

Ich habe über das Thema „gesperrte Gruppen“ nachgedacht …. Es gehört zu einem höchst faszinierenden Zweig des Fachs, was ich „Theorie der Folgerung“ nennen möchte:…. Hier ist ein Satz. Das glaube ich, wenn Sie einen Sorites konstruieren, was die ganze Zeit eliminieren wird, und wird die Summe der Retinends als Nullität angeben, und wenn Sie denselben Buchstaben darin einführen, 2 oder 3 Mal, als Eliminierung, und es ist gleich oft widersprüchlich, und beseitigen Sie es jedes Mal, wenn es auftritt, Du wirst finden, wenn Sie es als Baum lösen, dass Sie nicht alle Prämissen verwenden! (Weaver-Sammlung, undatiert; reproduziert Abeles 2005, S.40)

Ein Beispiel, „Das Problem der Schweine und Luftballons“ genannt,“ steht bei Bartley auf S. 378-80. Dort erstellte Dodgson ein Attributregister, das die Eliminanden zeigt (ein Begriff, der in beiden Zeilen des Registers vorkommt, das ist, in positiver und negativer Form in zwei Prämissen). Wenn ein Begriff in beiden Zeilen und in einer Zeile in mehr als zwei Prämissen vorkommt, wir haben den Fall der verriegelten Räumlichkeiten. Alle anderen Bedingungen sind vorbehalten.

Sein geradezu obsessives Streben nach Genauigkeit verlieh vielen seiner ernsthaften mathematischen Schriften eine gewisse Steifheit, Aber der Humor, den er verwendet, ist ansteckend und durchdringt diese Werke, insbesondere diejenigen zur Logik, mit ansprechender Leichtigkeit. Dass sein Werk durch seinen Einsatz von Humor von anderen unterschieden wird, geht aus den Rezensionen von „Symbolic Logic“ hervor, Teil I. Elementar, das zu seinen Lebzeiten erschien.

Ein anonymer Rezensent des Buches schrieb in The Educational Times: „[T]Seine sehr ungewöhnliche Darstellung elementarer Logik scheint die Fantasie der Menschen geweckt zu haben.“ (1. Juli, 1896, 316) Die Zitate, die weiterhin von modernen Autoren zitiert werden, insbesondere aus seinen Logikbüchern, bekräftigen diese Ansicht. Aber, die Reaktion des Mathematikers, Hugh McColl, der anonyme Rezensent von Symbolic Logic, Teil I. Grundschule im Athenäum, war gemischt. Er beschrieb Carrolls Diagrammmethode zur Lösung logischer Probleme als elegant, aber er stand Carrolls Notation kritisch gegenüber (Indexmethode) und Verwendung einer existenziellen Bedeutung, die die Existenz des Subjekts in A-Sätzen behauptet. Zum Beispiel, der Vorschlag, „Alle Philosophen sind logisch,„impliziert die Existenz mindestens eines Philosophen. MacColl fügte hinzu, „[W]Wir können nicht sagen, welche wichtigen Überraschungen Teil II sind. und iii. Sein System könnte für uns bereitstehen, wenn sie auftauchen.‘ (17. Oktober, 1896, pp. 520 – 521)

Hugh MacColls Ansichten zur Logik wurden durch die Lektüre von Dodgsons Symbolic Logic beeinflusst, Teil I. Sowohl MacColl als auch Dodgson waren aktive Mitwirkende im Abschnitt „Mathematische Fragen und Lösungen“ der Educational Times. Und zwar mindestens einmal, Sie beschäftigten sich wahrscheinlich mit der gleichen Frage. MacColl legte eine Lösung für Dodgsons logisches Problem vor, Frage 14122, eine posthum veröffentlichte Version des Barbershop-Paradoxons.

Neben der klaren Darstellung und dem ungewöhnlichen Stil zeichnen seine Bücher aus, Es scheint eine weitere wesentliche Affinität zu geben, die MacColls Anziehungskraft auf Carrolls Werk stützte. Ihr Austausch zeigt, dass beide ein großes Interesse an der präzisen Verwendung von Wörtern hatten. Und beide sahen keinen Schaden darin, Wörtern willkürliche Bedeutungen zuzuschreiben, solange die Bedeutung präzise ist und die Zuschreibung vereinbart ist.

Es scheint klar, dass zwischen August und Dezember 1894, Dodgson dachte möglicherweise bereits 1896–97 über eine Richtung nach, die später von Hugh MacColl formeller entwickelt wurde, und in seinem Buch von 1906 erweitert, Symbolische Logik und ihre Anwendungen, wo er strikte Implikation definierte, in dem der Inhalt des Antezedens und des Konsequenten einen Einfluss auf die Gültigkeit des Konditionals hat, Zwanzig Jahre bevor man begann, die Modallogik auf eine moderne Grundlage zu stellen, beginnend mit der Arbeit des amerikanischen Philosophen und Logikers, Clarence Irving Lewis.

4. Die Automatisierung des Abzugs

Die Anfänge der Automatisierung der Deduktion gehen auf die Arbeit von Thoralf Skolem in den 1920er Jahren zurück, der das Problem der Existenz eines Modells untersuchte, das eine gegebene Formel erfüllt, und der Funktionen zur Handhabung universeller und existenzieller Quantifizierer eingeführt hat. Andere Logiker wie David Hilbert, Wilhelm Ackermann, Leopold Löwenheim, Jacques Herbrand, Emil Post, und etwas später, Alonzo-Kirche, Kurt Gödel, und Alan Turing führte weitere wichtige Ideen ein. Einer der wichtigsten, eine Folge von Hilberts metamathematischem Rahmen, war die Vorstellung, dass formalisierte Logiksysteme Gegenstand mathematischer Untersuchungen sein können. Aber erst in den 1950er Jahren wurden Computerprogramme entwickelt, Verwendung eines Baums als wesentliche Datenstruktur, wurden zum Beweis mathematischer Theoreme verwendet.

Der Schwerpunkt dieser frühen Programme lag auf Beweisen von Sätzen der Aussagen- und Prädikatenlogik. Beschreibung der „Logikmaschine“ von Newell aus dem Jahr 1957, Shaw, und Simon, Martin Davis bemerkte, dass ein gerichteter Pfad in einem Baum den Beweis eines gültigen Arguments lieferte, dessen Prämissen und Konklusion als Knoten dargestellt wurden, und eine Kante, die zwei Prämissenknoten verbindet, stellte eine gültige Ableitung gemäß einem gegebenen Regelsatz zur Ableitung der Beweise dar.

Die moderne Baummethode, als Entscheidungsverfahren für die klassische Aussagenlogik und für die Logik erster Ordnung, hat seinen Ursprung in Gerhard Gentzens Arbeiten zur natürlichen Deduktion, insbesondere seine Formulierung des als LK bekannten Sequenzkalküls. Aber der Weg war kein direkter, Die Hauptmitwirkenden waren Evert Beth, Richard Jeffrey, Jaakko Hintikka und Raymond Smullyan. Im Jahr 1955, Beth stellte eine von ihm entwickelte Tableau-Methode vor, die aus zwei Bäumen besteht und eine systematische Suche nach einer Widerlegung einer gegebenen Aussage ermöglichen würde (WAHR) sequentiell. Ein Baum ist ein linksseitiges Beth-Tableau, in dem alle Formeln wahr sind. Die Regeln zum Zerlegen des Baumes, das ist, die Inferenzregeln, sind äquivalent zu Gentzens Regeln in seiner Folgenrechnung.

Bartley sagte dies über Dodgsons Baummethode, um aus Soriten und Rätselproblemen gültige Schlussfolgerungen zu ziehen:

Carrolls Verfahren weist eine bemerkenswerte Ähnlichkeit mit den verwendeten Bäumen auf . . .nach einer Methode der „Semantischen Tableaux“, die 1955 vom niederländischen Logiker veröffentlicht wurde, E. W. Beth. Die Grundideen sind identisch. (Bartley 1977, P. 32)

Dodgson war der erste Mensch der Neuzeit, der ein mechanisches Verfahren anwandte, seine Baummethode, um die Gültigkeit der Schlussfolgerung bestimmter komplexer Probleme zu demonstrieren. Die Baummethode ist eine direkte Erweiterung von Wahrheitstabellen und Dodgson hatte in einer der Lösungen, die er im September 1894 für sein Barbershop-Problem angab, mit einer unvollständigen Wahrheitstabelle gearbeitet. Bartley schreibt, „Die Matrix wird … für die Komponenten verwendet; aber die Analyse und Zuordnung von Wahrheitswerten zu den Komposita erfolgt in Prosakommentaren auf dem Tisch.“ (Bartley 1977, P. 465n.)

Am 4. August, Er verband die Baummethode mit einer gepunkteten Sorites-Methode:

Ich habe gerade herausgefunden, wie man eine Genealogie in einen bewerteten Sorites umwandelt: Die Schwierigkeit besteht darin, mit Gabeln umzugehen. Sagen Sie „alles a ist b oder c“ = „alles A ist b“ und „alles α ist c“.,’ wo die beiden Sätze A, α bilden a. Beweisen Sie dann jede Spalte einzeln. (Aufwachen, 2005, P. 158)

Am 30. Oktober, Verwendung eines Problems aus einer neuen Ausgabe des Keynes-Buches, Studien und Übungen zur formalen Logik, Er entdeckte, wie man in einem Baum navigiert, der Sorites mit 21 Prämissen und 10 Attributen darstellt, von denen 8 eliminiert wurden. (Wakeling 2005, P. 181)

Wenn ein offener Zweig in zwei Zweige und einen Begriff unterteilt wird, hier bʹ, erscheint in einem der Zweige und seine Negation wird dem anderen Zweig hinzugefügt, Wir haben ein Beispiel für die Verwendung der Schnittregel. Dodgson hat eine Methode vorweggenommen, die erst in den 1930er Jahren vollständig ausgearbeitet wurde. Er schrieb:

Es lohnt sich in jedem Fall darauf hinzuweisen, Wir wenden uns einem der einzelnen Briefe zu, das Widersprüchliche des Anderen: An diesen Umstand sollte man sich grundsätzlich erinnern ... Wir haben jetzt eine Geschäftsordnung, Dies muss immer dann beachtet werden, wenn wir gezwungen sind, unseren Baum in zwei Zweige zu teilen. (Bartley 1977, P. 287)

Er entdeckte immer wieder neue Wege, seinen Umgang mit Bäumen zu verbessern, Eintrag in seinem Tagebuch vom 12./13. November, 1896, „Entdeckt [An] Methode zum Kombinieren von 2 Bäumen, was abc'0 † abd'0 beweist, in einen Beweis ab(CD)ʹ0, mithilfe der Axiom-CD(CD)ʹ0.“ (Wakeling 2005, P. 279)

In einem Briefwechsel im Oktober und November 1896 an John Cook Wilson, Wykeham-Professor für Logik in Oxford, Dodgson modifizierte eine Version eines Problems mit achtzehn Prämissen, die überflüssige Prämissen enthielt, zu einer Version mit fünfzehn Prämissen. Bartley bezieht beide Versionen sowie deren Lösungen nach der Baummethode ein.

In einem unveröffentlichten Brief vom 25. September 1896 an Cook Wilson, im Zusammenhang mit einem Sorites-Problem schrieb Dodgson:

Was Sie über „überflüssige Prämissen“ sagen, interessiert mich sehr. Es ist eine Angelegenheit, die mich übertrifft, derzeit . . . &, Wenn Sie einen Beweis formulieren können, der es Ihnen ermöglicht zu sagen: „Alle Prämissen sind sicherlich erforderlich, um die Schlussfolgerung zu beweisen.“,’ Ich werde mich sehr freuen, es zu sehen. (Dodgson, Sparrow-Sammlung, 25. September 1896. Mit freundlicher Genehmigung von Morton N. Cohen)

Die Schwierigkeit, einen Satz zur Bestimmung überflüssiger Prämissen aufzustellen, bereitete ihm Sorgen. Es war ein Problem, das er nicht lösen konnte.

5. Dodgsons Logikkreis

John Venn war ein weiterer englischer Logiker, mit dessen Werk Dodgson vertraut war und mit dem er Kontakt hatte. Venn, ein Befürworter von Booles Ansatz zur Logik, veröffentlichte 1881 die erste Ausgabe seiner Symbolischen Logik. Es enthielt seine mittlerweile bekannten Diagramme zur Darstellung der Beziehungen zwischen Klassen, sodass die Wahrheit oder Falschheit von Aussagen, die sie verwendeten, festgestellt werden konnte.

Im Jahr 1892 William E. Johnson hatte den ersten von drei Artikeln in Mind mit dem Titel „The Logical Calculus“ veröffentlicht, in dem er den Begriff unterschied, bedingt durch den Begriff, hypothetisch. Dodgson, Wie die meisten Logiker seiner Zeit machte er diese Unterscheidung nicht, Für beide Situationen wird der Begriff „hypothetisch“ verwendet. Johnsons Ansicht war, dass eine Bedingung eine Beziehung zwischen zwei Phänomenen ausdrückt, während eine Hypothese eine Beziehung zwischen zwei Sätzen unabhängiger Bedeutung ausdrückt. Also, Eine Bedingung verbindet zwei Begriffe, während eine Hypothese zwei Sätze verbindet. John Neville Keynes, mit dessen Werk Dodgson recht vertraut war, stimmte Johnsons Ansicht zu. Venn, Jedoch, obwohl er, zu, kannte Johnsons Arbeit, vertrat eine ganz andere Auffassung von Hypothesen, Ich behaupte dies, weil sie nicht formaler Natur seien, Sie sollten wirklich nicht als Teil der symbolischen Logik betrachtet werden.

William Stanley Jevons war ein weiterer Unterstützer von Booles Büchern, Reine Logik; oder, die Logik der Qualität neben der Quantität (1864) und Die Prinzipien der Wissenschaft: Eine Abhandlung über Logik und wissenschaftliche Methode (1874) Dodgson besaß. Jevons führte 1869 ein logisches Alphabet für die Klassenlogik ein, und im folgenden Jahr stellte er eine Maschine vor, die damit logische Probleme mechanisch löste, das er das logische Klavier nannte, an die Royal Society in London

Dodgson war mit Keynes‘ Studies and Exercises in Formal Logic in der zweiten Auflage von 1887 bestens vertraut, direkt daraus zitieren in Kapitel II von Buch X in Teil II der Symbolischen Logik. Keynes hat Dodgsons Barbershop-Paradoxon als Übung in Kapitel IX der Ausgabe seines Buches von 1906 aufgenommen. (Keynes 1906, pp. 273 – 274)

An. Der „Alice“-Effekt

In einem Briefwechsel zwischen Venn und Dodgson im Jahr 1894, und aus den Rezensionen, die kurz nach der Veröffentlichung von The Game of Logic und Symbolic Logic erschienen, Teil I, Wir sehen, dass Dodgsons Ruf als Autor der „Alice“-Bücher ihn vor allem zum Autor von Kinderbüchern machte und verhinderte, dass seine Logikbücher ernst genommen wurden. Die Barriere entstand durch den Ruhm, den Carroll verdientermaßen durch seine Alice-Bücher erlangte, kombiniert mit einem eher literarischen als mathematischen Schreibstil, verhinderte, dass die Gemeinschaft der britischen Logiker ihn richtig als bedeutenden Logiker anerkennen konnte.

Zu diesem Eindruck trug sein eigener eher literarischer Schreibstil bei. Dass dies sein Ruf war, geht aus Rezensionen von Symbolic Logic hervor, Teil I zu seinen Lebzeiten. Sicherlich, Den meisten seiner Zeitgenossen war die Bedeutung seiner Diagrammmethode zur Lösung von Syllogismen, die er erstmals in „Das Spiel der Logik“ vorstellte, nicht bewusst. In einem unveröffentlichten Brief an Venn vom 11. August 1894, er schrieb:

„Sie können das Problem, das ich Ihnen geschickt habe, gerne beliebig nutzen, & (Natürlich) um auf den Artikel in „Mind“ zu verweisen – [Ein logisches Paradoxon, N. S. v. 3, 1894, pp. 436-438 über ein Beispiel hypothetischer Sätze] Ihr Brief hat, Ich sehe eins von mir durchgestrichen, in dem ich Ihnen „Nemos algebraische Illustration“ geschickt habe. Ich hoffe, dass Sie in Ihrem nächsten Buch Platz dafür finden. Vielleicht könntest du es hinzufügen, als Notiz, am Ende des Buches, & gib es, auf S. 442, einen Hinweis darauf? Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie niemandem meinen richtigen Namen nennen würden, im Zusammenhang mit meinem Pseudonym. Ich freue mich mit Freude darauf, die Neuauflage Ihres Buches zu studieren.“ (Venn-Papiere, Gonville- und Caius-Bibliotheken, Universität Cambridge)

Und auf S. 442 der zweiten überarbeiteten Ausgabe seiner Symbolischen Logik schrieb Venn:

[T]Die Formulierung „x impliziert y“ bedeutet nicht, dass die betreffenden Tatsachen bekanntermaßen miteinander in Zusammenhang stehen, oder dass der eine Satz formal aus dem anderen abgeleitet werden kann. Dieser besondere Aspekt der Frage wird einigen meiner Leser wahrscheinlich aus einem kürzlich verbreiteten Problem bekannt sein, zum Meinungsvergleich, unter Logikern. Wie der Antragsteller ist, an den allgemeinen Leser, besser bekannt in einem ganz anderen Zweig der Literatur, Ich werde es Alices Problem nennen.

6. Logische Paradoxien
An. Das Barbershop-Paradoxon

Ein Anhang zu Buch XXI enthält acht Versionen von Dodgsons Barbershop-Paradoxon, Eines davon wurde in Mind als „A Logical Paradox“ veröffentlicht.. In einem weiteren Anhang zu diesem Buch diskutiert Bartley Carrolls anderen Beitrag zu Mind, „Was die Schildkröte zu Achilles sagte.“ Diese beiden Anhänge machen die Themen, mit denen Carroll sich in diesen veröffentlichten Artikeln befasste – zusammen mit den Kommentaren, die sie von modernen Logikern und Philosophen hervorbrachten – viel zugänglicher.

Das Barbershop-Problem war Dodgsons erste Veröffentlichung in der Zeitschrift Mind. Es ist die Transkription eines Streits, der ihn mit John Cook Wilson konfrontierte. Bertrand Russell nutzte das Problem des Friseurladens in seinen Grundlagen der Mathematik, um seinen Grundsatz zu veranschaulichen, dass ein falscher Satz alle anderen impliziert. Venn war einer der ersten, der es in gedruckter Form besprach, in der zweiten Auflage seiner Symbolischen Logik. Bartley enthält acht Versionen von Dodgsons Barbershop Paradox, Eines davon wurde in Mind veröffentlicht, nebst ausführlichem Kommentar.

Im Barbershop-Paradoxon, Es gibt zwei Regeln, die die Bewegungen der drei Friseure Allen regeln, Braun, und Carr. Das erste ist, wenn Carr ausgeht, dann, wenn Allen ausgeht, Brown bleibt drin. Die zweite Regel lautet: Wenn Carr ausgeht, Brown geht raus. Die Herausforderung besteht darin, diese Regeln zu nutzen, um Carrs mögliche Bewegungen zu bestimmen. In einer lebhaften zweijährigen Korrespondenz von Ende 1892, aufbewahrt in der Bodleian Library, Dodgson und Cook Wilson verfeinerten ihre unterschiedlichen Ansichten zum Barbershop-Paradoxon. Wilson glaubte, dass alle Aussagen kategorisch seien und Hypothesen daher keine Aussagen sein könnten.

Die ungeklärte Natur des Themas Hypothesen zu Dodgsons Lebzeiten wird am Anfang der Notiz deutlich, die Carroll am Ende seines Artikels schrieb:

Dieses Paradoxon ... ist, Ich habe Grund zu der Annahme, eine sehr reale Schwierigkeit in der Theorie der Hypothesen. Der umstrittene Punkt wird seit einiger Zeit von mehreren erfahrenen Logikern diskutiert, wem ich es vorgelegt habe; und die verschiedenen und widersprüchlichen Meinungen, was meine Korrespondenz mit ihnen hervorgerufen hat, Überzeugen Sie mich davon, dass das Thema weiterer Überlegungen bedarf, damit logische Lehrer und Autoren zu einer Einigung darüber kommen können, was Hypothesen sind, und wie sie behandelt werden sollten. (Carroll 1894, P. 438)

Bartley bemerkt in seinem Buch, dass das Barbershop-Paradoxon kein echtes logisches Paradoxon ist wie das Lügner-Paradoxon. Allgemein, Ein Paradoxon ist eine Aussage, die entweder in sich selbst widersprüchlich zu sein scheint oder den Erwartungen zuwiderläuft.

Die vielen Versionen des Barbershop-Paradoxons, die Dodgson entwickelt hat, zeigen eine Weiterentwicklung seiner Gedanken zu Hypothesen und materiellen Implikationen, in denen es um die Verbindung zwischen dem Antezedens und dem Konsequenten des Konditionals geht (wenn (Vorgänger), dann (konsequent)) ist formal, das ist, es kommt nicht auf ihre Wahrheitswerte an. Dies ist ein Ergebnis der Booleschen Logik. Sechs Versionen des Barbershop-Paradoxons geben Einblick in Dodgsons Denken über das Problem, während es sich entwickelte. Bartley veröffentlichte fünf dieser sechs sowie drei weitere, Zwei davon sind Beispiele; eines ist fast das gleiche wie eines der anderen, die Bartley veröffentlicht hat. Zusätzlich, Es gibt drei frühere Versionen, die Bartley nicht veröffentlicht hat; alle stammen aus dem März 1894.

Frühere Versionen des „Barbershop-Paradoxons“ zeigen die Veränderung in der Art und Weise, wie Dodgson Bedingungen darstellte. In den früheren Versionen, er formulierte einen hypothetischen Vorschlag in Bezug auf Klassen, das ist, wenn A B ist, dann ist C D. Erst später bezeichnete er A, B, C, und D als Sätze.

Eine Version des Barbershop-Paradoxons, die von Bartley nicht als solche erkannt wurde, Frage 14122, wurde im Februar 1899 nach Dodgsons Tod in The Educational Times veröffentlicht und im nächsten Jahr in Mathematical Questions and Solutions nachgedruckt. Im selben Jahr erschienen zwei verschiedene Lösungen, eines von Harold Worthington Curjel, ein Mitglied der London Mathematical Society, das andere von Hugh MacColl. (Für eine detailliertere Diskussion des Barbershop-Paradoxons, ein ... sehen. Moktefis Veröffentlichungen.)

Ein Artikel mit dem Titel, „Ein logisches Paradoxon“, veröffentlicht 1894 in Mind, löste Reaktionen in Form nachfolgender Artikel aus, die von vielen der bedeutendsten Logiker aus Dodgsons Zeit in Mind veröffentlicht wurden, darunter Hugh MacColl, E. E. Constance Jones, Dozent für Logik an der Girton, eines der Frauencolleges in Cambridge, Alfred Sidgwick, der Autor von Fallacies. Ein Blick auf die Logik von der praktischen Seite, sowie Johnson, Keynes, Koch Wilson, und Russell.

Ein Brief von Dodgson an John Venn vom 11. August 1894 führte dazu, dass Venn eine Version des Barbershop-Paradoxons in die zweite Auflage einfügte (1884) seines Buches, Symbolische Logik. Keynes hat eine Version des Barbershop-Paradoxons in sein Buch aufgenommen, und Bradley diskutierte es in einem Buch von Selected Correspondence.

Bertrand Russell lieferte in seinem Buch von 1903 die heute allgemein akzeptierte Schlussfolgerung zu diesem Problem, Die Prinzipien der Mathematik. Wenn p „Carr ist raus“ darstellt; q steht für „Allen ist raus“; r steht für „Brown ist raus.“,“, dann kann das Barbershop-Paradoxon so geschrieben werden (1) q impliziert r; (2) p impliziert, dass q nicht-r impliziert. Russell behauptete, dass die einzig richtige Schlussfolgerung daraus sei (1) und (2) Ist: wenn p wahr ist, q ist falsch, das ist, wenn Carr draußen ist, Allen ist dabei. (Russell 1903, P. 18)

b. Achilles und die Schildkröte

Dodgson veröffentlichte im folgenden Jahr in Mind ein folgenschwereres Paradoxon: „Was die Schildkröte zu Achilles sagte.“ Obwohl es zu Dodgsons Lebzeiten keine Reaktionen hervorrief, Nach seinem Tod gingen viele Antworten ein, und es bleibt bis heute ein ungelöstes Problem. (Siehe Moktefi und Abeles 2016.)

Das ist das Paradoxon:

Dinge, die gleich sind, sind einander gleich,
Die beiden Seiten dieses Dreiecks sind Dinge, die gleich sind.
Die beiden Seiten dieses Dreiecks sind einander gleich.

Dodgson war der Erste, der dies erkannte, als er eine logische Schlussfolgerung zog, Die Regel, die es erlaubt, aus den Prämissen eine Schlussfolgerung zu ziehen, kann nicht als weitere Prämisse betrachtet werden, ohne einen unendlichen Regress zu erzeugen.

Sowohl das Barbershop-Paradoxon als auch das Achilles-Paradoxon beinhalten Bedingungen, und Dodgson nutzte materielle Implikationen, um sie zu argumentieren, aber es war ihm unangenehm. Er kämpfte mit mehreren zusätzlichen Problemen im Zusammenhang mit Hypothesen. In der Anmerkung zur veröffentlichten Version des Barbershop-Paradoxons im Juli 1894, Dodgson stellte mehrere Fragen, Die erste Frage ist, ob eine Hypothese legitim sein kann, wenn ihre Prämisse falsch ist; Die zweite Frage ist, ob zwei Hypothesen, deren Formen „Wenn A, dann B“ und „Wenn A, dann nicht-B“ lauten, kompatibel sein können.

Bartley veröffentlichte eine zweite Auflage von Symbolic Logic, Teil II von 1986, in dem er Lösungen für einige von Carrolls bedeutenderen Problemen und Rätseln enthielt, zusätzliche galeerensichere Entdeckungen, und eine neue Interpretation, von Mark R. Richards, von Carrolls logischen Diagrammen.

Bis 1897, Dodgson hat möglicherweise seine Verwendung der existenziellen Bedeutung überdacht. Bartley zitiert einen Tagebucheintrag aus dem Jahr 1896, und ein undatierter Brief an Cook Wilson als Beweis (Bartley 1977, pp. 34–35.) Aber, es gibt sogar noch mehr Beweise, unvollständig in Bartleys Buch, diesen Bruch mit der Idee der existenziellen Bedeutung zu unterstützen. Buch (Kapitel) XXII enthält Dodgsons Lösungen für Probleme, die von anderen Logikern gestellt wurden. Eine dieser Lösungen für ein von Augustus De Morgan gestelltes Problem, das die Existenz ihrer Untertanen betrifft, findet sich in einem unadressierten Brief vom 15. März 1897. (Bartley 1977, pp. 480–481) Aus Dodgsons Antwort auf diesen Brief sechs Tage später, Wir wissen jetzt, dass es an seine Schwester geschickt wurde, Louisa, auf ihre Lösung des Problems reagieren. In diesem unveröffentlichten Brief, Dodgson schlug vor:

[ICH]Wenn Sie die Existenzfrage berücksichtigen und davon ausgehen, dass jeder Satz die Existenz seines Subjekts impliziert, & daher seines Prädikats, dann gibt es sicherlich Unterschiede zwischen ihnen: jedes impliziert bestimmte Existenzen, die von den anderen nicht impliziert werden. Aber das macht die Sache komplizierter: & Ich denke, es ist ein netteres Problem, zuzustimmen (wie ich es in meiner Lösung vorschlagen werde) dass die Vorschläge nicht so zu verstehen sind, dass sie die Existenz dieser Beziehungen implizieren, aber soll nur so verstanden werden, dass es dies behauptet, wenn ja & solche Beziehungen existierten, dann würden bestimmte Ergebnisse folgen. (Dodgson, Berol-Sammlung, New Yorker Universität, 21. März 1897)

7. Dodgson und die moderne Mathematik

In Teil II der Symbolischen Logik, Dodgsons Ansatz führte dazu, dass er verschiedene Methoden erfand, die sich für mechanisches Denken eignen. Dies sind die „Methoden“ von gesperrten Räumlichkeiten und gesperrten Gruppen, am wichtigsten, die Methode der Bäume. Obwohl Dodgson mit einer eingeschränkten Form der Klassenlogik arbeitete und eine eher umständliche Notation und seltsame Namen verwendete, Die von ihm eingeführten Methoden waren Vorboten moderner Konzepte und Techniken des automatisierten Denkens wie Wahrheitsbäume, binäre Auflösung, Einheitenpräferenz und eine Reihe von Unterstützungsstrategien, und Widerlegung Vollständigkeit.

Sein System von Logikdiagrammen ist ein solides und vollständiges Beweissystem für Syllogismen. Die Solidität eines Beweissystems stellt sicher, dass nur wahre Schlussfolgerungen abgeleitet werden können. (Ein Beweissystem ist genau dann solide, wenn die Schlussfolgerungen, die wir aus den Prämissen ziehen können, logische Konsequenzen daraus sind.) Umgekehrt, Seine Vollständigkeit garantiert, dass alle wahren Schlussfolgerungen abgeleitet werden können. (Ein Beweissystem ist genau dann vollständig, wenn eine Reihe von Prämissen logischerweise eine Schlussfolgerung impliziert, Wir können diese Schlussfolgerung aus diesen Prämissen ableiten.)

Mehrere der Methoden, die Dodgson in seiner Symbolischen Logik verwendete, enthalten Kernkonzepte und Techniken, die ab dem 20. Jahrhundert beim automatischen Beweisen von Theoremen eingesetzt wurden. Der Schwerpunkt dieser frühen Programme lag auf Beweisen von Sätzen der Aussagen- und Prädikatenlogik.

Seine einzige Schlussfolgerungsregel, unterstreichen, was zwei Vorschläge erfordert, wählt jeweils einen Begriff im gleichen Subjekt oder Prädikat aus, der entgegengesetzte Vorzeichen hat, und ergibt einen weiteren Vorschlag, ist ein Beispiel für eine binäre Auflösung, die wichtigste dieser frühen Beweismethoden im automatisierten Abzug.

Obwohl Dodgson den nächsten Schritt nicht tat, Anknüpfen der Idee der Inkonsistenz an die Menge der Prämissen und Schlussfolgerungen, Diese Methode zur Behandlung mehrwörtlicher Syllogismen in der ersten Abbildung ist ein formaler Inkonsistenztest, der als endliche Widerlegung der Menge der Eliminanden und Retinenden gilt. Seine Konstruktion eines Baumes verwendet eine Inferenzregel (Algorithmus), binäre Auflösung, und er steuert die Entwicklung des Baumes mit einer Restriktionsstrategie, jetzt als Stützsatz bekannt, die bei jedem nachfolgenden Schritt der Deduktion nur dann eine binäre Auflösung anwendet, wenn der vorhergehende Schritt aus einer Teilmenge der Prämissen abgeleitet wurde und die Schlussfolgerung verweigert wird, das ist, aus dem Set Retinends. Diese Strategie verbessert die Effizienz des Denkens, indem sie die Etablierung fruchtloser Pfade verhindert. Und dieser Baumtest ist sowohl fundiert als auch vollständig, das ist, wenn der anfängliche Satz der Prämissen und Schlussfolgerungen konsistent ist, Es wird einen offenen Pfad durch den Baum geben, der ihn zum Klingen bringt; wenn im fertigen Baum ein offener Pfad vorhanden ist, Der anfängliche Satz der Prämissen und Schlussfolgerungen ist konsistent, es komplettieren.

Ein Vergleich der beiden Teile der symbolischen Logik zeigt den Fortschritt, den Dodgson auf dem Weg zu einem automatisierten Ansatz zur Lösung mehrfach zusammenhängender syllogistischer Probleme gemacht hat (in Soriten), und Rätselaufgaben mit faszinierenden Namen wie „Das Problem der Lebensmittelhändler auf Fahrrädern“, und „Das Schweine- und Luftballonproblem“.

Viele moderne automatisierte Argumentationsprogramme verwenden ein Reductio-ad-absurdum-Argument, während andere Argumentationsprogramme, die zum Finden zusätzlicher Informationen verwendet werden, nicht darauf abzielen, einen Widerspruch herzustellen. Im Jahr 1985, eines von Dodgsons Rätselproblemen, das „Problem der Schuljungen“, wurde von Ewing Lusk und Ross Overbeek modifiziert, um mit der direkten Generierung von Aussagen kompatibel zu sein (in Klauselform) durch ein automatisiertes Argumentationsprogramm. Ihr Programm führte zunächst zu einer schwächeren Schlussfolgerung, bevor es zu der gleichen stärkeren Schlussfolgerung kam, die Dodgson mithilfe seiner Baummethode hervorbrachte. Die Lösung von Dodgsons „Salz-und-Senf-Problem“ von Lusk und Overbeek im Jahr 1985 und von A G. Cohn 1989 wandte sich fünf Jahre später dem gleichen Problem zu und verwendete eine vielfach sortierte Logik, um die Leistungsfähigkeit zweier dieser Programme zu veranschaulichen.

In der Informatik, Eine Datenbank hat einen Zustand, der für jedes ihrer Elemente einen Wert darstellt. Ein Trigger kann eine Bedingung testen, die durch eine when-Klausel angegeben werden kann, das ist, Eine bestimmte Aktion wird nur dann ausgeführt, wenn die Regel ausgelöst wird und die Bedingung erfüllt ist, wenn das auslösende Ereignis eintritt.

Dodgson definierte den Begriff, Kosmophase, als "[t]er Zustand des Universums zu einem bestimmten Zeitpunkt: und ich achte auf jeden Vorschlag, was in diesem Moment wahr ist, als ein Attribut dieser Kosmophase.“ (Bartley 1977, P. 481) Kurioserweise, Dodgsons Definition einer Kosmophase passt gut in diesen modernen Rahmen.

8. Carroll als Popularisierer

Dodgson war sowohl ein Popularisierer als auch ein Pädagoge sowohl der Mathematik als auch der Logik. Er begann Mathematik an der St. Aldate’s School gegenüber der Christ Church im Jahr 1856. Er dachte über das Spiel der Logik und darüber hinaus nach, Symbolische Logik, Teil I. Grundschule, denen, die derzeit im Einsatz sind, weit überlegen sein, und um beim Unterrichten von Schülern im Alter zwischen zwölf und vierzehn Jahren nützlich zu sein. Das Ziel des Spiels, Gespielt wird mit Brett und Spielsteinen, bestand darin, Syllogismen zu lösen. Er glaubte seinem gesamten Buch über Symbolische Logik, einschließlich der geplanten Teile II und III soll Schüler bis zum Alter von zwanzig Jahren ansprechen, und daher auf universitärer Ebene nützlich sein.

Während er Mathematikdozent an der Christ Church war, Er gab oft Familiengruppen von Eltern kostenlosen Privatunterricht, ihre Kinder und deren Freunde in ihren Privathäusern über mathematische Themen wie Chiffren, insbesondere seine Memoria Technica-Chiffre, Arithmetische und algebraische Rätsel, und eine algorithmische Methode, um den Wochentag für ein beliebiges Datum zu ermitteln. Er entwickelte ursprünglich 1875 die Memoria Technica-Chiffre zur Berechnung von Logarithmen, fand aber noch viele weitere Einsatzmöglichkeiten als allgemeine Erinnerungshilfe, 1888 schrieb er eine vereinfachte Version davon für Unterrichtszwecke.

Die Themen, die er als Privatlehrer wählte, konzentrierten sich auf Gedächtnishilfen, Zahlentricks, Rechenkürzel, und Aufgaben, die für schnelles Kopfrechnen geeignet sind, Aus diesem letzten Thema ein Buch entwickeln, Neugierige Mathematik, Teil 2: Kissenprobleme während wacher Stunden durchdacht (1894) das 1893 veröffentlicht wurde. Auf diese Weise erteilte er weiterhin Unterricht zu Logikthemen. In seinen Räumen in der Christ Church gab er auch Logikunterricht. Im Juni 1886 hielt er Vorlesungen in der Lady Margaret Hall, Oxford und im Mai 1887 an der Oxford High School for Girls. Dort hielt er Vorträge sowohl für Studenten als auch für, separat, ihre Lehrer. Er hielt Vorträge in St. Hugh’s Hall, ein weiteres Frauencollege in Oxford, im Mai und Juni 1894. Im Januar 1897 begann er einen Vorlesungskurs über symbolische Logik am Abbot’s Hospital in Guildford.

Er verwendete Material, das er schließlich in sein Buch einbaute, Das Spiel der Logik, ein Werk, das er im Juli 1886 im Wesentlichen abgeschlossen hatte, aber das erschien erst im November in einer Ausgabe, die Dodgson als minderwertig ablehnte. Der Zweite (veröffentlicht) Die Ausgabe erschien im Februar des folgenden Jahres. Dodgson hoffte, dass das Buch junge Menschen als amüsante geistige Erholung ansprechen würde. Er hat dieses Buch gefunden, und noch mehr, seine symbolische Logik, Teil I. Grundkenntnisse sind für den Unterricht von Schülern unerlässlich. Er glaubte, dass sein eigenes Buch über symbolische Logik den derzeit verwendeten Büchern weit überlegen sei.

Am 21. August 1894, Beantwortung eines Briefes eines ehemaligen Kinderfreundes, Mary Brown, jetzt zweiunddreißig Jahre alt, er schrieb:

Sie fragen, welche Bücher ich gemacht habe .... Zur Zeit bin ich fleißig am Arbeiten (Und das schon seit Monaten) auf meinem Logikbuch. (Es ist wirklich schon seit einem Dutzend Jahren vorhanden: Die „Monate“ beziehen sich auf die Vorbereitung auf die Presse.) Es ist symbolische Logik, in 3 Teilen – und Teil I soll für Jungen und Mädchen einfach genug sein (sagen) 12 oder 14. Ich hoffe sehr, dass es in die weiterführenden Schulen gelangt, usw. Ich habe es in Oxford einer Klasse von Mädchen an der High School beigebracht, eine andere Klasse der Herrinnen(!), und eine weitere Klasse Mädchen an einem der Ladies’ Colleges. (Cohen 1979, P. 1031)

In einem Brief vom 25. November 1894 an seine Schwester, Elisabeth, er schrieb:

Eine großartige Anwendung des Studiums der Logik (Ich gebe mein Bestes, um es bekannt zu machen) wäre es, Menschen zu helfen, die mit religiösen Schwierigkeiten zu kämpfen haben, indem wir ihnen die absolute Notwendigkeit klarer Definitionen klarmachen, Sodass, bevor Sie sich auf die Diskussion einer dieser rätselhaften Angelegenheiten einlassen, Sie haben möglicherweise eine klare Vorstellung davon, wovon sie sprechen. (Cohen 1979, P. 1041)

Die Darstellungen fast aller Probleme in beiden Teilen seiner symbolischen Logikbücher sind amüsant zu lesen. Dieses Attribut ergibt sich aus dem angekündigten Zweck der Bücher, um das Thema bekannt zu machen. Aber Dodgson hat Humor in viele seiner ernsthaften mathematischen Schriften integriert, Er verleiht diesem Werk den Stempel seines literarischen Genies.

Edward Wakeling bemerkt, dass seine Logiklehre drei Formen annahm: eine Reihe von Unterrichtsstunden in einer Schule, Unterricht für eine kleine Gruppe von Freunden oder Familien, die er kannte, oder Unterrichten eines einzelnen Selbstvertrauens, intelligenter und aufmerksamer Kinderfreund. Diese letzte Methode war seine Lieblingsmethode. Edith Rix, dem er „A Tangled Tale“ widmete (1885) in Form eines achtzeiligen Akrostichon-Gedichts, in dem der zweite Buchstabe jeder Zeile ihren Namen darstellt, war sein erster Logikschüler. Dodgson schrieb ihr viele Briefe über Probleme in der Logik. Das war sie, Es wird berichtet, dass er sagte, die klügste Frau, die er je kannte.

Im an Lehrer gerichteten Anhang aus Teil I der Symbolischen Logik, vierte Auflage, Carroll nannte einige der Themen, die er für Teil II geplant hatte. Dazu gehören „[T]Die sehr rätselhaften Themen der Hypothesen, Dilemmata, und Paradoxien.“ (Bartley 1977, P. 229) Dodgson war generell an der Qualität der Argumente interessiert, insbesondere diejenigen, die verwirren könnten. Paradoxien fallen in diese Kategorie, weil sie scheinbar das beweisen, was als falsch gilt. Und Paradoxien forderten ihn sicherlich heraus, geniale Methoden zu ihrer Lösung zu entwickeln, wie zum Beispiel seine Baummethode.

Dodgson drückte in seinem Buch „A Fascinating Mental Recreation for the Young“ seine Gedanken darüber aus, wie man jungen Menschen Logik am besten beibringen kann:

Was die erste populäre Idee betrifft – dass Logik für den Normalbürger viel zu schwer sei, und speziell für Kinder, Ich kann nur sagen, dass ich vielen Kindern die Methode der Symbolischen Logik beigebracht habe, Mit vollem Erfolg … High-School-Mädchen nehmen es gerne an. Ich hatte Unterricht mit solchen Mädchen, und auch der Herrinnen,….Was die trockene symbolische Logik angeht, und uninteressant, Ich kann nur sagen, Probieren Sie es aus! Ich beschäftige mich seit etwa vierzig Jahren mit verschiedenen wissenschaftlichen Beschäftigungen und habe keine gefunden, die es in puncto nachhaltiger und faszinierender Attraktivität mithalten kann. (Carroll 1896, reproduziert in Abeles 2010, pp. 96-97)

9. Abschluss

Die Inspiration für vieles, was Dodgson über Logik schrieb, kam von seinen Kontakten mit Fakultätsmitgliedern an anderen Colleges in Oxford, in Cambridge und anderswo. Er kommunizierte seine Arbeit im Kreis von Kollegen und holte deren Meinungen ein. Im Gegensatz zu den meisten von ihnen, er strebte keine Mitgliedschaft in den professionellen mathematischen und philosophischen Gesellschaften an, Er nahm auch nicht an ihren Versammlungen teil oder hielt Vorträge, mit wenigen Ausnahmen. Er war kein traditioneller Mathematiker. Eher, Er wandte mathematische und logische Lösungen auf Probleme an, die ihn interessierten. Als natürlicher Logiker zu einer Zeit, als Logik noch nicht als Teil der Mathematik betrachtet wurde, er war in beiden Bereichen erfolgreich tätig.

Obwohl der Einfallsreichtum der von Dodgson erstellten Rätsel und Beispiele allgemein gelobt wurde, Bartleys Behauptungen über die Bedeutung von Dodgsons Werk wurden in Frage gestellt, so dass sein Wert für die Entwicklung der Logik bei der Erstveröffentlichung des Buches nicht voll erkannt wurde. Aber später, andere Wissenschaftler, die sich mit Carrolls Logik und mathematischen Schriften beschäftigen, wie Duncan Black, George Englebretsen, Amirouche Moktefi, Adrian Rice, Mark Richards, Eugene Senator, Edward Wakeling und Robin Wilson haben wichtige Entdeckungen gemacht, die Carrolls Ruf erheblich gestärkt haben.

Warum interessierten sich Wissenschaftler erst in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts für Dodgsons ernsthafte Arbeit?? Zusätzlich zu Bartleys Veröffentlichung von Carrolls Buch „Symbolische Logik“., es gibt noch mehrere weitere Gründe. Eine der wichtigsten ist die Rolle, die bestimmte Verlage bei der Bereitstellung seiner Werke spielten. Diese beinhalten: Clarkson N. Töpfer, und Dover Press in den USA, und Kluwer in den Niederlanden, dessen Bücher sowohl in den USA als auch im Vereinigten Königreich vertrieben wurden. Die Artikel in Martin Gardners beliebter Rubrik „Mathematische Spiele“ der Zeitschrift Scientific American enthielten auch mehrere von Dodgsons mathematischen Ideen und waren für Wissenschaftler unschätzbare Informationsquellen. Ein weiterer wichtiger Grund ist, dass einige seiner mathematischen und logischen Ideen erst im 20. Jahrhundert Anwendung fanden, in dem Sinne, dass seine Arbeit ihre Verwendung vorwegnahm. Dodgsons mathematisch-logisches Werk war breit angelegt, doch sein Einfluss auf wichtige Entwicklungen im 20. Jahrhundert erfolgte vor allem nach seinem Tod.

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Francine F. Abeles
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Kean-Universität
U. S. Ein.